有效整合，促思维提升——《封闭图形的植树问题》反思

有效整合，促思维提升——《封闭图形的植树问题》反思
发布时间：2022-03-15T07:07:23.598Z 来源：《中小学教育》2022年3月3期作者：蒋伟[导读]
蒋伟宁海桥头胡中心小学
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2022）03-198-03《封闭图形的植树问题》是人教版四年级下册P120数学广角例3的内容，安排在学生学习了例1、例2，知道了在直线段中的植树问题（两端都载，两端都不载或只载一端，载的棵数与间隔数关系）后。

教材这样编写的意图很显然是要用植树问题的思考方法来解决围棋中的数学问题，否则，这个内容就没有必要放在植树问题例1、例2之后进行教学。

可是在实际教学中，学生对于植树问题虽然有了一定的了解，但在解决例3时，还是很难想到要用植树问题去解决，那么教学效果就不尽人意了。

笔者在对此课不断地磨课和探究中，发现在平时的课堂教学中，就如何将封闭图形中的植树问题和直线段中的植树问题有效的联系起来欠缺思考，同时对植树问题的各个内在联系缺乏整体规划和综合设计的思考和意识。

经过多次的教学改进，笔者以此课参加教学新苗比赛，荣获一等奖，同时又作为教坛新秀展示课向全县老师展示，获得大家的一致好评。

为此，笔者以《封闭图形的植树问题》一课的磨课历程为例，谈谈如何关注学生，把直线段植树问题和封闭图形植树问题做到有效的整合，促进学生的思维提升。

一、第一次教学：关注教材
（一）复习旧知，揭示问题
师：之前我们已经学习了直线段中的植树问题，现在请同学们回忆一下，在直线段中的植树问题有几种情况？棵数与间隔数存在什么关系？
生1：两端都种，棵数=间隔数+1
生2：两端都不种，棵数=间隔数-1
生3：只种一端，棵数=间隔数
师：看来同学们已经掌握了直线段中的植树问题，那么今天我们来研究封闭图形中的植树问题。

（二）探索新知，得出方法
1．教学每边摆放3粒棋子的方法。

出示3×3格方格纸。

师：最外层每边放3个棋子，最外层可以摆放多少个棋子？
生1： 3×4=12
生2： 3×4-4=8
生3： 3×2+1×2=8
生4：（3-1）×4=8
……
师：到底最外层能摆放多少颗棋子呢？我们来验证一下，两人一组动手摆一摆画一画。

生：8颗。

师：第一种方法错在那里？
生：没有减去重复的棋子。

师：说的非常好，下面我们每边放4颗，最外层能摆放多少颗呢？
2、探索每边摆4粒棋子的方法
出示4×4格方格纸。

要求最外层每边放4个棋子，最外层可以摆放多少个棋子？
生1： 4×4-4=12。

生2： 4×2+2×2=12。

生3：（4-1）×4=12。

……
师：（4-1）×4=12这种方法你们理解吗？（有一部分同学是不理解的）
师：那位同学能够告诉我每边有几个间隔？
生：3个。

师：你是怎么想的？
生：数的。

生：间隔数=棋子数-1。

师：最外层一共有几个间隔呢？
生：3×4=12。

师：最外层棋子数和最外层间隔数有什么关系？
生：相等。

师：那么，现在（4-1）×4=12这种方法你们理解了吗？
生：理解了，通过求出间隔数来求最外层棋子数。

师：每边放5可棋子，最外层可以放几颗？用你们喜欢的方法解决。

反思：封闭图形的植树问题对于学生和老师来说都是一个全新的命题，如何使学生理解封闭图形的植树问题中的“最外层棋子数=间隔数 ”以及如何将封闭图形的植树问题和直线段植树问题建立联系，在增强趣味性的同时又能唤起学生的知识经验？这是我们作为一线教师要思考的。

首次试教后，磨课组的同伴认为：以上教学环节的安排，由教师完成带着学生学，毫无思考的张力，无视学生已有的认知，割裂了学生已有的知识储备和能力储备。

没有将直线段的植树问题和封闭图形的植树问题有效的结合，而是灌输式地让学生知道“最外层棋子数=间隔数”，以致一部分学生不理解为什么可以用这样的算式（4-1）×4=12求最外层棋子数。

复习环节的设置，也只是为了复习而复习，没有建立两者有效的联系。

通过课堂观察、学生访谈，做出了调整，试图对以上问题进行改进。

二、第二次教学：关注学生
(一)复习旧知，揭示问题
师：之前我们已经学习了直线段中的植树问题，现在请同学们回忆一下，在直线段中的植树问题有几种情况？棵数与间隔数存在什么关系？
生1：两端都种，棵数=间隔数+1。

生2：两端都不种，棵数=间隔数-1。

生3：只种一端，棵数=间隔数。

师：看来同学们已经掌握了直线段中的植树问题，那么今天我们来研究封闭图形中的植树问题。

（二）探索新知，得出方法
师：为迎接元旦文艺汇演，各年级都在做积极准备，503班也在排练节目。

这些里面都有数学问题，咱们去看看。

503班的同学，她们先排成一排，每隔2米站1人，队伍总长22米，请问有多少人参加表演？
生：22÷2=11（个）
11＋1=12（人）
师：大家同意他的意见吗？能解释一下吗？11表示什么？
生：11是间隔。

师：当两边都站的时候，有11个间隔就有12人，这就相当于在线段上两端都植树的植树问题。

师：还是这12人，她们现在围成了一个圆形，相邻2人的间隔还是2米，这一周有多长呢？
生1： 12×2=24米
生2：（12－1）×2=22米
生3：（12+1）×2=26米
师：说说你是怎么想的？
生1：有12个间隔。

生2：有11个间隔。

生3：有13个间隔。

师：到底有多少个间隔？我们来数一数吧。

（借助课件）
师：数出来几个？
生：12个
（师板书：间隔数=人数）
师：还是这12人，她们现在围成了一个正方形，每边站4个人，那么共有几个间隔呢？
生：12个
师：你是怎么知道的？
生：数的
师：除了数，还有其他方法吗？
生：每边站4个人就有3个间隔，有4条边就有3×4=12个
师：非常好，那么人数与间隔数存在什么关系？
生：间隔数=人数=12。

师：通过上面两种情况，同学们有没有发现什么规律？
生：在围成的圆和正方形中，间隔数=人数。

师：同意吗？
生：同意。

师：同学们刚才猜测当围成封闭图形时，人数与间隔数相等，我们现在只证明了在圆形中，在正方形中是这样，那是否是在所有的封闭图形中，人数与间隔数都相等呢？我们得一一验证一下。

（三角形、正五边形等）
师生总结：在封闭图形中，间隔数=人数
反思：数学广角的内容是新课程标准的实验教科书新增添的内容之一，其所承载的重要任务就是建构模型，渗透数学思想方法。

在以上教学过程中，我主要是通过研究直线段——圆形——正方形的植树问题的过程，让学生体会与猜测封闭图形中人数与间隔数的关系，然后再推广到任意封闭图形，就是建构封闭图形的植树问题这一模型，让学生理解在封闭图形中“最外层的人数=间隔数”。

以上教学过程，从实际的教学效果来看，有以下优点：以学生为主体，注重学生的思考和体验，一开始回顾直线段植树的几种情况，这一内容是学生的前知，是直线上两端都植的植树问题的变式，是学生上节课所研究的直线段的植树问题的一部分，放置在此处一方面是
沟通前知与新知的联系，为后续学习做铺垫。

然后,通过围成圆，造成认知冲突，激发学生学习的积极性，引导学生进行观察比较分析，让学生去探究在圆中人数与间隔数之间的关系，并加以验证。

当学生初步感知在圆中“人数=间隔数”后，继续探究在正方形中人数与间隔数间的关系。

三个层次的环节清晰，让学生经历猜测、探索、验证的过程，从而得出在封闭图形中，人数=间隔数。

整一个教学过程，使学生的主体地位落实到了实处，使学生真正成为学习的主人，培养了学生自主探索的能力。

但是进行研训活动后，再对这次教学实践进行分析和思考，发现这样的教学过程也还是存在着一定的问题：封闭图形中的植树问题其实质就是直线段植树问题的中只植一端的类型，在整个教学设计中没有体现出来，也就是没有将直线段植树问题和封闭图形的植树问题做到有效的整合。

其次，教师过于强调用“人数=间隔数”来解决这一问题，导致学生的思维定式，而忽略了计算的多样性。

于是又做出了调整，试图对以上问题进行改进。

三、第三次教学：关注思维
(一) 情境导入（课件出示）
师：棋盘的最外层每边能放4个棋子，最外层一共可以摆放多少棋子？
多少颗？大家动手算一算。

生1：4×4-4=12。

生2：4×2+2×2=12。

生3：（4-1）×4=12。

师：说一说，你是怎么想的？
生1：每边4个总共有4边，然后减去4个重复的棋子。

生2：上下两条边有4个，左右两边有2个。

师：（4-1）×4=12。

这种方法你们是怎么想的？（部分同学不理解）
(二) 结合旧知、探索新知
师：我们先不急着去理解，现在请同学们帮老师解决这个问题。

师：上述3种是直线段植树问题中的那种情况？
生：第一种，两端都种，棵数（棋子数）=间隔数+1。

第二种，只种一端，棵数（棋子数）=间隔数。

第三种，两端都不种，棵数（棋子数）=间隔数-1。

师：哪一种可以在不减少棋子数和段数的情况下可以围成正方形。

生：第一种不可以，减少1颗棋子。

生：第二种也不可以，减少1个段数。

生：第三种可以。

（学生说好后，师借用多媒体课件动态展示围成正方形的过程）
师：在正方形最外边植树的情况和在直线段植树的哪一种情况是一样的，它们都有什么特点？
生：和只种一端是一样的，棵数（棋子数）=间隔数。

师：那么求最外层棋子数相当于求什么？
生：间隔数。

师：现在，同学们理解这种方法了吗？（4-1）×4=12。

谁来说一下。

生：正方形每边摆4颗棋子，就有3个间隔，总共有（4-1）×4=12个间隔，因为棋子数等于间隔数，所以棋子数=12个。

师：说的非常好，大家都听清楚了吗？现在，请同学们来看一幅图。

师：有几个火柴头，几根火柴棒，几根火柴？
生：都等于12。

师：我们可以将火柴头看成什么？火柴棒看成什么？
生：棋子数和间隔数。

师：这个跟我们今天学习的有什么联系？
（师生总结：在封闭图形中，棵数（棋子数）=间隔数）
反思：以上教学设计是在第二次教学的基础上加以修改，主要目标是向学生渗透“封闭图形的植物问题其实质就是直线段植树问题中的只种一端的这种情况”，通过转化让学生明白封闭图形最外层棋子数等于最外层间隔数。

首先直接抛出问题，让学生用自己喜欢的方法去解决，出现这种方法（4-1）×4=12时，利用直线段植树问题的3种情况加以引导，让学生自己探索出封闭图形的植物问题其实质就是直线段植树问题中的只种一端的这种情况，从而得出“间隔数=棵数（棋子数）”，学生也就明白了（4-1）×4=12的这种方法。

借助日常生活中常见的火柴（火柴头与火柴棒一一对应）进一步加深了学生对“间隔数=棵数（棋子数）”的理解，使本堂课的教学难点得以落实。

整个教学过程对学生的思维要求高了，思维含量增加，自主性增强。

因为在提供给学生探究时，没有可操作的材料，只能凭借直线段植树问题的3种情况，这样的要求是前几次教学所没有的，此时，思维的挑战性不言而喻。

利用多媒体课件帮助学生理解，在不减少棋子数和段数的情况下，只有只种一端这种情况可以转化成正方形，而教学过程说明，这样的挑战性任务，学生还是能够接受的，是能够通过思考分析解决的。

也只有思维得到了提升，学生才能很好的理解这堂课的难点。

回顾《封闭图形的植树问题》这一课的整个磨课过程，总感觉每一次试教，每一次聆听大家的建议，总能让自己有新收获：
第一，教学中应尽可能拉长学生有效数学思维的时间和空间，并通过教师自身数学教学思维的张与弛不断激发并引导感染学生学会归纳与演绎，引发学生积极主动的数学思维，通过有效的思维活动过程优化数学思维品质，提高数学思维能力。

第二，教学中应关注学生“自主学习，合作学习，探究学习”的数学学习过程，注意对学生数学活动经验、数学思维方法的有效分析，注意在学生数学思维的“最近发展区”开展教学，注意合理运用“激趣”手段进行“启思”，注意教给学生符合数学学科特点的思维方法和技巧，特别是加强思维策略的训练(包括复述策略、精制策略、组织策略的训练)，并引导学生进行经常性的学习反思。

促进学生思维发展的方法是多种多样的，要使学生思维活跃，最根本的一条就是要调动学生学习数学的积极性。

因此，教师要善于启发、引导、点拨、解疑，使学生变学为思。

当然，良好的思维品质不是一朝一夕就能形成的，在平时的教学中，我们只要根据学生实际情况，关注学生的数学思维和学习方式，整合教材，选择有效的教学手段，持之以恒，就必定会有所成效。