[精品]新人教A版必修三高中数学第二章2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征导学案

2．22 用样本的数字特征估计总体的数字特征
1．掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征．
2．会求众数、中位数、平均数、标准差、方差，并能用之解决有关问题．
1．众数
(1)定义：一组数据中出现次数的数称为这组数据的众数．
(2)特征：一组数据中的众数可能个，也可能没有，反映了该组数据的．
众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征．
【做一做1】 数据组8，－1,0,4，17
，4,3的众数是． 2．中位数
(1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于位置的数称为这组数据的中位数．
(2)特征：一组数据中的中位数是的，反映了该组数据的．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积．
中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，
但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点．
【做一做2】数据组－5,7,9,6，－1,0的中位数是．
3．平均数
(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据1，
的平均数为\t()＝
2，…，n
(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的，但平均数受数据中的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．
【做一做3】 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，则其平均数是．
4．标准差
(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式计算
s＝
可以用计算器或计算机计算标准差．
(2)特征：标准差描述一组数据围绕波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较；标准差较小，数据的离散程度较．
【做一做4】一组数据的单位是，平均数是\t()，标准差为s，则( )
A．\t()与s的单位都是B．\t()与s的单位都是c
．\t()与s的单位都是D．\t()与s的单位不同
5．方差[]
(1)定义：标准差的平方，即
s2＝
(2)特征：与的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小．
(3)取值范围：
数据组1，2，…，n的平均数为\t()，方差为s2，标准差为s，则数据组a1＋b，a2＋b，…，a n＋b(a，b为常数)的平均数为a\t()＋b，方差为a2s2，标准差为as
【做一做5】下列刻画一组数据离散程度的是( )
A．平均数B．方差．中位数
D．众数
6．用样本估计总体
现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数、众数、中位数、标准差、方差是不知道的，因此，通常用的平均数、众数、中位数、标准差、方差估计．这与上一节用的频率分布近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理
的，也是可以接受的．
用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差．样本容量越大，估计就越精确．
【做一做6－1】下列判断正确的是( )
A．样本平均数一定小于总体平均数
B．样本平均数一定大于总体平均数
．样本平均数一定等于总体平均数[]
D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数
【做一做6－2】电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得数据如下(单位：小时)：30,35,25,25,30,34,26,25,29,21，则该日生产电池的平均寿命估计为( )
A．27 B．28 ．29 D．30
答案：1．(1)最多(2)不止一集中趋势
【做一做1】 4
2．(1)中间(2)唯一集中趋势相等[]
【做一做2】 3 将该组数据按从小到大排列为－5，－1，
0,6,7,9，则中位数是0＋6
2
＝3
3．(1)1＋2＋…＋n n
(2)平均水平 信息 极端值 【做一做3】 147 平均数是110
(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝147
4
．(1)
错误! (2)平均数 大 小 【做一做4】 \t()与s 的单位都与数据组中的数据单位相同，是
5．(1)1n
[(1－\t())2＋(2－\t())2＋…＋(n －\t())2] (2)标准差 (3)[0，＋∞)
【做一做5】 B 方差刻画一组数据离散程度的大小．
6．样本 样本
【做一做6－1】 D
【做一做6－2】 B 这10个数据的平均数是110
(30＋35＋25＋25＋30＋34＋26＋25＋29＋21)＝28，则该日生产的电池的平均寿命估计为28小时．
1．理解众数、中位数、平均数
剖析：(1)众数体现了样本数据的最大集中点，容易计算，但它只能表达样本数据中很少一部分信息，显然对其他数据信息的忽略使其无法客观地反映总体特征．
(2)中位数不受少数几个极端值的影响，容易计算，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点．
(3)由于平均数与每一个样本的数据有关，“越离群”的数据，对平均数的影响也越大，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质．
也正因为这个原因，与众数、中位数比较起，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．如在体育、文艺等各种比赛的评分中，使用的是平均数，计分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止由于个别裁判的人为因素而给出过高或过低的分数，对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量保证公平性．
(4)在一组数据中，它们的众数、中位数、平均数可能相同，也可能不同，而实际问题中，计算平均数时应该注意按实际要求进行计算．
(5)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．
2．众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
剖析：(1)在样本数据的频率分布直方图中，众数的估计值就是最高矩形的中点的横坐标．
(2)在频率分布直方图中，中位数左右两侧的直方图的面积相等，但是因为样本数据的频率分布直方图只是直观地表明分布的特征，因而从直方图本身得不出原始的数据内容，所以由频率分布直
方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数的值不一致．
(3)平均数显然是频率分布直方图的“重心”．我们知道，n个
样本数据1，2，…，n的平均数\t()＝1
n
(1＋2＋3＋…＋n)，则就有
n\t()＝1＋2＋3＋…＋n，所以\t()对数据有“取齐”的作用，代表了一组数据的数值平均水平．在频率分布直方图中，平均数是直方图的平衡点，假设横轴表示一块放置直方图的跷跷板，则支点取在平均数处时跷跷板达到平衡．
3．理解方差与标准差
剖析：(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
(2)标准差、方差的取值范围是[0，＋∞)．
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．
(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．
题型一计算方差(标准差)
【例题1】从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人成绩的标准差为．
反思：求一组数据的方差和标准差的步骤如下：
①先求平均数\t()
②代入公式得方差和标准差
s2＝1
n
[(1－\t())2＋(2－\t())2＋…＋(n－\t())2]，
s＝错误!
题型二众数、中位数、平均数的应用
【例题2】某工厂人员及月工资构成如下：
(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数．
(2)这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？
分析：(由平均数的定义)→(计算平均数)→(已知数据从小到大排列)→(得中位数、众数)→(结论) 反思：(1)如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许
多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中的极端数据信息，帮助我们作出决策．
(2)众数、中位数、平均数三者比较，平均数更能体现每个数据的特征，它是各个数据的重心．
题型三方差的应用
【例题3】甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果，从中各抽出10袋，测得其实际质量分别如下(单位：克)：甲：203 204 202 196 199 201 205 197 202 199
乙：201 200 208 206 210 209 200 193 194 194
(1)分别计算两个样本的平均数与方差．
(2)从计算结果看，哪台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近于200克？哪台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定？
反思：研究两个样本的波动情况或比较它们的稳定性、可靠性、平整性等性能好坏的这类题，先求平均数，比较一下哪一个更接近标准．若平均数相等，则再比较两个样本方差的大小作出判断．在计算过程中，要仔细观察所给样本数据的特征，选择恰当的公式计算平均数和方差，这样可避免计算的烦琐，降低错误率．题型四易错辨析
【例题4】小明是班里的优秀生，他的历次数成绩是96,98,95,93分，但最近的一次考试成绩只有45分，原因是他带病参加了考试．期末评价时，怎样给小明评价？
错解：这五次数考试的平均分是
96＋98＋95＋93＋455
＝854，则按平均分给小明一个“良好”． 错因分析：这种评价是不合理的，尽管平均分是反映一组数据平均水平的重要特征，但任何一个数据的改变都会引起它的变化，而中位数则不受某些极端值的影响．本题中的5个成绩从小到大排列为：45,93,95,96,98，中位数是95，较为合理地反映了小明的数水平，因而应该用中位数衡量小明的数成绩．
答案：
【例题1】 2105
这100人的总成绩为5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10＝300，平均成绩为300100＝3，则该100人成绩的标准差为
错误! ＝2105
【例题2】 解：(1)由表格可知，众数为2 000元．
把23个数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，排在中间的数应是第12个数，其值为2 200，故中位数为2 200元．
平均数为(22 000＋15 000＋11 000＋20 000＋1 000)÷23＝69 000÷23＝3 000(元)．
(2)虽然平均数为3 000元/月，但由表格中所列出的数据可见，
只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平．
【例题3】解：(1)\t()甲＝1
10
(3＋4＋2－4－1＋1＋5－3＋2－1)＋200＝2008
\t()乙＝1
10
(1＋0＋8＋6＋10＋9＋0－7－6－6)＋200＝2015
s\al(2,甲)＝796，s\al(2,乙)＝3805
(2)∵200＜\t()甲＜\t()乙，
∴甲台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近于200克．
∵s\al(2,甲)＜s\al(2,乙)，
∴甲台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定．
【例题4】正解：小明5次考试成绩，从小到大排列为45,93,95,96,98，中位数是95，应评定为“优秀”．
1．如图，是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数与众数分别为( )
A．3与3 B．23与3 ．3与23
D．23与23
2．(2011·北京海淀二模，理5)某赛季甲、乙两名篮球运动员
各13场比赛的得分情况用茎叶图表示如下：
根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是( )
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
3．抛硬币20次，抛得正面朝上12次，反面朝上8次．如果抛到正面朝上得3分，抛到反面朝上得1分，则平均得分是，得分的方差是．
4．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为，y,10,11,9已知这组数据的平均数为10，方差为2，则2＋y2＝5．某校高二年级在一次数选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：
求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数竞赛．
答案：1．D 中位数是指一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列，处在中间位置的一个数(或最中间两个数据的平均数)，从茎叶图中可知中位数为23；众数是指一组数据中出现次数最多的数，从茎叶图中可知23出现了3次，次数最多，因此众数也是23，所以选D．
2．D 甲运动员比赛得分的最高分为47，最低分为18，极差为29，乙运动员比赛得分的最高分为33，最低分为17，极差为16，所以A项正确；甲运动员比赛得分的中位数为30，乙运动员比赛得分
(18的中位数为26，所以B项正确；甲运动员的得分平均值x甲＝1
13
＋18＋19＋20＋21＋26＋30＋32＋33＋35＋40＋41＋47)＝343
，乙
13
(17＋17＋19＋19＋22＋25＋26＋27＋运动员的得分平均值x乙＝1
13
，甲运动员的得分平均值大于乙运动员29＋29＋30＋32＋33)＝325
13
的得分平均值，所以项正确；由茎叶图知甲得分较为分散，乙得分较为集中，故甲的成绩没有乙的成绩稳定．
＝3．22 096 总得分为12×3＋8×1＝44，则平均分是44
20
[(3－22)2×12＋(1－22)2×8]＝096
22，方差s2＝1
20
＝10，4．208 由平均数为10，得(＋y＋10＋11＋9)×1
5
则＋y＝20；
又由于方差为2，则[(－10)2＋(y－10)2＋(10－10)2＋(11－
＝2，
10)2＋(9－10)2]×1
5
整理得2＋y2－20(＋y)＝－192，
则2＋y2＝20(＋y)－192＝20×20－192＝208 5．解：设甲乙两人成绩的平均数分别为x甲，x乙，则x甲＝130＋1(380751)
6
-+++++＝133，
x乙＝130＋1
(318426)
6
-++-+＝133，
2 s 甲＝222222
1
[(6)5(3)42(2)]
6
-++-+++-＝47
3
，
2 s 乙＝222222
1
[0(4)51(5)3]
6
+-+++-+＝38
3
因此，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛比较合适．。