2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第13讲 空间向量与立体几何

即 B1D⊥EG，B1D⊥EF，因此 B1D⊥平面 EGF. 结合(1)可知平面 EGF∥平面 ABD.
题型二
利用空间向量求线线角、线面角
【例 2】(2010· 课标全国)如图，已知四棱椎 P－ABCD 的底 面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点． (1)证明：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60° ，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值． 解：以 H 为原点，HA，HB，HP 分别为 x，y，z 轴， 线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图， 则 A(1,0,0)B(0,1,0)． (1)证明：设 C(m,0,0)， P(0,0，n)(m<0，n>0)，
3．模、夹角和距离公式 (1)设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则|a|＝ a· a＝ a2＋a2＋a2， 1 2 3 a1b1＋a2b2＋a3b3 a· b cos 〈a，b〉＝ ＝ 2 . 2 |a||b| a1＋a2＋a2· b2＋b2＋b2 3 1 2 3 (2)距离公式 设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则 dAB＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22. (3)平面的法向量 如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 α，则称这个 向量垂直于平面 α，记作 a⊥α. 如果 a⊥α，那么向量 a 叫做平面 α 的法向量．
(2)在棱 C1D1 上存在点 F，使 B1F∥平面 A1BE. 事实上，如图(b)所示，分别取 C1D1 和 CD 的中点 F，G，连结 EG，BG，CD1，FG.因 A1D1∥B1C1∥BC，且 A1D1＝BC，所以 四边形 A1BCD1 是平行四边形，因此 D1C∥A1B.又 E，G 分别为 D1D，CD 的中点，所以 EG∥D1C，从而 EG∥A1B.这说明 A1，B， G，E 共面．所以 BG⊂平面 A1BE. 因四边形 C1CDD1 与 B1BCC1 皆为正方形，F，G 分别为 C1D1 和 CD 的中点，所以 FG∥C1C∥B1B，且 FG＝C1C＝B1B，因此四边 形 B1BGF 是平行四边形，所以 B1F∥BG.而 B1F⊄平面 A1BE，BG⊂ 平面 A1BE，故 B1F∥平面 A1BE.
(2)由已知条件可得 m＝－ 故 C－
3 ，n＝1， 3

3 3 ，0，0，D0，－ ，0， 3 3
3 1 E ，－ ，0，P(0,0,1)． 6 2 设 n＝(x，y，z)为平面 PEH 的法向量，
拓展提升——开阔思路
提炼方法
(1)题目中具备建系的条件，可建立空间直角坐标系， 将线线角、线面角转化为两向量的夹角． (2)求直线与平面所成的角 θ，主要通过直线的方向向 量与平面的法向量的夹角 α 求得，即 sin θ＝|cos α|.
2 即直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为 . 3
棱 C1D1 上存在点 F(C1D1 的中点)，使 B1F∥平面 A1BE. 解法二：(1)如图(a)所示，取 AA1 的中点 M，连结 EM， BM.因为 E 是 DD1 的中点，四边形 ADD1A1 为正方形， 所以 EM∥AD. 又在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AD⊥平面 ABB1A1， 所以 EM⊥平面 ABB1A1，从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 上的射影，∠EBM 为 BE 和平面 ABB1A1 所成的角． 设正方体的棱长为 2，则 EM＝AD＝2， EM 2 BE＝ 22＋22＋12＝3.于是，在 Rt△BEM 中，sin∠EBM＝ BE ＝ . 3 2 即直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为 . 3
2．空间向量的坐标运算 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)， a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)， a· 1b1＋a2b2＋a3b3， b＝a a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)， a⊥b⇔a· b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
拓展提升——开阔思路
提炼方法
(1)证明线面平行须证明线线平行，只需证明这条直线与平面内的直线 的方向向量平行． (2)证明线面垂直的方法：可用直线的方向向量与平面的法向量共线证 明；也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直证明． (3)证明面面垂直通常转化为证线面垂直，也可用两平面的法向量垂直来证明．
题型一
利用空间向量证明空间位置关系
【例 1】如图所示，已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，△ABC 为 等腰直角三角形，∠BAC＝90° ，且 AB＝AA1，D、E、F 分 别为 B1A、C1C、BC 的中点． 求证： (1)DE∥平面 ABC； (2)B1F⊥平面 AEF. 证明：如图建立空间直角坐标系 A－xyz， 令 AB＝AA1＝4， 则 A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．
∵平面 BED 的法向量为 n2＝(0,0,1)， ∴cos〈n1，n2〉＝ ∴sin〈n1，n2〉＝ 5 29 . 29
2 29 . 29
2 29 ∴平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值为 . 29
拓展提升——开阔思路 提炼方法
利用平面的法向量求二面角的大小和将二面角转化为在两半平面内与
拓展提升——开阔思路 提炼方法 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需 进行复杂繁难的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断． 在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否 有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效， 应善于运用这一方法解题．
4.如图所示，直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AB⊥AC，D、E 分别为 AA1，B1C 的中点，DE⊥平面 BCC1. (1)证明：AB＝AC； (2)设二面角 A—BD—C 为 60° ，求 B1C 与平面 BCD 所成 角的大小． (1)证明：以 A 为坐标原点，射线 AB 为 x 轴的正半轴，建 立坐标系 A—xyz 设 B(1,0,0)、C(0，b,0) 、D(0,0，c) 1 b 则 B1(1,0,2c)、E2，2，c
(3)二面角的求法
①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示， 〈m，n〉即为所求二面角的平面角． ②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时， 可以利用这两个平面的法向量的夹角来求． 如图所示，二面角 α－l－β，平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法 向量为 n2， 1，n2〉＝θ，则二面角 α－l－β 的大小为 θ 或 π－θ. 〈n
(1)证明：EB⊥FD； 2 (2)已知点 Q，R 分别为线段 FE，FB 上的点，使得 FQ＝ FE， 3 2 FR＝ FB，求平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值． 3
(1)证明：∵E 为
中点，AB＝BC，AC 为直径，∴EB⊥AD.
∵EF2＝6a2＝( 5a)2＋a2＝BF2＋BE2， ∴EB⊥FB. 又∵BF∩BD＝B，∴EB⊥平面 BDF. ∵FD⊂平面 BDF，∴EB⊥FD. → → (2)解：如图，以 B 为原点，BE为 x 轴正方向，BD 为 y 轴正方向，过 B 作平面 BEC 的垂线，建立空 间直角坐标系，由此得 B(0,0,0)，C(0，a,0)，E(a,0,0)． ∵FD＝FB，BC＝CD，∴FC⊥BD.∴FC＝2a. 2 2 ∴FQ＝ FE，FR＝ FB， 3 3
1，3，0. D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，10· 湖南)如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的 中点． (1)求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的 角的正弦值； (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F，使 B1F∥平面 A1BE？证明你的结论．
4．直线与平面、平面与平面的平行与垂直 设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝ (a2，b2，c2)．平面 α、β 的法向量分别为 μ＝(a3，b3，c3)， v＝(a4，b4，c4)(以下相同)． (1)线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a· μ＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0. (2)线面垂直 l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3. (3)面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv⇔a3＝kb4，b3＝kb4，c3＝kc4. (4)面面垂直 α⊥β⇔μ⊥v⇔μ· v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.


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2.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥面 ABCD， 1 AB⊥BC，AB⊥AD，且 PA＝AB＝BC＝ AD＝1. 2 (1)求 PB 与 CD 所成的角； (2)求直线 PD 与面 PAC 所成的角的余弦值． 解：建立空间直角坐标系如图所示， 1 (1)∵PA＝AB＝BC＝ AD＝1， 2 ∴P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)， D(0,2,0)．
第三讲
空间向量与立体几何
1．共线向量与共面向量定理 (1)如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合， 则这些向量叫共线向量或平行向量． (2)平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (3)共线向量定理：对空间任意两个向量 a、b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使 a＝λb. (4)共面向量定理：如果两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与 向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使 p＝xa＋yb.
棱垂直的两个向量的夹角来求．两种方法都是利用向量的夹角来求二面角 的大小，在方法一中要注意两法向量的夹角的大小不一定就是所求二面角
的大小，有可能两法向量夹角的补角的大小才为所求．
3.(2010· 天津)如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分 别是棱 BC，CC1 上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝ 1∶2∶4. (1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值； (2)证明 AF⊥平面 A1ED； (3)求二面角 A1－ED－F 的正弦值． 解：如图所示，建立空间直角坐标系，点 A 为 坐标原点．设 AB＝1，依题意得