人教初中数学八下 19.1.1 变量与函数教案 【经典教学设计合编】

19.1.1 变量与函数
年级八年级课题19.1.1 变量与函数课型新授教学媒体多媒体
教学目标知识
技能
1.理解变量、常量的概念及相互间的关系；
2.能找出变量间的简单关系，试列简单关系式；
过程
方法
通过对实际问题的讨论引出常量与变量的概念，由熟悉的例子系统地认识常量与
变量，有助于理解相关概念之间的联系与区别
情感
态度
积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲
教学重点认识变量与常量
教学难点对变量的判断
教学过程设计
教学程序及教学内容师生行为设计意图
一、情境引入
一根燃烧的蜡烛随着时间的变化,它的高度是如何变化的?
二、探究新知
1.一辆汽车以60千米/小时的速度行驶,行驶里程为S千米,行驶时间为t小时
①根据题意填表
t/时 1 2 3 4 5
s/千米
②思考：这个过程是一个不变的过程还是一个变化的过程？哪个量的值是不变的？哪个量的值是变化的？数值变化的量之间是怎样的关系？
2.电影票的售价为10元，如果早场售出150张票，午场售出205张票，晚场售出310张票，则三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y？
思考：题中哪个过程是不变的过程？哪个过程是变化的过程？在变化的过程中，哪些量是变化的量？它们之间是怎样变化的？它们之间存在着怎样的对应关系？如何用式子表示出来？
3. 什么叫变量?什么叫常量?
4.指出上述问题中的变量和常量?
三、课堂训练教师提出问题留一定
时间让学生思考,讨
论
多媒体出示问题,学
生观察,分析,讨论,
写出答案
学生观察分析,合作
交流后得出结论
教师引导学生观察题
的答案,归纳定义
由实际问题引起
学生的好奇心
由熟悉的例子感
受新知,从不同
事物的变化过程
中寻找出变化量
之间的变化规律
加深对变量,常
1.写出下列各问题中所满足的关系式,并指出各个关系式中,哪些量是变量?哪些量是常量?
(1)用总长为60m 的篱笆围成矩形场地,求矩形的面积S (m 2)
与一边长x(m)之间的关系式 (2)购买单价是0.4元的铅笔,总金额y(元)与购买的铅笔的数量n(支)的关系式
(3)运动员在400m 一圈的跑道上训练,他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系式 (4)银行规定:五年期存款的年利率为2.79%,则某人存入x 元本金与所得的本息和y(元)之间的关系式
2.例题分析:在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的规律。

如果弹簧原长10cm ，每1kg 重物使弹簧伸长0.5cm ，设重物质量为m kg ，受力后的弹簧长度为l cm ，怎样用含m 的式
子表示l ？ 分析:首先这是一个变化过程，在这个变化过程中，弹簧的原长10cm 是一个常量，每1kg 重物使弹簧伸长的长度0.5cm 是一个常量，重物
质量m 和受力后的弹簧长度l 是两个变量。

两个变量的关系可以用表格进行不全面的表示： m (kg) 0 1 2 3 4 5 6
l (cm) 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 从表格数据可以看出，这两个变量中，一个变量变化，另一个变量按某种规律随着变化；一个变量取定一个值，则另一个变量按照某种规律对应有唯一的值。

这个对应关系用式子表示出来，即m l 5.010+=. 注意:)10(2-=l m 虽然也表示两个变量间的关系，但这是用含l 的式子表示m ，不符合题意.
四、小结归纳
1.变量与常量的概念
2.常量与变量必须存在于一个变化过程中
3.常量与变量不是绝对的,而是对于一个变化过程而言的 五、作业设计)
(一))教材74页第1题
(二).补充 1.用含圆的面积s 式子表示圆的半径r_________ 2．球的体积V 和半径R 之间的关系是33
4
R V π=，其中的变
量是_________.
3．三角形的一边为5，用这条边上的高h 表示面积S ：__________，其中5是______；h 、S 是_______.
4．等腰三角形的底角度数为α，顶角度数为β，列式用
教师出示问题并引导
点拔,学生先自主探索再合作交流,写出答案
教师提出本息和=本金+(利息-利息税)
教师出示题目,学生
读题并分析思考后,
合作交流
达成一致后,选代表回答
教师点拔
学生归纳总结体会反思
量的理解
加强教学反思,帮助学生养成系统整理知识的习惯
底角表示顶角：___________；用顶角表示底角：
____________.
5．小明用40元钱购买5元/件的某种商品，则他剩余的钱
y(元)与购买这种商品的件数x(件)之间的关系式是
___________；其中常量是_____；变量是_____.
6．长为2米、宽不定的长方形，其面积随着___的变化而
变化，变化过程中的三个量为___________，其中常量是
_______，变量是________.
7．一种饮料每听售价4元，该饮料的销售量用x（听）表示；销售额用y（元）表示，根据x的值填写下表，
x（听） 2 3 4 5 6
y（元）
写出用x表示y的式子：____________.
8．某变化过程中，两个变量的值有如下对应关系：
x-2 -1 0 1 2
y-4 -2 0 2 4
写出用x表示y的式子：_______，其中____是常量.
9．用一根10m长的绳子围成一个长方形，设一边长为x(m)，
面积为S (m2)，试分析这个过程及过程中的量，并用通过
表格和式子两种方法表示变量间的关系.
板书设计
变量
一、变量与常量的定义二、例题分析
教学反思
19.1.2 函数
年级八年级课题课型新授
教学
媒体
多媒体
教学目标知
识
技
能
1、认识变量中的自变量与函数等概念
2、通过实例，确定函数关系式，并会求出函数值及确定自变量的取值范围。

过
程
方
法
通过从图或表格中寻找两个变量间的关系，提高识图及读表能力。

体会函数的不同表达方法。

情
感
态
度
通过函数学习，使学生积极参与活动、提高学习兴趣，形成合作交流意识及独立思考的习惯。

教学
重点
1、掌握确定函数关系的方法。

2、确定自变量的取值范围。

教学
难点
领会函数的意义及列出函数式
教学过程设计
教学程序及教学内容师生行为设计意图
一、情境引入
我国人口数据统计表中，年份和人口可记作两个变量x与y，中国人口数统计表
年份人口数（亿）
1984 10.34
1989 11.06
1994 11.76
1999 12.52
思考：对于每一个确定的年份（x）是否都对应着一个确定的人口数（y）值？
二、探究新知
1、出示教材中的3个问题。

①汽车行驶；②电影售票；③弹簧挂物.
提问：每个问题中是否各有两个变量？同一个问题中的变量之间有什么关系？教师给出问题，学生读题，
思考并回答问题。

教师引导学生解答
每个问题。

学生写
出关系式。

解答时，
关注学生是否答出
每个问题中的两个变量的单
现实问题能
引起学生的兴趣，
增强好奇心。

感知每个问
题中两个变量的
存在。

2、通过以上几个问题，你能说出在这几个问题中存在的共同点吗？上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中的一个变量取一定的值时，另一个变量就___________。

3、如何确定自变量的取值范围？
4、什么叫函数值，如何确定函数值？举例说明。

如果当x =a 时y =b ，那么b 叫做当自变量x 的值为a 时的函数值.
5、出示教材中的探究。

在计算器上按照下面的程序进行操作：
填表： x 1 3 -4 0 1
01 y 显示的数y 是输入的数x 的函数吗？如果是，写出它的关系表达式. 归纳：每给出一个自变量的值x ，y 有唯一的值和它对应。

三、例题讲解 （一）一辆汽车油箱现有汽油50L ，如果再加油，那么油箱中的油量y （L ）随行驶里程x （km ）的增加而减小。

平均耗油量为0.1L/km 。

1、 写出表示y 与x 的函数关系式。

2、 指出自变量x 的取值范围。

3 3、 汽车行驶200km 时，油箱中还有多少汽油。

分析：(1)油箱中的油量y 随行驶里程x 的增加而减少，所以x 是自变量，y 是x 的函数，y 与x 的函数解析式是x y 1.050-=；
(2)自变量x 的取值，首先要考虑其表示的意义，即x 表示行驶里程，因此x ≥0；其次要考虑本题的实际情况，必须保证50-0.1x ≥0，所以自变量x 的取值范围是5000≤≤x .
(3)本小题就是求x =200时的函数值，把x =200代入解析式x y 1.050-=，求得y =30，即汽车行驶200km 时，油箱中还有30L 汽油.
点拨 ：(1) y 与x 的函数关系式就是以x 为自变量，以y 为函数，其解析式就是用含x 的式子表示y .
(2)解决函数问题或是用函数方法解决问题，最为关键的是求出函数关系式，利用函数关系式可以求出自变量为任意值时的函数值，也可以求出函数等于某一值时自变量的
值对应。

师生共同归纳之后教师给出函数 的概念并板书。

教师强调：确定自变量的取值范围时， 不仅要考虑函数关系式有意义，而 且注意问题实际意义。

以例1为例，讲解他t 取值不同， 值s 有唯一确定的值和它对应。

让学生细心阅读计算交换意见、讨论结果。

教师引导学生分析题意，学生写出
表达式。

注意（1）要根据实际意义确定自变量取值范围x 、y 不能为负。

（2）计算函数值时，注意自变量的范围。

学生共同参与解决问题意在巩固其方法。

巩固函数定
义函数值的定义。

加深对函数意义的理解，熟练掌握函数关系式确定的办法。

值.
（二）练习：教材99页，练习（1）（2）。

三、课堂训练
1．下列关于变量x 、y 的关系：①5=-y x ；②x y 22=③
x y =；④x
y 3
=；其中y 是x 的函数的是（ ）
A ．①②③
B ．①②③④
C ．①③
D ．①③④
2．下列关系中，y 不是x 的函数的是（ ）. A ．y 是实数x 的平方 B ．y 是实数x 的立方根 C ．y 是非负实数x 的平方根 D ．y 是非负实数x 的算术平方根
3．下表中，x 表示乘公共汽车的站数，y 表示应付的票价(元)：
x
(站)
1 34
567891
y
(元)
1 22233344
根据表中数据判断：下列说法中正确的是（ ） A ．y 是x 的函数 B ．y 不是x 的函数 C ．x 是y 的函数 D ．以上说法都不对 4．水泥管的外径为6，内径为R ，横截面积S 与内径R 有如下关系：S =π(36- R 2
)，则（ ）
A ．S 是R 的函数；R 的取值范围是R ＞0
B ．S 是R 的函数；R 的取值范围是R ＜6
C ．S 是R 的函数；R 的取值范围是0＜R ＜6
D ．S 是R 的函数；R 也是S 的函数
5．函数1 =x y 的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x ≥0 C ．0≤x ≤1 D ．x ≥1 一架飞机从2100m 的高空开始降落，每秒钟下降150米. (1)写出飞机离地面的高度h (m)与降落时间t (秒)之间的函数关系式；
(2)求飞机从开始下降到降落需多长时间？
四、小结归纳 1、函数的定义。

2、函数值的定义。

3、自变量的取值范围。

五、作业设计)
教材82页第4、5题。

板书设计
2
19.1.2 函数
年级八年级课题课型新授
教学
媒体
多媒体
教学目标知
识
技
能
2、认识变量中的自变量与函数等概念
2、通过实例，确定函数关系式，并会求出函数值及确定自变量的取值范围。

过
程
方
法
通过从图或表格中寻找两个变量间的关系，提高识图及读表能力。

体会函数的不同表达方法。

情
感
态
度
通过函数学习，使学生积极参与活动、提高学习兴趣，形成合作交流意识及独立思考的习惯。

教学
重点
1、掌握确定函数关系的方法。

2、确定自变量的取值范围。

教学
难点
领会函数的意义及列出函数式
教学过程设计
教学程序及教学内容师生行为设计意图
一、情境引入
我国人口数据统计表中，年份和人口可记作两个变量x与y，中国人口数统计表
年份人口数（亿）
1984 10.34
1989 11.06
1994 11.76
1999 12.52
思考：对于每一个确定的年份（x）是否都对应着一个确定的人口数（y）值？
二、探究新知
2、出示教材中的3个问题。

①汽车行驶；②电影售票；③弹簧挂物.
提问：每个问题中是否各有两个变量？同一个问题中的变量之间有什么关系？教师给出问题，学生读题，
思考并回答问题。

教师引导学生解答
每个问题。

学生写
出关系式。

解答时，
关注学生是否答出
每个问题中的两个变量的单
现实问题能
引起学生的兴趣，
增强好奇心。

感知每个问
题中两个变量的
存在。

2、通过以上几个问题，你能说出在这几个问题中存在的共同点吗？上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中的一个变量取一定的值时，另一个变量就___________。

3、如何确定自变量的取值范围？
4、什么叫函数值，如何确定函数值？举例说明。

如果当x =a 时y =b ，那么b 叫做当自变量x 的值为a 时的函数值.
5、出示教材中的探究。

在计算器上按照下面的程序进行操作：
填表： x 1 3 -4 0 1
01 y 显示的数y 是输入的数x 的函数吗？如果是，写出它的关系表达式. 归纳：每给出一个自变量的值x ，y 有唯一的值和它对应。

三、例题讲解 （一）一辆汽车油箱现有汽油50L ，如果再加油，那么油箱中的油量y （L ）随行驶里程x （km ）的增加而减小。

平均耗油量为0.1L/km 。

4、 写出表示y 与x 的函数关系式。

5、 指出自变量x 的取值范围。

3 6、 汽车行驶200km 时，油箱中还有多少汽油。

分析：(1)油箱中的油量y 随行驶里程x 的增加而减少，所以x 是自变量，y 是x 的函数，y 与x 的函数解析式是x y 1.050-=；
(2)自变量x 的取值，首先要考虑其表示的意义，即x 表示行驶里程，因此x ≥0；其次要考虑本题的实际情况，必须保证50-0.1x ≥0，所以自变量x 的取值范围是5000≤≤x .
(3)本小题就是求x =200时的函数值，把x =200代入解析式x y 1.050-=，求得y =30，即汽车行驶200km 时，油箱中还有30L 汽油.
点拨 ：(1) y 与x 的函数关系式就是以x 为自变量，以y 为函数，其解析式就是用含x 的式子表示y .
(2)解决函数问题或是用函数方法解决问题，最为关键的是求出函数关系式，利用函数关系式可以求出自变量为任意值时的函数值，也可以求出函数等于某一值时自变量的
值对应。

师生共同归纳之后教师给出函数 的概念并板书。

教师强调：确定自变量的取值范围时， 不仅要考虑函数关系式有意义，而 且注意问题实际意义。

以例1为例，讲解他t 取值不同， 值s 有唯一确定的值和它对应。

让学生细心阅读计算交换意见、讨论结果。

教师引导学生分析题意，学生写出
表达式。

注意（1）要根据实际意义确定自变量取值范围x 、y 不能为负。

（2）计算函数值时，注意自变量的范围。

学生共同参与解决问题意在巩固其方法。

巩固函数定
义函数值的定义。

加深对函数意义的理解，熟练掌握函数关系式确定的办法。

值.
（二）练习：教材99页，练习（1）（2）。

三、课堂训练
1．下列关于变量x 、y 的关系：①5=-y x ；②x y 22=③
x y =；④x
y 3
=；其中y 是x 的函数的是（ ）
A ．①②③
B ．①②③④
C ．①③
D ．①③④
2．下列关系中，y 不是x 的函数的是（ ）. A ．y 是实数x 的平方 B ．y 是实数x 的立方根 C ．y 是非负实数x 的平方根 D ．y 是非负实数x 的算术平方根
3．下表中，x 表示乘公共汽车的站数，y 表示应付的票价(元)：
x
(站)
1 34
567891
y
(元)
1 22233344
根据表中数据判断：下列说法中正确的是（ ） A ．y 是x 的函数 B ．y 不是x 的函数 C ．x 是y 的函数 D ．以上说法都不对 4．水泥管的外径为6，内径为R ，横截面积S 与内径R 有如下关系：S =π(36- R 2
)，则（ ）
A ．S 是R 的函数；R 的取值范围是R ＞0
B ．S 是R 的函数；R 的取值范围是R ＜6
C ．S 是R 的函数；R 的取值范围是0＜R ＜6
D ．S 是R 的函数；R 也是S 的函数
5．函数1 =x y 的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x ≥0 C ．0≤x ≤1 D ．x ≥1 一架飞机从2100m 的高空开始降落，每秒钟下降150米. (1)写出飞机离地面的高度h (m)与降落时间t (秒)之间的函数关系式；
(2)求飞机从开始下降到降落需多长时间？
四、小结归纳 1、函数的定义。

2、函数值的定义。

3、自变量的取值范围。

五、作业设计)
教材82页第4、5题。

板书设计
2。