第四章 平稳随机过程2

C XY (τ ) = CYX (τ ) = 0 R XY (τ ) = RYX (τ ) = m X mY S XY (ω ) = SYX (ω ) = 2π m X mY δ (ω )
(5) 互谱密度的幅度平方满足
S XY (ω ) ≤ S X (ω ) SY (ω )
2
1 ∗ S XY (ω ) = lim E X T (ω )YT (ω ) T →∞ 2T 1 2 S X (ω ) = lim E X T (ω ) T →∞ 2T 1 2 SY (ω ) = lim E YT (ω ) T →∞ 2T
3、互功谱密度性质 、 X(t)和 Y(t)是实随机过程且联合平稳的。 是实随机过程且联合平稳的。 和 是实随机过程且联合平稳的 1 ∞ （1） ）
PXY =
（2）
2π ∫−∞ = RYX (0) = PYX
S XY (ω )d ω = R XY (0)
S XY (ω) = SYX (−ω) = S (ω) = S (−ω)
2
∫
∞
−∞
Y (ω ) dω
2
上式方括号内恰好是样本函数x 上式方括号内恰好是样本函数 (t) 在单位频带 上的功率。在整个频域内积分给出平均功率， 上的功率。在整个频域内积分给出平均功率， 还给出x(t)的频率分布情况 所以称为 的频率分布情况， 称为样本的 还给出 的频率分布情况，所以称为样本的 功率谱密度。 功率谱密度。
−∞ −∞ ∞ ∞
若输入过程X(t)的每个样本函数，上面的积分 的每个样本函数， 若输入过程 的每个样本函数 都在均方意义下收敛， 这样就整个过程而言， 都在均方意义下收敛 ， 这样就整个过程而言 ， 便有
Y (t ) = X (t ) ∗ h(t ) = ∫ X (τ )h(t − τ )dτ = ∫ h(τ ) X (t − τ )dτ
dτ = ( ∫ R ( −τ )e
∗ YX
dτ ) ∗
= ( ∫ RYX (τ )e
−∞
∞
− jωτ
dτ )∗ = S (ω )
（3）互谱密度的实部是偶函数，虚部是奇 ）互谱密度的实部是偶函数， 函数， 函数，并有
Im [ S XY (ω)] = Im [ SYX (−ω)]
∗ XY
= Re [ SYX (ω)] = Re [ S XY (−ω)]
如果把x(t)看作是输入随机过程的一个样 看作是输入随机过程的一个样 如果把 可看作是输出随机过程的一个样本, 本，则y(t)可看作是输出随机过程的一个样本 可看作是输出随机过程的一个样本 则
y (t ) = x(t ) ∗ h(t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ = ∫ h(τ ) x(t − τ )dτ
对于各态历经过程， 对于各态历经过程，功率谱密度可由一个 样本函数得到
辛钦(Wiener-Khinchine)定理 二、维纳-辛钦 维纳 辛钦 定理 随机信号， 若 X(t)为 平稳 随机信号 ， 当自相关函数绝 为 平稳随机信号 自相关函数R 对可积时 ， 自相关函数 X(τ)和功率密度谱 和功率密度谱 SX(ω)为一傅里叶变换对 RX(τ)←→ SX(ω)。 为一傅里叶变换对: 为一傅里叶变换对 。
Y (t ) = ∫ X (τ )h(t − τ )dτ
−∞
t
或
= ∫ h(τ ) X (t − τ )dτ
0
∞
Y ( n) =
m ห้องสมุดไป่ตู้−∞
∑
n
X ( m ) h ( n − m) = ∑ h ( m ) X ( n − m )
m =0
∞
二、输出的概率分布 当线性系统输入是一个随机信号时， 当线性系统输入是一个随机信号时，它的输 出也是随机信号。在一般情况下， 出也是随机信号。在一般情况下，确定一个线 性系统输出的分布律是很难的， 性系统输出的分布律是很难的，下面讨论几种 特殊情况。 特殊情况。 1、输入是高斯分布的，输出也是高斯分布 高斯分布的 输出也是高斯分布 、输入是高斯分布 的。 2、一般情况，输入为非高斯过程通过线性 高斯过程通过线性 、一般情况，输入为非高斯过程 系统后的输出为非高斯过程 高斯过程。 系统后的输出为非高斯过程。根据输入随机过 程与系统带宽之间的关系，有不同的近似结果。 程与系统带宽之间的关系，有不同的近似结果。
4.4.1 线性系统输出及概率分布
一、这里，我们首先考虑随机过程通过线性时 这里，我们首先考虑随机过程通过线性时 的情况。 不变稳定系统的情况 不变稳定系统的情况。 我们知道，线性系统的响应y(t)等于输入确 我们知道，线性系统的响应 等于输入确 定信号x(t)与系统的单位冲激响应 与系统的单位冲激响应h(t)的卷积， 的卷积， 定信号 与系统的单位冲激响应 的卷积 即
一、平稳随机过程的功率谱密度 设 X(t)为平稳的随机信号 ， 将它的任一个 为平稳的随机信号， 为平稳的随机信号 样 本 函 数 x(t) 截 取 － T 到 T 的 一 段 ， 记 为 xT(t)
由于满足频谱存在的条件，再由于样本函数的频谱 由于满足频谱存在的条件， 是样本空间元素e的函数 的函数， 是样本空间元素 的函数，得
−∞ ∞ ∞ ∞
= ∫ RX (t1 − τ , t2 )h(τ )dτ
−∞
= RX (t1 , t2 ) ∗ h(t1 )
3、自相关函数 、
RY (t1 , t2 ) = E [Y (t1 )Y (t2 ) ] Y (t ) X (t − τ )h(τ )dτ =E 2 1 ∫−∞ = ∫ E [ (Y (t1 ) X (t2 − τ ) ]h(τ )dτ
y (t ) = x(t ) ∗ h(t ) = h(t ) ∗ x(t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ = ∫ h(τ ) x(t − τ )dτ
−∞ −∞ ∞ ∞
随机信号通过线性系统的分析， 随机信号通过线性系统的分析，完全是 建立在确知信号通过线性系统的分析原 理的基础之上的。 理的基础之上的。
Ⅳ.
∫ π
1
∞
0
S X (ω ) cos ωτ d ω
1 P = RX (0) = 2π
∫
∞
−∞
S X (ω)dω
Ⅴ.单边功率谱 单边功率谱
2SX (ω) ω ≥ 0 GX (ω) = 0 ω<0
例:
∵ X (t)与Φ独立，且X (t)为宽平稳 E[Y (t)] = E[ X (t)cos(ω0t + Φ)] = 0 RY (t, t + τ ) = E[ X (t)cos(ω0t + Φ) X (t + τ )cos(ω0t + ω0τ + Φ)] RX (τ ) = cosω0τ = RY (τ ) 2 RY (0) < ∞ ∴Y (t)宽平稳 1 1 SY (w) = SX (ω)*π [δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 )] 2π 2 1 = [SX (ω − ω0 ) + SX (ω + ω0 )] 4
T
对于所有样本的平均功率W取统计平均， 对于所有样本的平均功率 取统计平均，就 取统计平均 得到随机过程的功率谱密度， 得到随机过程的功率谱密度，有
随机过程的功率谱密度与确定信号频谱密度 的幅频相对应，不包括任何相位信息。 的幅频相对应，不包括任何相位信息。
平稳随机过程的平均功率等于其均方值或功率 谱密度在整个频域上的积分。 谱密度在整个频域上的积分。
我们知道线性系统的响应yt等于输入确定信号xt与系统的单位冲激响应ht的卷积如果把xt看作是输入随机过程的一个样本则yt可看作是输出随机过程的一个样本若输入过程xt的每个样本函数上面的积分都在均方意义下收敛这样就整个过程而言便有若输入信号和系统都是离散的系统的输出为二者的离散线性卷积
4.3 平稳过程的功率谱密度
A、输入随机过程的功率谱宽度远远大于系 、 统带宽时，输出的随机过程接近高斯分布。 统带宽时，输出的随机过程接近高斯分布。 B、输入随机过程的功率谱宽度远远小于系 、 统带宽时， 统带宽时，输出的随机过程的概率分布接近 输入随机过程的概率分布。 输入随机过程的概率分布。
4.4.2 线性系统输出的数字特征
−∞ −∞ ∞ ∞
若输入信号和系统都是离散的， 若输入信号和系统都是离散的，系统的输出为二 者的离散线性卷积： 者的离散线性卷积：
Y ( n) = X ( n) ∗ h( n) =
m =−∞
∑
∞
X ( m) h ( n − m) =
m =−∞
∑ h ( m) X ( n − m)
∞

若线性系统是物理可实现的， 若线性系统是物理可实现的，则
x (t ) xT (t ) = 0
T
t ≤T t >T
− jωt
X T (ω , e) = ∫ xT (t )e
xT(t)的平均功率 的平均功率
−T T
dt
1 由时域可得： 由时域可得： w = lim T →∞ 2T
∫
−T
xT (t ) dt
2
由帕塞伐尓定理
∫
∞
−∞
1 y (t ) dt = 2π
四、互谱密度SXY(ω) 互谱密度 1、 若两个随机信号 、 若两个随机信号X(t)和 Y(t)联合平稳 时 ， 可 联合平稳时 和 联合平稳 以定义互功率密度,简称互谱密度 。 以定义互功率密度 简称互谱密度SXY(ω)。 简称互谱密度
1 ∗ S XY (ω) = lim E X T (ω)YT (ω) T →∞ 2T 1 ∗ SYX (ω) = lim E YT (ω) X T (ω) T →∞ 2T
−∞ ∞ ∞ ∞
= ∫ RX (t1 , t2 − τ )h(τ )dτ
−∞
= RX (t1 , t2 ) ∗ h(t2 )
同理
RYX (t1 , t2 ) = E [Y (t1 ) X (t2 ) ] ( X (t − τ )h(τ )dτ ) X (t ) =E ∫ 1 2 −∞ = ∫ E [ ( X (t1 − τ ) X (t2 ) ]h(τ )dτ
证明：
令
当
其成立的条件是： 其成立的条件是：
三、功率谱密度的性质
Ⅰ.
SX (ω)
SX (ω) ≥ 0
是非负实函数
Ⅱ. 如果
X (t ) 是实平稳随机过程，则 是实平稳随机过程， SX (ω) = SX (−ω)
Ⅲ.
S X (ω ) = 2 ∫ RX (τ ) cos ωτ dτ
0
∞
RX (τ ) =
一、一般性分析 1、均值 、
X (τ )h(t − τ )dτ E [Y (t ) ] = E ∫ −∞ = ∫ E [ X (τ ) ]h(t − τ )dτ = E [ X (t ) ] ∗ h(t )
−∞ ∞
∞
2、互相关函数 、
RXY (t1 , t2 ) = E [ X (t1 )Y (t2 )] X (t ) X (t − τ )h(τ )dτ =E 2 1 ∫−∞ = ∫ E [ ( X (t1 ) X (t2 − τ ) ]h(τ )dτ
Re [ S XY (ω)] = Re [ SYX (−ω)]
= − Im [ SYX (ω)] = Im S (−ω)
（4） X(t)和 Y(t)正交 ） 和 正交
R XY (τ ) = RYX (τ ) = 0 S XY (ω ) = SYX (ω ) = 0
（5 ） X(t)和 Y(t)不相关 和 不相关
2、 互相关函数与互谱密度是一傅里叶变换 对:RXY(τ)←→SXY(ω)。其中： 。其中：
∞
S XY (ω ) = ∫ RXY (τ )e
−∞ ∞
− jωτ
dτ
SYX (ω ) = ∫ RYX (τ )e
−∞
− jωτ
dτ
1 ∞ jωτ RXY (τ ) = ∫−∞ S XY (ω )e dω 2π 1 ∞ jωτ RYX (τ ) = SYX (ω )e d ω 2π ∫−∞
∗ YX ∗ XY
推导： 推导：
S XY (ω ) = S (ω )
∗ YX ∗ YX ∞ − jωτ
Q RXY (τ ) = RYX ( −τ ) = R ( −τ ) S XY (ω ) = ∫ RXY (τ )e
−∞
dτ
∞ −∞ ∗ YX jωτ
= ∫ RYX ( −τ )e
−∞
∞
− jωτ
4.4 线性系统中的平稳过程
通信的目的在于传输信号， 通信的目的在于传输信号 ， 信号和系统总 是联系在一起的。 是联系在一起的。通信系统中的信号或噪声一 般都是随机的， 般都是随机的，因此在以后的讨论中我们必然 会遇到这样的问题：随机过程通过系统（ 会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网 输出过程将是什么样的过程？ 络）后，输出过程将是什么样的过程？ 线性系统随机信号的响应 本章讨论线性系统随机信号的响应。 本章讨论线性系统随机信号的响应。