莱芜市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

莱芜市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：[70，90），[90，110），[100，130），[130，150），估计该班级数学成绩的平均分等于（）
A．112 B．114 C．116 D．120
2．执行如图的程序框图，则输出S的值为（）
A．2016 B．2 C．D．﹣1
3．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（）
A．α∥β，l⊂α，n⊂β⇒l∥n B．α∥β，l⊂α⇒l⊥β
C．l⊥n，m⊥n⇒l∥m D．l⊥α，l∥β⇒α⊥β
4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC的面积是（）A．16 B．6 C．4 D．8
5．=（）
A．2 B．4 C．πD．2π
6．若a=ln2，b=5，c=xdx，则a，b，c的大小关系（）
A．a＜b＜cB B．b＜a＜cC C．b＜c＜a D．c＜b＜a
7．下列说法正确的是（）
A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形；
B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体；
C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥；
D.通过圆台侧面上的一点，有无数条母线.
8．设0＜a＜b且a+b=1，则下列四数中最大的是（）
A．a2+b2B．2ab C．a D．
9．设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（）
A．1 B．C．D．﹣1
10．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）
A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
11．设m是实数，若函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x）的性质叙述正确的是（）
A．只有减区间没有增区间 B．是f（x）的增区间
C．m=±1 D．最小值为﹣3
12．四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）
A．96 B．48 C．24 D．0
二、填空题
13．已知f（x）=，则f[f（0）]=．
14．不等式的解集为．
15．若x，y满足线性约束条件，则z=2x+4y的最大值为．
16．在ABC
∆中，已知角C
B
A,
,的对边分别为c
b
a,
,，且B
c
C
b
a sin
cos+
=，则角B
为 .
17．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=3x x +，对任意的m ∈[﹣2，2]，f （mx ﹣2）+f （x ）＜0恒成立，则x 的取值范围为_____． 18．数列{a n }是等差数列，a 4=7，S 7= ．
三、解答题
19．已知曲线C 的极坐标方程为4ρ2cos 2θ+9ρ2sin 2θ=36，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系； （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若P （x ，y ）是曲线C 上的一个动点，求3x+4y 的最大值．
20．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114
n n n n
a a a a ++-=+.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和n S ．
21．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos
（）
=1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．
（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
22．某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一
次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指
数不低于70，说明孩子幸福感强）．
（1）根据茎叶图中的数据完成22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留
（2）从5人中随机抽取2人进行家访，求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．
参考公式：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
附表：
23．（本小题满分12分）
已知圆M 与圆N ：2
22)35()35(r y x =++-关于直线x y =对称，且点)3
5,31(-D 在圆M 上.
（1）判断圆M 与圆N 的位置关系；
（2）设P 为圆M 上任意一点，)35,1(-A ，)3
5,1(B ，B A P 、、三点不共线，PG 为APB ∠的平分线，且交
AB 于G . 求证：PBG ∆与APG ∆的面积之比为定值.
24．已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3=3，S 3=9 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =log 2，且{b n }为递增数列，若c n =
，求证：c 1+c 2+c 3+…+c n ＜1．
莱芜市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：根据频率分布直方图，得；
该班级数学成绩的平均分是
=80×0.005×20+100×0.015×20
+120×0.02×20+140×0.01×20
=114．
故选：B．
【点评】本题考查了根据频率分布直方图，求数据的平均数的应用问题，是基础题目．
2．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
s=2，k=0
满足条件k＜2016，s=﹣1，k=1
满足条件k＜2016，s=，k=2
满足条件k＜2016，s=2．k=3
满足条件k＜2016，s=﹣1，k=4
满足条件k＜2016，s=，k=5
…
观察规律可知，s的取值以3为周期，由2015=3*671+2，有
满足条件k＜2016，s=2，k=2016
不满足条件k＜2016，退出循环，输出s的值为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出前几次循环得到的s，k的值，观察规律得到s的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．
3．【答案】D
【解析】解：对于A，α∥β，l⊂α，n⊂β，l，n平行或异面，所以错误；
对于B，α∥β，l⊂α，l 与β可能相交可能平行，所以错误；
对于C，l⊥n，m⊥n，在空间，l与m还可能异面或相交，所以错误．
故选D．
4．【答案】D
【解析】解：∵a=5，b=4，cosC=，可得：sinC==，
∴S△ABC=absinC==8．
故选：D．
5．【答案】A
【解析】解：∵（﹣cosx﹣sinx）′=sinx﹣cosx，
∴==2．
故选A．
6．【答案】C
【解析】解：∵a=ln2＜lne即，
b=5=，
c=xdx=，
∴a，b，c的大小关系为：b＜c＜a．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题．
7．【答案】C
【解析】
考点：几何体的结构特征.
8．【答案】A
【解析】解：∵0＜a＜b且a+b=1
∴
∴2b＞1
∴2ab﹣a=a（2b﹣1）＞0，即2ab＞a
又a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2＞0
∴a2+b2＞2ab
∴最大的一个数为a2+b2
故选A
9．【答案】A
【解析】解：y'=2ax，
于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行
∴有2a=2
∴a=1
故选：A
【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率．10．【答案】A
【解析】解：∵，
只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．
故选A．
【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．
11．【答案】B
【解析】解：若f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，
则f（0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，
当m=1时，f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件，
当m=﹣1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|，此时为奇函数，满足条件，
作出函数f（x）的图象如图：
则函数在上为增函数，最小值为﹣2，
故正确的是B，
故选：B
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．
12．【答案】
B
【解析】
排列、组合的实际应用；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】首先分析题目已知由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，求安全存放的不同方法的种数．首先需要把四棱锥个顶点设出来，然后分析到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况．然后求出即可得到答案．
【解答】解：8种化工产品分4组，设四棱锥的顶点是P，底面四边形的个顶点为A、B、C、D．
分析得到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况，
（PA、DC；PB、AD；PC、AB；PD、BC）或（PA、BC；PD、AB；PC、AD；PB、DC）
那么安全存放的不同方法种数为2A44=48．
故选B．
【点评】此题主要考查排列组合在实际中的应用，其中涉及到空间直线与直线之间的位置关系的判断，把空间几何与概率问题联系在一起有一定的综合性且非常新颖．
二、填空题
13．【答案】1．
【解析】解：f（0）=0﹣1=﹣1，
f[f（0）]=f（﹣1）=2﹣1=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了分段函数的简单应用．
14．【答案】（0，1]．
【解析】解：不等式，即，求得0＜x≤1，
故答案为：（0，1]．
【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．15．【答案】38．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+4y得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，
直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，
由，解得，
即A（3，8），
此时z=2×3+4×8=6+32=32，
故答案为：38
16．【答案】
4
【解析】
考点：正弦定理．
【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是︒
180，消去多余的变量，从而解出B角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（）中以选择题的压轴题出现.
17．【答案】
2 2,
3⎛⎫-
⎪⎝⎭
【解析】
18．【答案】49
【解析】解：
=
=7a4
=49．
故答案：49．
【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由4ρ2cos 2θ+9ρ2sin 2θ=36得4x 2+9y 2
=36，
化为
；
（Ⅱ）设P （3cos θ，2sin θ），
则
3x+4y=
，
∵θ∈R ，∴当sin （θ+φ）=1时，3x+4y
的最大值为
．
【点评】本题考查了椭圆的极坐标方程、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．【答案】（本小题满分12分） 解： （Ⅰ）由114n n n n
a a a a ++-=
+得22
14n n
a a +-=，∴{}2n a 是等差数列，公差为4，首项为4， （3分） ∴244(1)4n a n n =+-=，由0n a >
得n a =． （6分）
（Ⅱ）∵
111
2
n n a a +==+， （9分）
∴数列11n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和为
1111
1)(1)2222
n
+
++=．
（12分） 21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由
从而C 的直角坐标方程为
即
θ=0时，ρ=2
，所以M （2，0）
（Ⅱ）M 点的直角坐标为（2，0） N 点的直角坐标为
所以P 点的直角坐标为
，则P 点的极坐标为
，
所以直线OP 的极坐标方程为，ρ∈（﹣∞，+∞）
【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
22．【答案】（1）有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关；（2）3
5
. 【解析】
幸福感强
幸福感弱
总计 留守儿童 6 9
15 非留守儿童 18 7 25 总计
24
16
40
∴2
40(67918)4 3.84115252416
K ⨯⨯-⨯=
=>⨯⨯⨯． ∴有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关．
（2）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人，记作：1a ，2a ；幸福感强的孩子3人，记作：1b ，2b ，
3b ．
“抽取2人”包含的基本事件有12(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，12(,)b b ，
13(,)b b ，23(,)b b 共10个．
事件A ：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b 共6个． 故63()105
P A =
=． 考点：1、 茎叶图及独立性检验的应用；2、古典概型概率公式. 23．【答案】（1）圆与圆相离；（2）定值为2. 【解析】
试题分析：（1）若两圆关于直线对称，则圆心关于直线对称，并且两圆的半径相等，可先求得圆M 的圆心，
DM r =,然后根据圆心距MN 与半径和比较大小，从而判断圆与圆的位置关系；（2）因为点G 到AP 和
BP 的距离相等，所以两个三角形的面积比值PA
PB
S S APG PBG =
∆∆,根据点P 在圆M 上，代入两点间距离公式求PB 和PA ,最后得到其比值.
试题解析：（1） ∵圆N 的圆心)35,35
(-N 关于直线x y =的对称点为)3
5,35(-M ， ∴9
16)3
4(||2
2
2
=
-==MD r ， ∴圆M 的方程为9
16
)35()35(22=
-++y x .
∵3
8
23210)310()310(||22=>=+=r MN ，∴圆M 与圆N 相离.
考点：1.圆与圆的位置关系；2.点与圆的位置关系.1
24．【答案】已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3=3，S 3=9 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =log 2
，且{b n }为递增数列，若c n =
，求证：c 1+c 2+c 3+…+c n ＜1．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】计算题；证明题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，从而可得3（1++
）=9，从而解得；
（Ⅱ）讨论可知a 2n+3=3•（﹣）2n =3•（）2n
，从而可得b n =log 2
=2n ，利用裂项求和法求和．
【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，
则3（1++）=9，
解得，q=1或q=﹣；
故a n=3，或a n=3•（﹣）n﹣3；
（Ⅱ）证明：若a n=3，则b n=0，与题意不符；
故a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，
故b n=log2=2n，
故c n==﹣，
故c1+c2+c3+…+c n=1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣＜1．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．。