一道向量题的多角度探究
一道向量题的多视角下的解法探究
｛ Ｌ Ｉ ≤ Ｊ ｝ ；Ｉ — ｍ ｌ ≥ｌ — ｎ ｌ （ ｍ ＜ｎ ）解集 为 ｛ ｌ ≥
图９ Ａ 图９ Ｂ
Ｉ 不 等 式ｌ Ｍ Ｆ ｌ ≤ ｄ 或ｌ Ｍ Ｆ １ ≥ ｄ ， 它 表 示 抛物
例４ （ ２ ０ １ ２・ 广东 ９ ） 不等式 ｌ ＋ ２Ｉ —ｌ ｌ ≤１的解 集为一 分析 此类绝 对值 不等 式属 于 双 曲线类 不 等式． 因 式子 Ｉ ＋ ２ Ｉ 长度较长 ， 一 ２＜ ０ ，因此可判 断双 曲线类不 等 式右支． 解题的关键是求出它的 中心 、 顶点． 解 因Ｉ ＋２ Ｉ 长度 比较 长 ， 所 以此 题 属 于双 曲线 类 不等式右支 ， 它的解集为“ 左边开” ．
． 由面 ｃ ４ ｃ 。 ２ 了 ７ ｒ ＝ ７ 即 ｃ＝
积关 系得
ｓ＝ 曰 ・ＡＣ ．ｓ ｉ ｎ ＝ Ｐ ・ＢＣ， １
则＝ Ａ Ｐ 竿 — — 一 坐， ７ 则 有
一
＾ Ｄ
，１ห้องสมุดไป่ตู้
．：一
２ ７ ｒ
， ＇＾ ， ／ ３
导一 ＝ ， ＝ 孚 ＋ ÷ ＝ ． 原 不 等 式 的 为 ： ： 一 １ ， 解 得 ： 。 ： ÷ ， ： １ ． 解 集 为 ｆ Ｉ ≤ ≤ ｝ ． 如图 １ ０ 所示 ：
Ｉ ＋ ｃ ｌ —Ｉ — ｃ Ｉ ≥ ２ Ⅱ （ ａ ＜ ｃ ） （ 如图 ９ Ａ， ９ Ｂ）不 等 式 ｌ ＭＦ ｌ —ｌ ｌ ≤２ ａ 或 Ｉ Ｍ Ｆ 。 Ｉ —Ｉ ｌ ≥２ ｏ （ Ｉ Ｆ 。 Ｉ ＞ ２ ａ ） ， 它表示双 曲线类不 等式右支 ， 它 的解集 分别 为 ｛ ｌ ≤ ｝ 或｛ Ｉ ； ％） ， 简 称
２ ０ １ ６ 年 １ １ 月 第 ３ １ 期
一
向量法解立体几何中的探索性问题与翻折问题
ACBO1
(2) BO1 OC 3 3 3 0, BO1 OC , 由 (1)AC BO1, BO1 平 面OAC ,
BO1 是平面 OAC 的一个法向量.
z
设 n (x, y, z) 是平面 O1AC的一个法向量 , O 1
D
由
n n
AC O1C
0 0
3 x y 0
y
3z 0
1 1z
2
2
cos1cos2z22 21z22
2 2z1
（3）若CC’=2AB，则当点P
在侧棱AA’上何处时，CP在平 D’ 面B’AC上的射影是∠ B’ CA
的平分线？
A’
C’ B’
cos CB1,CP
1 2z 5 z2 2
cos CA,CP
2
2 z2 2
P
D
A
C B
12z
2
101
z
5z22 2z22
PD
说明理由。
A
C’ B’
C B
解:建立空间直角坐标
系,A(0,0,0),P(O,O,Z)
cos1 cosPC,
,B(1,0,0),D
AB
( 01, 1 , 0 ) z2 2
cos2 cosAC,PB1
P C = ( 1 , 1 , - z ) , B D = ( - 1 , 1 , 0 ) , P C · B D =20
A1
( 1 ) 二 面 角 A 1 B 1 C 1 M 的 大 小 是 6 0 .
A
C1 C
·
B1
G
B
M
( 2 ) 异 面 直 线 A 1 B 1 与 C C 1 所 成 的 角 为 a r c c o s5 8 .
一道立体几何试题的多角度思考
‘
‘
．
Ｅ为 Ｂ Ｃ的 中 点 ， ，
日ｌ ＝ ＤＣ ，‘ Ｄ ． ．△ Ａｌ Ｄ △ ＡＤＣ，。 Ｂｌ ． ．Ａｌ Ｂ１＝ＡＣ． Ａｌ Ｂ，：ＡＢ ，’ ． ．ＡＢ ＝ＡＣ．
。 ． ．
ｓ。 ｓ。 。 ： ＝ ・ 扣 譬
１
—
’ ．
’
０Ｃ
（） 法 １ 作 Ａ ２解 Ｇ上Ｂ 垂 足 为 Ｇ， 接 Ｃ ， 三 垂 线 Ｄ， 连 Ｇ由 定 理 知 Ｃ ＿ Ｄ， ＧｊＢ 故 Ａ Ｃ为 二 面 角 Ａ—Ｂ —Ｃ 的平 面 角 ． Ｇ Ｄ
连接 Ａ 则 Ａ Ｅ 为 平 行 四 边 形 ， Ｆ， Ｄ Ｆ
故
从 而 Ａ ∥Ｄ ． Ｄ ＿ 面 Ｂ Ｃ ， Ｆ Ｅ 又 Ｅｊ平 Ｃ．
故 Ａ ｊ平 面 Ｂ Ｃ ， 而 Ａ ＿ Ｃ Ｆ＿ Ｃ 从 ＦｊＢ ，
即 ＡＦ为 ＢＣ的垂 直 平 分 线 ，
． ．
一 连接 Ｃ 则 Ｅ Ｈ 为 ． Ｈ， Ｃ ｃ与平 面 Ｂ Ｄ所 成 的角 Ｃ一
‘ ．
’
Ｅ ， Ｆ Ｆ则 ÷ 日从而Ｅ ： ， 。， Ｆ Ｄ． ４
‘
故 Ｂ ＿ 面 Ｄ Ｆ， Ｃｊ平 Ｅ 因此 平 面 Ｂ Ｄｊ 平 面 Ｄ Ｆ Ｃ － Ｅ ． 连 接 Ａ Ｄ ， Ａ ｎＤ Ｅ， Ｆ 设 Ｅ Ｆ＝ 则 Ｈ， Ｅ Ｈ上Ｄ Ｅ Ｆ， Ｈ上平 面 Ｂ Ｄ Ｃ ．
ｒ●● ●‘ｌＬ
立 体 几 何 是 高 考 中的 热 点 内容 ， 理 方 法 很 多 ， 面 以 处 下
２０ ０９年 高 考 数 学 理 三 （ 体 几 何 ） 例 ， 多 方 面 、 渠 道 立 为 从 多
来 解 决 高 考 中的 立 体 几 何 题 ． （ ０ ９年 理 １ ）如 图 ， 三 棱 柱 ２０ ８ 直
向量的探索高中数学向量问题的解题方法
向量的探索高中数学向量问题的解题方法向量是高中数学中的重要概念之一，其在解题过程中起着关键作用。
本文将探索高中数学中向量问题的解题方法，帮助读者更好地理解和应用向量知识。
一、向量的定义和表示方法在开始探索向量问题的解题方法之前，我们先来回顾一下向量的定义和表示方法。
向量是有大小和方向的量，通常用向量箭头在图中表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量通常用大写字母加箭头表示，如AB→表示向量AB。
二、向量的加法和减法向量的加法和减法是解题中经常应用的操作。
两个向量的加法等于将两个向量的位移相加，而两个向量的减法等于将两个向量的位移相减。
在计算向量的加法和减法时，我们可以按照向量的坐标表示进行计算，也可以利用平行四边形法则进行计算。
三、向量的数乘向量的数乘是指将向量的大小进行伸缩操作。
数乘一个向量时，可以将向量的大小乘以一个实数，同时保持向量的方向不变。
数乘的结果可以是一个正数、负数或零。
在解题中，数乘操作常常用于求已知向量的倍数或将向量按比例放大或缩小。
四、向量的数量积向量的数量积是指两个向量的乘积。
向量的数量积能够刻画两个向量之间的夹角关系，同时也能够计算向量的模长。
在解题中，可以利用数量积求解两个向量之间的夹角，或计算向量的模长。
五、向量的解析法向量的解析法是指将向量用有序数对或坐标表示的方法。
在解析法中，我们可以用一个坐标点表示向量的起点，然后用另一个坐标点表示向量的终点，从而确定向量的大小和方向。
利用解析法，我们可以更加直观地理解和应用向量的相关概念。
六、向量的应用向量在几何、物理等领域具有广泛的应用。
在几何中，向量可以用于表示线段、直线和平面等几何对象。
在物理中，向量可以用于表示力、速度和加速度等物理量。
通过学习和应用向量的相关知识，我们能够更好地理解和解决与几何、物理相关的问题。
七、向量问题的解题方法解决向量问题的关键在于准确理解问题，正确选择合适的解题方法。
在解题过程中，我们可以根据题目的要求，采用向量的加法、减法、数乘、数量积等操作进行推导和计算。
一道课本习题的多角度求解
一道课本习题的多角度求解
在高中课本人教b版必修5《解三角形》章节练习中有这样一道习题：
本题是一道很好的初、高中学习的衔接题，通过本题的多角度求解，我们注意到在解三角形的过程中可充分思考初中所学习的平面几何图形的性质，如解法一，二；对于余弦定理的灵活运用也是解决本题的关键，如解法三；同时，向量作为解决数学问题的工具，也可以在解三角形的过程中显示它的优越性，如解法四.但我们在实际教学过程中，发现很多学生对刚刚学习的正、余弦定理用不上，以前学习的平面几何的知识不敢用或不会用，导致一筹莫展.
在平时的教学中，如果我们注重对问题的多角度思考，并鼓励学生用自己现有所学的知识试着去解决，打破初高中所学习的数学知识模块的局限，让我们所学习的数学知识活起来，那么我们的教学过程会显得尤为充实，对于类似的问题，也会迎刃而解.因此我们在课堂教学中应该注重设计类似的探究点，抓住教材中所出现的有特点、有意义的题目，在适当的启发下让学生通过合作探究的方式去解决，提高灵活解决数学问题的能力.。
对一道向量题的思考与探究
｝ ） 争
・
．
的终点表示 以（ ， ） 为圆心 ， 以
为半径 的圆，
ｉ ｎＡ ０Ｂ： — Ｏ Ａｓ ＝ ６ ｓ ｉ ｎ Ｂ ＿－
・
． ．
而＝ ＝ Ｖ２ ＋ ｙ ， 它表示了 原点（ ０ ， ｏ ） 点到（ ｘ ， ｙ ） 点的 距离， 要
１ ｌ ～ ＝ ０ Ｂ 一 ＝ ６ ， 当 且 仅 当 Ｂ ＝ ９ ０ 。 时 成 立 。
度， 求Ｉ ｌ 的 最 大 值 。
该题是 向量 的最值 问题 ， 根据题 意我们 画出图形 ， 利 用 图形解决问题 。
Байду номын сангаас
解法 １ ． 如图． 设 ： ｉ ， ： ， 由 与 一 ａ ｍ￣ｍｍ ３ ０ 度知
／ ＿ Ｏ Ｂ Ａ ＝ ３ ０ 。 ，； ￣ Ｅ ＡＯ Ａ Ｂ 中 ， 由正 弦 定 理得 ， ＝ ， 则
（ ｘ ， Ｙ ）则 （ ａ － ｃ ） ・ ｏ ） ． ｃ ） ＝ （ １ 一 ｘ ， ＿ ｙ ） ・ （ ． ｘ ， １ 一 ｙ ） ＝ ｘ ＋ ｙ ＝ （ ｘ 一
ｙ －
例３ ． 非 零向 量 、 满 足： Ｉ ； １ ： ３ ， 且 与 一 ｉ 的 夹 角 为３ ０
例２ ． ｍ ｍ ａ 、 若 、 ， 已 知 Ｉ ｉ ｌ ＝ ｌ 云 １ ＝ １ ， （ ｉ 一 ） 和 （ 一 ） 的 夹 角 为 ６ ０ 度 ； ｉ 云 一 ， ， Ｉ ｃ ｉ 的 最 大 值 。
解： 如图， 设： ， ＝ ， ｉ 与 夹角为 ｐ由于ｉ ＝
本小题主要考查 向量的数量积及 向量模 的相关运算 问题。
耐 ． 一
解 法１ ： ・ ． ・ Ｉ ｉ ｌ Ｉ ＝ １ ， ａ ・ ： ０ ， 设 ； 与 夹 角 为０
对一道向量题的多角度求解与思考
２
－
方法 ． 比如以下题目体现了向量坐标法的优势 ． 例 １ 求 槡 １＋ ３－ ＋２槡 的最大值 ．
（
则
１ ＋ ４
）
２
３ ＋æ ＝ ４
２
（ ） ．令
＝
２
解析 题中 槡 那么解 ３－ 前面的系数为１， 法会有很多 ． 当系数变成 ２， 向量法的优势就凸显 出来 ． 记 ） ， ＝（ １， ２ １＋ ＝（ 槡 ， ３－ 槡 ） ， 则
２ ０ １ ７ 年第 １ ２ 期 中学数学月刊 · ５ ９·
对一道向量题的多角度求解与思考
王智宇 （ 浙江省台州市路桥中学 ３ ） １ ８ ０ ５ ０ 平面向量 是 高 中 数 学 课 程 体 系 中 的 一 块 重 要内容 ， 它是沟通几何和代数的工具 ， 对于完善高 向量的数量积 中数学课程体系有 着 明 显 的 作 用 ． 又是其中的核心内 容 ， 是多块内容和各种方法的 交汇点 ， 用于处理计算问题十分有效 ． 数量积运算 作为高中阶段引入 的 一 种 新 的 运 算 ， 也是教学过 程中的一个难点 ． 学生普遍找不到正确的思路和 本文围绕题目“ 已知向量 方法解决相关题 目 ． ， ， 且β β （＋ ） 求β β的范 ·（ －２ ） １， ０， ＝ ＝ 围 ”展开 ， 挖 掘 向 量 与 不 等 式、 几 何、 三角学等数 学课程内容的联系 ， 进一步理解向量的独特魅力 ． １ 从定义出发 平 面向量数量积的定义为 · ＝ β ββ β· ２ 〈， 〉 ，故而式子 （ ＋ ） · （ －２ ） ｃ ｏ ｓ ＝ － ２ ２ 〈 ，〉 令β β 得２ ｃ ｏ ｓ ０． ˇ， ˇ β ββ β －２ ＝ ＝ 〈 ，〉 然后求ˇ 的取值范围 ． · ｏ ｓ ˇ－１＝０， ＋ｃ 思路 １ 进一步将 ｃ 〈 ， 〉分离出来 可 得 ｏ ｓ １－２ ˇ 〈 ，〉 因为 －１≤ｃ 〈 ，〉 所 ｃ ｏ ｓ ． ｏ ｓ ＝ ≤１， ˇ
一道课本习题解法的多角度探讨
ＢＤ 一 ．
０
分 别 为 ￡、 Ｆ，
Ｃ，
Ｄ．
则 Ｅ 即 为 两 个 平 行 平 面 Ａ Ｃ Ｄ 和 ＡＢ Ｃ Ｆ 的距 离 ， Ｅ － ． 且 Ｆ－
图 １
２ 转 化 为 线 面 距 ．
课本上有这样一句话 ： 条异面直线的距离 ， 两
图 ３
借～
【 法 ２ 如 图 ２ 连 结 Ａ Ｃ ， ＡＣ／ 面 解 】 ， 则 ／平
Ａｌ 】 过 Ｏ作 ＯＥ上Ｏ Ｄ 于 Ｅ， Ｃ Ｄ， 由 Ａ Ｃ ＿ 平 面 Ｂ 则 Ａ Ｃ 上Ｏ ＿ Ｂ Ｄ Ｄ， Ｅ， 又 由 ＯＥ ０ Ｄ， Ｏ 上 则 Ｅ上平 面 Ａ Ｃ Ｄ，
则 Ｍ Ｎ上 Ａｌ Ｍ Ｎ上 Ａ Ｄ， Ｃ， 故 Ｍ Ｎ 为 Ａ Ｄ 与 ＡＣ 的公 垂 线 ，
所 以 Ｍ Ｎ—
ｕ
Ａ Ｃ Ｄ 与 平 面 ＡＢ Ｃ之 间 的 距 离 ． 连 接 Ｂ 由三 垂 线 定 理 易 得 Ｄ ， Ｂ 上 平 面 Ａ． Ｂ 平 面 Ａ ， 足 Ｄ Ｃ Ｄ， Ｄ 上 Ｂ Ｃ垂
棱 长 学 高
异面 直 线 之 间 的 距 离 的 求 法 是
一
即 Ｏ 为 异 面 直 线 Ａ Ｄ 与 ＡＣ 的 距 离 ， Ｅ 在 Ｒ △ ０ Ｄ 中 由等 积 法 得 ｔ ０ Ｏ ・ Ｅ ０１ Ｄ＝Ｏ ・９ ‘ 一４ Ｄ （ ０ ・ ＯＥ ３
．
个
＝ 如何 转 换 ． 然 高 考 的 要 求 是 虽 两 条 度 面 直 线 问 的 距 离 ， 是 多 角 异 的 探 讨 ， 以将 立 但 几 可 体
以 转 化 为 线 面距 的 ．
角 度 的 探 讨 ， 以 拓 宽 学 生 的 可
法 、 力 融 为 一 体 ． 面 以 一 道 能 下
课题：利用空间向量解决立体几何中的探索性问题
课题：利用空间向量解决立体几何中的探索性问题课题说明立体几何中，平行、垂直、距离和角的问题是主要问题，而以它们为背景的探索性问题是近年来高考数学命题创新的一个显著特点. 由于此类问题涉及的点具有不确定性，所以用传统的解法难度较大，若用向量方法处理，则思路简单，操作方便。
一、温故而知新问题一：利用空间向量解决立体几何中的平行、垂直、距离和角问题常见有那几种方法？（一）平行问题线线平行：线面平行：面面平行：（二）垂直问题线线垂直：线面垂直：面面垂直：（三）角问题线线角：线面角：面面角：（四）距离问题点面距离：二、例题分析在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，E 是棱1BB 的中点（1）在棱11C B 上是否存在一点F ，使F D 1∥面DE A 1。
（2）在平面1111D C B A 内是否存在一点M ，使AM ⊥平面DE A 1。
（3）在棱1DD 上是否存在一点N ，使BN 与平面DE A 1所成角的正弦值为1935。
（4）在棱11C D 上是否存在一点P ，使点P 到平面DE A 1的距离为43。
问题二：你要求解的是什么？问题三：探索性问题常见有哪几种方法？方案一：方案二：问题四：题目给你提供了什么几何体？它能为你提供什么信息？问题五：点在棱上或在面内，坐标怎么设？ （1）点F 在棱B 1C 1上： （2）点M 在面1111D C B A 内： （3）点N 在棱1DD 上： （4）点P 在棱11C D 上： 问题六：F D 1∥面DE A 1这个条件怎么用？ 问题七：AM 平面DE A 1这个条件怎么用？问题八：BN 与平面DE A 1所成角的正弦值为1935这个条件怎么用？ 问题九：点P 到平面DE A 1的距离为43这个条件怎么用？AA A A A三、练习PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，2=AB ，2=PD（1）若1:2:=EC PE ，在PB 上是否存在点F 使A F ∥平面BDE（2）若1:2:=EC PE ，在PB 上是否存在点M,使点M 到平面BDE 的距离为2（3）G 是PB 的中点，在侧面PAD 内是否存在一点H ，使GH ⊥平面PCB（4）在棱PC 上是否存在点Q ，使二面角Q-DB-C 所成角为3π四、小结：五、作业讲义：第92页变式5，第103页变式11、变式12。
一道向量“趣题”的“深度解析”
一０
铮 （
＋
）．
一
．
一０
舒
．
一
・
一ｏ， 后 一 式 明 显 成 立 最 ＋ ＋ ＋ ０
） 一 １Ｅ－￣ ｚ 百 － ・ ／ 一百 ］ Ａ ５一 － ／ ＋（ ＋Ｄ － ￣ Ｂ５ １ － ￣
注 ：该 解 法 通 过 对 向量 式
［ ｚ ｚ 费 一 ）・ ＋茄 ） 一 １￣ ／ 一 一 ＋（ （ ］ Ａ５ － ｚ －
（） ２
【； ｚ ＋ ＋ 一ｄ ；
（） ３
解法五
ｒ
依 题 意
一
（一 ）（得 －Ｘ ． 一 （ １ （＋３ ｚ － １） ÷６ ）２ ） ａ＋ ， ２ ＋
． ． ． ・ 一 乱 （ 一 ｎ ＋ １ ＝ １ 一ｎ １ 百 ２ ） ２ ２ ＋
葡 （ ＋ ＋ ）６ 赢 ｚ
提 炼 出 解 决 向 量 问 题 的 一 般 解
法 和 常 见模 式 ． 题 如 下 ： 原 例 １ 空 间 四 边 形 ＡＢＣＤ
中 ， — ａ， ＡＢ ＢＣ— ｂ， ＝ Ｃ ＤＡ ＣＤ ．
— ，
过 程 即是 已知 与 待 求 不 断 转 化 的 过 程 ， 于 立 足 点 的 由
＋ ）・（ 一 ） ＝ １［ ＋ ） （ ￣＋ １ （ ＋ － Ｄ － 砣 ） 一 ） ］・（ ＝ ［ ｚ 一 ｚ ＋ ）－／ ＋（ （ ５ Ａ －
一
葡 ． 一 （ 一 ） 赢 ：０
（ ＋ ） ＋葳 ． 一 ． 甘 ． ＋砣 ． 一 ． 一０
更 加 明确 ．
注 ： 法 三 是 在 解 法 二 基 础 上 的局 部 改进 ， 题 的 解 解
［ 责任编 校
一题多解向量小题，领会各种重要方法
一题多解向量小题，领会各种重要方法
一、题目呈现
二、解法和评析
解法1：
通过改变向量等式，构造出两个数量积为0的方程，画出上图图形
挖掘条件中的隐圆，利用数形结合的手段结合圆外点到圆上点的几何意义
解法2：
差向量的绝对值的几何意义可以解释为圆
解法3：
向量的数量积利用极化恒等式转化为向量的和与差的模的平方关系
解法4：
解法中要验证等号成立的条件，绝对值三角不等式向量中经常用到
解法5：
坐标法通常是求解向量问题的一种较为有效的方法
小结：向量问题比较灵活，时常能够与解析几何，不等式，函数形成知识点的交汇，高考中多体现为小题，由于方法多样，为命题者青睐。
巧用向量法解一类立体几何中的探索性问题
巧用向量法解一类立体几何中的探索性问题作者：***
来源：《中学生数理化·高考数学》2024年第02期
立體几何中的探索性问题是高考数学试题中的一个热点，也是难点。
其中，斜线段上含动点的探索性问题居多。
此类试题用传统方法解决时往往有一定的困难，而空间向量法往往可以帮助我们更加快捷地解决此类问题，它无需进行复杂繁难的推理及论证，只需通过坐标或向量运算进行判断或证明。
本文通过几个高考模拟试题，介绍如何巧用向量法解决立体几何中斜线段上含动点的探索性问题。
一道调研题的多角度思考
，
故 二 面 角Ｍ－ Ｎ Ｐ 正切 值 为 Ａ －的
Ｎ
．
Ｎ
Ｍ、 别 为 棱 Ａ ．Ｂ Ｎ分 Ａ 、 Ｃ的 中点 ， Ｐ 边 Ａ Ｂ 上 ， 点 在 ． 且
Ａｌ ＝ Ｐ ． Ｐ ２ Ｂ１
（） 证 ： １求 ＭＮｊＡ ；２ 求 二 面角 Ｍ＿ Ｎ Ｐ － Ｐ （） Ａ — 的正 切 值 ．
『 １ 济 大 学 数 学 系． 等 数 学 （ 六版 ）Ｍ］高 等 教 育 出 ３同 高 第 ［ ．
版 社 ． ０ ７ ２０．
（ 号 当且 仅 当ａ＝ ２ …＝ 成 立 ） 等 。 ＝ ａ时 ａ
７ ２
～ｎ ２ ＞ ｌ Ｉ
．一 ｌ ＾
考 试 周刊 ２１ 第５ ｏ年 ６ １ 期
： ≤
证 明 ：‘、均 为 正 数 ， 以ｐ＞ ， ＞ ． ‘ ｑ ． ｐ 所 ０Ｐ ０
又 ・ｐ ＋ 。 ２ ． ｑ＝ ・
．
时成 立 ）
（ ＋ ＋ ）（ ＋ ＋ ）６则 由 平 均 值 不 等 式 得 ｐ １ １＋ｑ １ １ ， ３ ＝
其 次
ａＩ ＋ａ２ ＋ａ３ ＋ａ４
： … ＝ ＝
时 成立 ． 定 理３ 很 多 巧 妙 的 证 明 方 法 ，本 文 采 用 一 种 新 思 路 ， 有 利
Ａ ， ≥ ａ ８ …ａ， Ａ“ ２ Ａ≥（ ａ… “因 此 不 等 式 对 ｎ 立 ． 号 当 且 ａ ２ ） ． 成 等
用 反 向 归 纳法 证 明．
பைடு நூலகம்
仅 当ａ ａ …一 成 立 ． ２ ＝ ＝ 时
对于第②问中的二面角问题 ， 我们可从多个角度加以思考．
Ｎ
Ｍ
Ｍ
由一道向量题引发的解题思维实践
３ ８・
中学教研 （ 数学）
由 一 道 向 量 题 引 发 的 解 题 思 维 实 践
●赖庆 龙 （ 宁海中学 浙江宁海 ３ １ ５ ６ ０ ０ ）
与 三角 形三 心 （ 外心、 垂 心、 内心 ） 联 系 的平 面 向量 问题 是 数学 高考 中经常 出现 的一类 题 型． 对这 类题 型 的解 题探 究 可 以开 阔学生 的解题 思 维 ， 培养
同 理 可 得 Ａ — Ｏ ． ： ÷ Ｉ Ｉ ： 导 ．
） ， 步 卜 心 Ｄ 的 横 坐 标 为 １ ． 因 为 ２ － ． － － ４ ＂ Ｉ ＝
第 ５期
赖 庆龙 ： 由一 道 向量 题 引发 的 解 题 思 维 实践
・３ ９・
Ｉ ＣＩ
＝
ｓ ｉ ｎ 鲋 Ｃ
，
３ 解 法 赏析
解 法 １ 设 ： ＋ｙ ， 如图 １ ， 取Ａ Ｂ的
由余 弦定理 得
中点 Ｄ， 联结 Ｏ Ｄ， 取Ａ Ｃ的中点 Ｅ， 联结 Ｏ Ｅ ， 则
ＡＯ ・ ＡＢ ＝ ｌ ＡＯ Ｉ・１ ＡＢ Ｉ・Ｃ Ｏ Ｓ ＯＡＤ．
ｃ ｏ ｓ Ｂ Ａ Ｃ ＝
从而
＝
于是
故 点 Ｄ 的 坐 标 为 （ １ ， 华） ． 设 ＝ Ａ 一 Ｂ ＋ ｙ — Ａ Ｃ ， 贝 ｊ Ｉ
ｆ ２ ： １ ，
＝
＋
点评
解法 ３利用 向量加法 的平行 四边形法
ｌ ＝ 孚，
解 得 ’
则， 将 分解为 与 ， 根据 ／ Ｂ Ａ Ｃ为锐角 ， 知点
＝ ｝ ，
注 意到 Ｏ ＤｔＡ Ｄ， 从 而 Ｉ Ａ Ｏｌ・ Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ Ａ Ｄ＝Ｉ Ａ Ｄｌ ＝÷ Ｉ Ａ ＢＩ ，
数学用向量方法解决问题专题研究3000字报告
数学用向量方法解决问题专题研究3000字报告一、课题研究的背景及意义向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”，它是中学数学知识的一个交汇点，是数学问题解决的重要工具。
《普通高中数学课程标准》对其教学要求为重基础，突出向量作为工具的作用。
本课题对高中数学教科书中的向量内容进行分析，把向量作为数学工具来解决数学问题，列举在教学中积累的应用向量解决问题的实例，并进行分类讨论。
主要是向量在平面几何、函数、等式与不等式、数列、复数、三角函数、平面解析几何等数学问题解决教学方面的应用。
学生在中学阶段必须掌握利用向量来解决常见的数学问题。
在此背景下，“运用向量法解题”是一值得关注和研究的问题。
二、课题研究的目标和内容研究目标本课题研究的目标是明确向量在中学数学解题中的地位，提高对向量解题的认识，有效地促进中学数学中利用向量解题，从解题的内涵、思维过程等方面试图从向量解题的思想方法、解题策略、解题心理、解题案例等方面尽可能全面的阐述向量解题，给学习向量的人提供相应的参考。
1、优化学生认识的结构根据数学学习的同化理论，学生在数学学习的过程中，总是在原有的知识基础上，学习、接受新的知识，使旧知识获得新的意义，使原来的认知结构得到重建和优化。
如学习向量平行与垂直时，可以使原有的直线平行、垂直含义及证明的方法得到扩充，得到同化，充实了学生的知识结构。
在向量的观念下，学生可以从多角度多方面思考数学知识，达到对知识的融合，优化学生认识结构。
2、培养学生的思维品质中学数学教学的目的之一是培养学生的思维能力，而培养数学思维品质是形成数学思维能力的基本条件。
向量的引入给培养学生的思维品质提供了新的方法和途径。
利用向量知识点的多样性，一题多解，培养思维的广阔性；在平面向量这一章中许多概念及有关向量的运算、运算性质、运算律、既类似于实数的相关知识，又有本质区别，这是本章难点，在训练过程中，完善学生认识结论，克服知识负迁移，培养思维的批判性；以课文习题为蓝本实现一题多变，培养思维的灵活性；利用向量形成解题模型，做到一法多题，培养学生思维的聚合性。
【智博教育原创专题】一道向量习题的分析与解答(20131020)
多角度深层次挖掘已知条件--------对一道试题的思考近日，笔者在高三一轮复习中教辅书上看到这样一道很普通的题： 题目：如图所示，P 为AOB ∆所在平面上一点，向量OA a = ，OB b = ，且P 在线段AB 的垂直平分线上，向量OP c = 。
若3a = ，2b = ，则()c a b ⋅- 的值为（ ）.5A .3B5.2C 3.2D 这道例题中，最为显眼的条件是“P 在线段AB 的垂直平分线上”，那么怎么充分利用这一条件呢？ 不妨记AB 的中点为D ，DP AO Q = ，由已知条件非常容易想到“,,BD DP AD DP AB DP ⊥⊥⊥”，与向量联系起来，可以转化为“0,0,0BD DP AD DP AB DP ⋅=⋅=⋅= ”，由此可以得到解法一： 连接OD ，易知11()22BD BA a b ==- ，2a b DP OP OD c +=-=- 。
因BD DP ⊥ ，故11()()[2()5]0224a b BD DP a b c c a b +⋅=-⋅-=⋅--= ，故5()2c a b ⋅-= ，选C 。
在此解法中，还可以利用另外两个垂直关系，在此不再累述。
在解法一中，接连了OD ，而OD 是ABO ∆的中线，可以联系到1()2OD OA OB =+ 这一性质，此法思路很清晰，充分利用了垂直平分线的垂直，但对“平分”这一点用得还有点含蓄，不够充分。
我们进一步对所求式子进行思考可得到解法二： ()()c a b OP BA OD DP BA OD BA DP BA ⋅-=⋅=+⋅=⋅+⋅ ，由解法一中分析可知0DP BA ⋅= ，故原式22115()()()222OD BA a b a b a b =⋅=+-=-= 选C 。
显然，解法二无论是思路还是在计算量上都要优于解法一，原因在于对垂直平分这一条件用得更加充分。
前进的步伐是否止于此呢？“垂直平分线”这一概念对所有的高中生来说，并不陌生，在初中时就已经学习过。
一道向量题的多角度思考
） * 中，由勾股定理得%2+
2 a2,所以%2=专a2.故'•'=
\'\ • \'\ ・cosl35"=* - a2.故填-* a2.
解法6：如图5所示，延长 PD,过点C作CD丄AP交AP 的延长线于点D,令CD=PD=
PA =%,所以BP= %，在直角 2
$PAB中，PA2+PB2=AB2,即%2+
题目：如图1所示，已知A,B,$是直线%上的三个点,P 是直线%外一点，若AB=BC=a, !APB=90。，！BP$=45。， 则#■&$=_____ .（用）表示）
图1
图2
视角1：解析法
解法1:如图2所示，以点B为坐标原点,直线%为-轴,
建立直角坐标系-B.,此时点A , B, C的坐标分别为A （-）,
2019年6月
解法探穷一.>?
—道向量题的多角度思考
）江苏省太仓高级中学赵福余
解题能力的提升就是提高解题长度的适应能力，可 惜很多人一旦超过其极限，不是写不出就是逻辑混乱. 解决这个问题有三个方法:一是给出更多公式缩短解题 长度;二是另辟蹊径，转换思考路径;三是总结程序化的 解题步骤,用搭积木的方式解题.用第一种方法应付高 考，性价比不高，也不能提升学生的解题能力；用第二种 方法应付高考对学生的要求较高,对一般学生来说不实 用,但可以大大提升学生的解题能力；用第三种方法应 付高考是最有价值,值得提倡的.
0）,B（0,0）,C（）,0）,设点P的坐标为因为PA丄
PB，所以 P*A PB=0 ,^x2+y2+ax=0，即-2+y2=-ax. （ * ）
$B，P 由PB与PC的夹角为45。，得cos45。=
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角形 重心 的 向量 性质 来 解 决 问题．
方 法 ２ 如 图３ ， 作 任 意 ＡＡＢ Ｃ ， 取 三 角 形 三 边 中线 的 交 点 即 ＡＡＢ Ｃ 的 重 心 ０， 在Ｏ Ｂ ， Ｏ Ｃ 上 分 别 取 Ｂ点 、
： — 一
．
：
—
．
０ ＋ｂ＋Ｃ
（ ＋ ６ ＋ｃ
并 且ｌ Ｉ ： ｌ ｌ ： Ｉ ， 以 向
，
同理可得， —＝ × １ × 田， 此处
的 即 为题 干 中向量 前 的 系数 ；
则 四 边 形４ＤＤ 膑 平 行 四 边 形
为基 底 建 立如 图所 示的 直 角 坐标
常 用 的 方 法 方 法３ 如 图５ ． 构 造 向 量 上
，
｛ × × Ｉ Ｊ ＝ １ × － × Ｊ ４ ｆ ＝ ｛ × ×
团， 此处的 圈 即为题干中向量 前
的 系数 ：
在 三 角形 的边Ａ 曰， ＡＣ 上 取 点Ｄ，
Ｅ， 如 图７ ， 所 以有
图２
（ 题型 为解答题时 ， 我们要 有
严密 的 论证 ， 写 出详细 的 解答 过 程
１ ．运 用 向 量 加 减 法 的 平 行 的 向量 性 质
解题
ｓ ｏ ｃ ＝ 吉 ： 去 ： ＝ ４ ： ．
／
分析
题 中所给条件 “ ＋ ２ ＋
分 析 充分 运 用 平 行 四边 形 法 则， 构 造 满 足 题 意 的 三角 形 ， 寻 找 面 积关 系． 方法１ 因为 ＋ ２ ＋ ４ ： ０ ．
４ － ｏ ｄ ＝ ０ ” ，与三角形的重心有着紧密
的 联 系 ．这 就 提 示 我 们 尝 试 构 造 合
分 析 当题 中所 涉及 向 量 额 外
满 足 一 些 特 殊 关 系 时 ． 结 论 依 然 成
如图 ６ ， ５ ∞ ＝ × Ｊ Ｉ × ｌ Ｉ ＝
所 以
：—
＋ｂ＋Ｃ
＋ Ｃ
ｎ ＋ ６ ＋ ｃ
立， 将 问题特 殊 化 ， 快 速 求解 ， 这 是 我 们 解 决填 空题 、 选择 题这 些 客观 题 时
ＤＣ ’ ． 因 为 ０点 为 ＡＡＢ Ｃ 的重心 ． 所
成 ＡＡＢ Ｃ， 如 图２ ． 所 以ＳＡ ＾ ｏ Ｂ ＝ Ｓ △ ：
ｓ ｓ Ｓ
以 有 ＋
．
＋
： ０ ．又 因 为
： ２
ｏ ｅ ￣ ＿ ４ － ｏ － ｄ ． 所以 耐＋ ２ ＋ ４ ＝ ｎ
５ Ａ Ａ Ｏ Ｂ ＇ ＝ 了 １ ｓ
．
Ｘ－ Ｓ
：
＝
Ｄ
１ （ ÷ ｓ ） ＝ ｓ ，
Ａ Ｂ＇ Ｏ Ｃ＇ ＝
＋ ２ ＋ ４ ： ０＇ ， 求 △Ａｏ Ｂ， ＡＢ Ｏ Ｃ．
△Ａ０Ｃ 的 面 积 之 比．
Ｅ
图１
Ｆ
ｓ 胱 ＝ １ Ｓ
吉 （ ￣ ３ Ｓ Ａ Ａ Ｂ ＇ Ｃ ＇ ） ＿
ｓ
ｓ
故 ｓ ０ ｓ
在△Ａ 曰 ｃ 呻 ， ５ ＝ 了 ２
＝ 了 ２・
吉 ： ｛ ： ２ ．
（ ｓ ） ＝ ÷ ｓ ， 同 理 ｓ … ， ＝
５
１
思 维 的能 力 、运 算 能 力 和解 决 实 际
问题 的 能力． 原题 ： ０是 ＡＡ ＢＣ内一 点 ，满 足
【 分析 】此 问题可 以分为两类 ：
解 答 题 和 填 空 题 ．分 别 采 取 不 同 的
Ｄ
Ｉ
２ ４
ｓ Ａ Ａ Ｂ ＇ Ｃ ＇ Ｊ ｓ Ａ Ａ Ｏ Ｃ ＝ ÷ ｓ Ａ Ａ Ｏ Ｃ ＇ ￣ ４ １ ・
解题 策略 ．
（ ÷ ｓ …） ＿ Ｓ Ａ Ａ Ｂ ＇ Ｃ ＇ 故 ｓ ｓ ／
Ｇ勇 臻
一
方 法 技 巧
道 向量题 的多角度探究
０ 江苏无锡市湖滨中学 徐卫祥 江苏梅村高级中学 徐敏亚
向量 是 近 代数 学 中重 要 和 基 本 的数 学 概念 之一 ， 它 是 沟通 代 数 、 几 何 与 三 角 函数 的一 种 工 具 ．通 过 本
以有 ：
顺 次 连接 点Ａ， 曰， Ｃ， 构
要 准 确快 速 地求 出答 案
１ ．建立 直 角 坐 标 系 ，将 ，
２ ： ４， 面积 之 比为４ ： ２ ： １ ， 引发 猜 想 ： “ 题
０ ） ， 则有 Ｓ ∞ ： ５ △ Ａ ０ ｃ ： Ｓ △ 肋 （ ＝ ＝ ｃ ： ６ ：
解： 因为
所 以０
干 中三 向量 的 比例 关 系 。是 否决 定
系 Ｏ ｙ，所 以曰， Ｃ坐 标 分 别 为 （ １ ， ０ ） ， （ ０ ， １ ）
Ｅ
…
ｏｃ ＝
丢 × １ × 图 ， 此 处 的 图 即 为
Ｃ
Ｃ
所以 ： ２ 动＋ ． 在平面内 任取一
点 Ｄ． 构 造 向 量 ， ． 作 向 量 ：
２ ， ： ４ － ｏ ｄ 。 根据向量加法的平行
四边形 法则 ， ＋ ， 如图１ ．所
ｃ 点， 使得向量 ：
．ｏ － ｄ ：
图４
３ Ｂ
洒型 为 填 空 题 时 ， 我 们 只 需
了 △ＡＯ Ｂ， △ＡＯ Ｃ， △Ｂ ＤＣ面 积 的 比
＋ ６ ＋ ｃ ： ０．
： ６ ＋ ｃ ： ６（ ＋
例 关 系 ？”
作 为 基底 ． 特殊 化处 理
继 续 研 究
） ＋ ｃ （ ＋ ） ，
所以（ Ⅱ ＋ ６ ＋ ｃ ） ： ６ ＋ ｃ ，
章 的学 习 ，我 们 不 仅 可 以掌 握 一 种
全 新 的 数学 工具 ．而且 可 以 帮助 我 们 体 会 数 学 的 内部 联 系 ，数 学 与 实 际生 活 的联 系 ．以 及 数学 在解 决 实 际 问题 中的 作用 ，培 养 我 们 的理 性
ｓ 。 ｃ ＝ １
：
ｓ呦