新疆兵团第二师华山中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题

新疆兵团第二师华山中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学 （文）试题
一、单选题
1．已知复数z 满足23iz i =+,则z 对应的点位于（ ）
A ． 第一象限
B ． 第二象限
C ． 第三象限
D ． 第四象限
答案：
D
解答：
2(3,)z -对应的点位于第四象限,选D. 2．设命题:0p x ∀＞，ln 0x x ->，则p ⌝为（ ）
A ．00x ∃>，00ln 0x x ->
B ．00x ∃>，00ln 0x x -≤
C ．0x ∀>，ln 0x x -<
D ．0x ∀>，ln 0x x -≤
答案：
B
解答：
由于全称命题的否定为特称命题，
所以命题:0p x ∀>，ln 0x x ->，则p ⌝为00x ∃>，00ln 0x x -≤.故选B.
3．宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. 如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为4,2，则输出的n =（ ）
A ． 2
B ． 3
C ． 4
D ． 5
答案：
B
解答：
由程序框图可得，1n =时，4462242
a b =+=>⨯==，继续循环； 2n =时，6692482
a b =+
=>⨯==，继续循环； 3n =时，9279281622a b =+=<⨯==，结束循环；结束输出3n =. 4．若,a b R ∈，则“0a >，0b >”是“0a b +>”的（ ）
A ． 充分不必要条件
B ． 必要不充分条件
C ． 充要条件
D ． 既不充分也不必要条件
答案：
A
解答：
当“0a >，0b >”时，由不等式的性质可知“0a b +>”，
反之若“0a b +>”，如1a =-，2b =，不满足“0a >，0b >”，
则“0a >，0b >”是“0a b +>”的充分不必要条件，故选A ．
5．已知双曲线22
12x y a
-=的一条渐近线为y =，则实数a 的值为（ ）
A
B ．2
C
D ．4
答案：
D
解答：
∵双曲线2212x y a
-=2=，解得4a =，故选D ． 6．下列说法错误的是（ ）
A ． 对分类变量X 与Y ，随机变量2
K 的观测值K 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 B ． 在回归直线方程ˆ0.20.8y
x =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位
C ． 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
D ． 回归直线过样本点的中心(,)x y
答案：
A
解答：
A ．对分类变量X 与Y 的随机变量2
K 的观测值K 来说，K 越大，“X 与Y 有关系”可信程度越大，因此不正确； B ．在线性回归方程ˆ0.20.8y x =+中，当x 每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，
正确；
C ．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确；
D ．回归直线过样本点的中心(,)x y ，正确．综上可知：只有A 不正确．故选：A ．
7．函数2
()24ln f x x x =-的单调减区间为（ ）
A ．(1,1)-
B ．(1,)+∞
C ．(0,1)
D ．[1,0)-
答案：
C
解答：
()f x 的定义域是(0,)+∞ 令()0f x '<，解得：01x <<，故选：C ．
8．椭圆22
192
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若14PF =，则12F PF ∠的余弦值为（ ）
A ．
12
B ．12-
C
D ．-
答案：
B
解答：
根据题意，椭圆的标准方程为22
192
x y +=，其中3,a b ===则c ==
则有12F F =3a =，则1226PF PF a +==，又由14PF =，
则2162PF PF =-=故选：B ． 9．若0,0a b >>，且函数32()42f x x ax bx =--在1=x 处有极值，则
41a b
+的最小值为（ ） A. 4
9
B. 43
C. 32
D. 23
答案：
C
解答：
因为函数32
()42f x x ax bx =--在1=x 处有极值，所以(1)12220f a b '=--=，即6=+b a ，则4114114543()()(5)6662
a b a b a b a b b a ++=++=++≥=（当且仅当a b b a 4=且6=+b a ，即42==b a 时取“=”
）；故选C ． 10．《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（ ）
A ．合情推理
B ．归纳推理
C ．类比推理
D ．演绎推理
答案：
D
解答：
因推理的格式符合三段论的形式,故是演绎推理,故应选D.
11．已知点P 在抛物线2
4y x =上，点(5,3)A ，F 为该抛物线的焦点，则PAF ∆周长的最小值为（ ）
A ．12
B ．11
C ．10
D ．9
答案：
B
解答：
抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，
准线:1l x =-，点(5,3)A 在抛物线内部，
P 是抛物线上的动点，PD l ⊥交l 于D ，由抛物线的定义可知PF PD =. ∴要求PA PF +取得最小值，即求PA PD +取得最小值，当,,D P A 三点共线时PA PD +最小，为5(1)6--=，则min ()6PA PF +=.
PAF ∆周长的最小值为：6511+=．故选B.
12．函数()f x 的定义域为R ，(1)3f =，对任意x R ∈，都有()()2f x f x '+<，则不等式()2x x
e f x e e ⋅>+的解集为（ ）
A ．{|1}x x <
B ．{|1}x x >
C ．{|1x x <-或1}x >
D ．{|1x x <-或01}x <<
答案： A
解答：
令()()2x x g x e f x e e =--，
则()()()2[()()2]x x x x g x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-
∵()()2f x f x '+＜，∴()()20f x f x +'-＜，∴()0g x '＜，即()g x 在R 上单调递减， 又(1)3f =，∴(1)(1)20g ef e e =--=，故当1x <时，()(1)g x g >，
即()20x x e f x e e -->，整理得()2x x e f x e e >+，∴()2x x e f x e e >+的解集为{|}1x x <． 故选：A ．
13．若函数x y e ax =+有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ． 1a >-
B ． 1a e
>- C ． 1a <- D ． 1
a e <-
答案：
C
解答：
∵x y e ax =+，∴x
y e a '=+．由题意知0x e a +=有大于0的实根， 由x e a =-，得x a e =-，∵0x >，∴1x
e >．∴1a <-．故选C.
二、填空题
14．原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”．当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生______天．
答案：
510
解答：
由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为
321017372767510⨯+⨯+⨯+⨯=．故答案为：510.
15．统计某产品的广告费用x 与销售额y 的一组数据如表：
若根据如表提供的数据用最小二乘法可求得y 对x 的回归直线方程是ˆ 1.1 4.6y
x =+，则数据中的m 的值应该是 ．
答案：
8
解答：
由题意， 4x =， 74
m y =+， ∵y 对x 的回归直线方程是ˆ 1.1 4.6y x =+，∴7 4.4 4.64m +
=+，∴8m =．故答案为：8.
16．点P 是双曲上一点，12F F 、是双曲线的左、右焦点，126PF PF +=，12PF PF ⊥，则双曲线的离心率为 .
答案：
解答：
根据题意，点P 1222PF PF a -==， 设12PF PF >，则有122PF PF -=，又由126PF PF +=，解可得：14PF =，22PF =，
又由12PF PF ⊥，则有22212
420PF PF c +==1a =，则双曲线的离
三、解答题
17．设命题:p 实数x 满足()(3)0x a x a --<，其中0a >，命题:q 实数x 满足
(3)(2)0x x --≤．
（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围．
（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
答案：
（1）23x ≤<；
（2）12a <<.
解答：
（1）由(1)(3)x x
--<，得13{|}P x x =<<，由(3)(2)0x x --≤，可得
23{|}Q x x =≤≤， 由p q ∧为真，即为,p q 均为真命题，可得x 的取值范围是23x ≤<；
（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，可得q 是p 的充分不必要条件，
由题意可得{|3}P x a x a =<<，23{|}Q x x =≤≤，由Q P Þ，可得2a ＜且33a <，解得12a <<．
18．已知集合,[0,2]{()|,[}1]1,Z x y x y ∈∈＝
－. （1）若,x y Z ∈，求0x y +≥的概率；
（2）若,x y R ∈，求0x y +≥的概率.
答案：
（1）
89
； （2） 78. 解答：
（1）设“0x y +≥，,x y Z ∈”为事件A ，,x y Z ∈，2[]0,x ∈，即0
,1,2x ＝；,1[]1y ∈－
，即1,0,1y =-. 则基本事件有：(0,1),(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(1,1),(2,1),(2,0),(2,1)---共9个. 其中满足“0x y +≥”的基本事件有8个，∴8()9
P A =.
故,x y Z ∈，0x y +≥的概率为89
. （2）设“0x y +≥，,x y R ∈”为事件B ，
∵[0,2]x ∈,[1,1]y ∈-，则基本事件为如图四边形ABCD 区域，事件B 包括的区域为其中的阴影部分.
∴，故,x y R ∈，0x y +≥的概率为78.
19．某公司即将推出一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示.
（1）根据茎叶图中的数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？
（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，求这2人都是年龄大于40岁的概率. 附：2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.
答案：
（1）表如解析所示，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关；
（2）310
. 解答：
（1）由茎叶图可得：
由列联表可得：2
2
50(2012108)30202 3.46 3.841822K ⨯-⨯=⨯≈<⨯⨯． 所以，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关．
（2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为51204
=， 所以年龄在20~40岁的抽取了2人，记为,a b ，
年龄大于40岁的抽取了3 人，记为,,A B C ，
从这5人中随机抽取2人，所有可能的情况为
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a A a B a C b A b B b C A B A C B C ，共10种， 其中2人都是年龄大于40岁的有3种情况，所以概率为310
． 20．正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 中点，F 为1CD 中点．
（1）求证：//EF 平面11ADD A ；
（2）求直线EF 和平面11CDD C 所成角的正弦值．
答案：
（1）见解析；
（2. 解答：
（1）证明：取1DD 中点M ，连接,MA MF ，有////M F A E D C
，且12M F A E D C ==，
所以AEFM 是平行四边形，
所以//EF AM ，又AM ⊂平面11ADD A ，EF ⊄平面11ADD A ，
所以//EF 平面11ADD A ，得证．
（2）因为//EF AM ，AD ⊥平面11CDD C ，所以AMD ∠与直线EF 和平面11CDD C 所成
角相等，又在Rt AMD ∆中，有sin
AMD ∠==，所以直线EF 和平面11CDD C 所
成角的正弦值为5
．
21．已知点(0,2)P -2，F 是椭圆E 的右
焦点，直线PF 的斜率为2，O 为坐标原点．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）直线l 被圆22
3O x y +=：截得的弦长为3，且与椭圆E 交于A B 、两点，求AOB ∆面积的最大值．
答案： （1）2
212
x y +=； （2
）2
. 解答：
（1）设(,0)F c ，由已知得，直线PF 的斜率22k c
==，得1c =
，又2c a =，
则a =1b =，故椭圆E 的方程为2
212
x y +=. （2）记点O 到直线l 的距离为d
，则2
d ==， ①当直线l 与y 轴平行时，直线l
的方程为2x =±
，易求2AB =，
∴128
AOB S AB d ∆=⋅⋅=， ②当直线l 与y 轴不平行时，设直线l 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，
由已知得2
d ==，∴()22314m k =+， 由2212
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(21)42(1)0k x kmx m +++-=，又21020k ∆=+>， ∴122421km x x k +=-+，21222(1)21m x x k -=+，
∴12AB x =-=
1
244
AOB
S AB d
∆
=⋅⋅===
22
2
1
(3351)
2
4212
k k
k
+++
≤=
+
，当且仅当1
k=±时取等号，
综上当1
k=±时，AOB
∆
面积的最大值为
2
.
22.已知函数
1
()ln
f x a x
x
=--，()1
x
g x e ex
=-+.
（1）若2
a=，求函数()
f x在点(1,(1))
f处的切线方程；
（2）若()0
f x=恰有一个解，求a的值；
（3）若()()
g x f x
≥恒成立，求实数a的取值范围.
答案：
（1）1
y=；
（2）1
a=；
（3）2
a≤.
解答：
（1）∵2
a=，∴(1)211
f=-=，
2
1
()
x
f x
x
-
'=，∴(1)0
f'=，∴切线方程为1
y=；（2）令
1
()ln
m x x
x
=+，∴
2
11
()
m x
x x
'=-+，
∴当x在(0,1)时，()0
m x
'<，()
m x递减，
当x在(1,)
+∞时，()0
m x
'>，()
m x递增，
故()
m x的最小值为(1)1
m=，()0
f x=恰有一个解，即y a
=，与()
m x只有一个交点，∴1
a=.
（3）由（2）知函数的最大值为(1)1
f a
=-，()1
x
g x e ex
=-+，()x
g x e e
'=-，
∴当x在(0,1)时，()0
g x
'<，()
g x递减，
当x在(1,)
+∞时，()0
g x
'>，()
g x递增，
∴函数()
g x的最小值为(1)1
g=，()()
g x f x
≥恒成立，
∴11
a
≥-，∴2
a≤.。