阳泉市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

阳泉市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在平面直角坐标系中，若不等式组
（为常数）表示的区域面积等于， 则的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 2． 已知函数f （x ）=2x ，则f ′（x ）=（ ）
A ．2x
B ．2x ln2
C ．2x +ln2
D ．
3． 过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB|=10，则AB 的中点到y 轴的距离等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4． 已知i z 311-=，i z +=32，其中i 是虚数单位，则2
1
z z 的虚部为（ ） A ．1- B ．
54 C ．i - D ．i 5
4 【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.
5． 某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（ ）
A.8
3 B ．
4 C.163
D ．20
3
6． 设x ，y ∈R ，且满足
，则x+y=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7． 三个数60.5，0.56，log 0.56的大小顺序为（ ） A ．log 0.56＜0.56＜60.5 B ．log 0.56＜60.5＜0.56 C ．0.56＜60.5＜log 0.56 D ．0.56＜log 0.56＜60.5
8． “p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（ ）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
9． 使得（3x 2+
）n （n ∈N +
）的展开式中含有常数项的最小的n=（ ）
A ．3
B ．5
C ．6
D ．10
10．已知定义在实数集R 上的函数f （x ）满足f （1）=3，且f （x ）的导数f ′（x ）在R 上恒有f ′（x ）＜2（x ∈R ），则不等式f （x ）＜2x+1的解集为（ ）
A ．（1，+∞）
B ．（﹣∞，﹣1）
C ．（﹣1，1）
D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
11．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（ ） A ．M ∪N
B ．（∁U M ）∩N
C ．M ∩（∁U N ）
D ．（∁U M ）∩（∁U N ）
12．设F 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，若OF 的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到
另一条渐近线的距离为1
||2OF ，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B
C ．
D ．3
【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想．
二、填空题
13．已知函数f （x ）
=，g （x ）=lnx ，则函数y=f （x ）﹣g （x ）的零点个数为 ．
14．一个总体分为A ，B ，C 三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B 层中每个个体被
抽到的概率都为
，则总体的个数为 ．
15．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视如图是一个圆，那么该几何体的体积是 ．
16．设f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[﹣1，1）时，f （x ）=
，
则f （）= ．
17．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线x
C y e ：＝上一点，直线20l x y c ：＋＋＝经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为________．
18．对于|q|＜1（q 为公比）的无穷等比数列{a n }（即项数是无穷项），我们定义S n （其中S n 是数列{a n }
的前n 项的和）为它的各项的和，记为S ，即S=S n =
，则循环小数0. 的分数形式是 ．
三、解答题
19．计算： （1）8
+（﹣）0﹣
；
（2）lg25+lg2﹣log 29×log 32．
20．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
21．（本小题满分10分）
已知曲线
22
:1
49
x y
C+=，直线
2,
:
22,
x t
l
y t
=+
⎧
⎨
=-
⎩
（为参数）.
（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程；
（2）过曲线C上任意一点P作与夹角为30的直线，交于点A，求||
PA的最大值与最小值.
22．（本小题满分12分）某旅行社组织了100人旅游散团，其年龄均在[10,60]岁间，旅游途中导游发现该旅游散团人人都会使用微信，所有团员的年龄结构按[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分成5组，分
别记为,,,,A B C D E ，其频率分布直方图如下图所示．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该旅游散团团员的平均年龄；
（Ⅱ）该团导游首先在,,C D E 三组中用分层抽样的方法抽取了6名团员负责全团协调，然后从这6名团员中
随机选出2名团员为主要协调负责人，求选出的2名团员均来自C 组的概率．
23．已知椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为
，以原点为圆心，
椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+相切．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）如图，若斜率为k （k ≠0）的直线l 与x 轴，椭圆C 顺次交于P ，Q ，R （P 点在椭圆左顶点的左侧）且∠RF 1F 2=∠PF 1Q ，求证：直线l 过定点，并求出斜率k 的取值范围．
24．已知数列{a n}的前n项和S n=2n2﹣19n+1，记T n=|a1|+|a2|+…+|a n|．（1）求S n的最小值及相应n的值；
（2）求T n．
阳泉市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】【知识点】线性规划
【试题解析】作可行域：
由题知：
所以
故答案为：B
2．【答案】B
【解析】解：f（x）=2x，则f'（x）=2x ln2，
故选：B．
【点评】本题考查了导数运算法则，属于基础题．
3．【答案】D
【解析】解：抛物线y2=4x焦点（1，0），准线为l：x=﹣1，
设AB的中点为E，过A、E、B分别作准线的垂线，
垂足分别为C、G、D，EF交纵轴于点H，如图所示：
则由EG 为直角梯形的中位线知，
EG=
=
=
=5，
∴EH=EG ﹣1=4， 则AB 的中点到y 轴的距离等于4．
故选D ．
【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想．
4． 【答案】B
【解析】由复数的除法运算法则得，i i i i i i i i z z 54
531086)3)(3()3)(31(33121+=+=-+-+=++=，所以2
1z z 的虚部为54.
5． 【答案】
【解析】选D.根据三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个以正方体的中心为顶点，上底面
为底面的正四棱锥后剩下的几何体如图，其体积V ＝23－13×2×2×1＝20
3，故选D.
6． 【答案】D
【解析】解：∵（x ﹣2）3
+2x+sin （x ﹣2）=2， ∴（x ﹣2）3
+2（x ﹣2）+sin （x ﹣2）=2﹣4=﹣2，
∵（y ﹣2）3
+2y+sin （y ﹣2）=6，
∴（y ﹣2）3
+2（y ﹣2）+sin （y ﹣2）=6﹣4=2，
设f （t ）=t 3
+2t+sint ，
则f （t ）为奇函数，且f'（t ）=3t 2
+2+cost ＞0，
即函数f （t ）单调递增．
由题意可知f （x ﹣2）=﹣2，f （y ﹣2）=2，
即f （x ﹣2）+f （y ﹣2）=2﹣2=0，
即f （x ﹣2）=﹣f （y ﹣2）=f （2﹣y ），
∵函数f （t ）单调递增 ∴x ﹣2=2﹣y ， 即x+y=4， 故选：D ． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f （t ）是解决本题的关键，综合考查了函数的性
质．
7． 【答案】A 【解析】解：∵60.5＞60=1，
0＜0.56＜0.50=1， log 0.56＜log 0.51=0． ∴log 0.56＜0.56＜60.5． 故选：A
【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，对于此类大小比较问题，有时借助于0和1为媒介，能起到事半功倍的效果，是基础题．
8． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为p 假真时，p q ∨真，此时p ⌝为真，所以，“p q ∨ 真”不能得“p ⌝为假”，而“p ⌝为假”时p 为真，必有“p q ∨ 真”，故选B. 考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用. 9． 【答案】B
【解析】解：（3x 2
+）n
（n ∈N +）的展开式的通项公式为T r+1=
•（3x 2）n ﹣r •2r •x ﹣3r =•x 2n
﹣5r ，
令2n ﹣5r=0，则有n=，
故展开式中含有常数项的最小的n 为5，
故选：B ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
10．【答案】A
【解析】解：令F （x ）=f （x ）﹣2x ﹣1，
则F′（x）=f′（x）﹣2，
又∵f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2，
∴F′（x）=f′（x）﹣2＜0恒成立，
∴F（x）=f（x）﹣2x﹣1是R上的减函数，
又∵F（1）=f（1）﹣2﹣1=0，
∴当x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即f（x）﹣2x﹣1＜0，
即不等式f（x）＜2x+1的解集为（1，+∞）；
故选A．
【点评】本题考查了导数的综合应用及利用函数求解不等式的方法应用，属于中档题．
11．【答案】B
【解析】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，
∴∁U M={0，1}，
∴N∩（∁U M）={0，1}，
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的子交并补运算，属于基础题．
12．【答案】B
【解析】
二、填空题
13．【答案】3
【解析】解：令g（x）=f（x）﹣log4x=0得f（x）=log4x
∴函数g（x）=f（x）﹣log4x的零点个数即为函数f（x）与函数y=log4x的图象的交点个数，
在同一坐标系中画出函数f（x）与函数y=log4x的图象，如图所示，
有图象知函数y=f（x）﹣log4 x上有3个零点．
故答案为：3个．
【点评】此题是中档题．考查函数零点与函数图象交点之间的关系，体现了转化的思想和数形结合的思想，体现学生灵活应用图象解决问题的能力．
14．【答案】300．
【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等，
所以总体中的个体的个数为15÷=300．
故答案为：300．
【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．
15．【答案】
．
【解析】解：此几何体是一个圆锥，由正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，其底面半径为1，且其高为正三角形的高
由于此三角形的高为，故圆锥的高为
此圆锥的体积为=
故答案为
【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是圆锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．
16．【答案】1．
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，
∴=1．
故答案为：1．
【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”．
17．【答案】－4－ln2
【解析】
点睛：曲线的切线问题就是考察导数应用，导数的含义就是该点切线的斜率，利用这个我们可以求出点的坐标，再根据点在线上（或点在曲线上），就可以求出对应的参数值。

18．【答案】．
【解析】解：0.=++…+==，
故答案为：．
【点评】本题考查数列的极限，考查学生的计算能力，比较基础．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）8+（﹣）0﹣
=2﹣1+1﹣（3﹣e）
=e﹣．
（2）lg25+lg2﹣log29×log32
=
=
=1﹣2=﹣1．…（6分）
【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数性质及运算法则的合理运用．
20．【答案】
【解析】
【专题】概率与统计．
【分析】（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；
（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．
【解答】解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株
数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概
率为=；
（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列
∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）
∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可
记n k为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3
由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==
∴所求的分布列为
Y 51 48 45 42
P
数学期望为E （Y ）=51×+48×+45×+42×=46
【点评】本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．
21．【答案】（1）2cos 3sin x y θθ
=⎧⎨=⎩，26y x =-+；（2.
【解析】
试题分析：（1）由平方关系和曲线C 方程写出曲线C 的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程；（2）由曲线C 的参数方程设曲线上C 任意一点P 的坐标，利用点到直线的距离公式求出点P 直线的距离，利用正弦函数求出PA ，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出PA 的最大值与最小值. 试题解析：（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩，（为参数），直线的普通方程为26y x =-+.
（2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到的距离为|4cos 3sin 6|5
d θθ=
+-．
则|||5sin()6|sin 30d PA θα=
=+-，其中α为锐角，且4
tan 3
α=，当sin()1θα+=-时，||PA 取
得最大值，最大值为5.当sin()1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为5
.
考点：1、三角函数的最值；2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程. 22．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查频率分布直方图与平均数、分层抽样、古典概型等基础知识，意在考查审读能力、识图能力、获取数据信息的能力．
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：椭圆的左，右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），
椭圆的离心率为
，即有=
，即a=
c ，b=
=c ，
以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为x 2+y 2=b 2
，
直线y=x+与圆相切，则有=1=b ，
即有a=
，
则椭圆C 的方程为
+y 2=1；
（Ⅱ）证明：设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），F 1（﹣1，0）， 由∠RF 1F 2=∠PF 1Q ，可得直线QF 1和RF 1关于x 轴对称，
即有
+
=0，即
+
=0，
即有x 1y 2+y 2+x 2y 1+y 1=0，①
设直线PQ ：y=kx+t ，代入椭圆方程，可得
（1+2k 2）x 2+4ktx+2t 2
﹣2=0，
判别式△=16k 2t 2﹣4（1+2k 2）（2t 2
﹣2）＞0， 即为t 2﹣2k 2
＜1②
x 1+x 2=，x 1x 2=，③
y 1=kx 1+t ，y 2=kx 2+t ，
代入①可得，（k+t）（x1+x2）+2t+2kx1x2=0，
将③代入，化简可得t=2k，
则直线l的方程为y=kx+2k，即y=k（x+2）．
即有直线l恒过定点（﹣2，0）．
将t=2k代入②，可得2k2＜1，
解得﹣＜k＜0或0＜k＜．
则直线l的斜率k的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，注意运用直线和圆相切的条件，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．
24．【答案】
【解析】解：（1）S n=2n2﹣19n+1=2﹣，
∴n=5时，S n取得最小值=﹣44．
（2）由S n=2n2﹣19n+1，
∴n=1时，a1=2﹣19+1=﹣16．
n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n2﹣19n+1﹣[2（n﹣1）2﹣19（n﹣1）+1]=4n﹣21．
由a n≤0，解得n≤5．n≥6时，a n＞0．
∴n≤5时，T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=﹣（a1+a2+…+a n）=﹣S n=﹣2n2+19n﹣1．
n≥6时，T n=﹣（a1+a2+…+a5）+a6+…+a n
=﹣2S5+S n
=2n2﹣19n+89．
∴T n=．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的解法、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法推理能力与计算能力，属于中档题．。