【名师一号】高考数学一轮总复习 2.10函数模型及其应用练习

第十节函数模型及其应用
时间：45分钟分值：100分
基础必做
一、选择题
1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )
A.
C．指数函数模型D．对数函数模型
解析根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．
答案 A
2．(2015·湖州模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
解析由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故选B.
答案 B
3．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度的关系为指数型函数y＝ka x，若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约为100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约为80 h，那么在10 ℃时保鲜时间约为( )
A．49 h B．56 h
C．64 h D．72 h
解析 由题意知，⎩
⎪⎨⎪⎧
100＝ka 0
，
80＝ka 5
解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
k ＝100，a 5＝4
5，则当x ＝10时，y ＝100a 10
＝
100×⎝ ⎛⎭
⎪⎫452
＝64 (h)．
答案 C
4．(2014·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.
p ＋q
2
B.p ＋
q ＋－12
C.pq
D.
p ＋
q ＋
－1
解析 设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x )2
＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝p ＋q ＋－1，
故选D.
答案 D
5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x
2
和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A ．45.606万元
B ．45.6万元
C ．45.56万元
D ．45.51万元
解析 依题意可设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，总利润S ＝L 1＋L 2，则总利润S ＝5.06x －0.15x 2
＋2(15－x )＝－0.15x 2
＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2
＋0.15×10.22
＋30(x ≥0)．故当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．
答案 B
6．已知某食品厂生产100克饼干的总费用为1.80元，现该食品厂对饼干采用两种包装，其包装费及售价如表所示：
①买小包装实惠； ②买大包装实惠；
③卖3包小包装比卖1包大包装盈利多；
④卖1包大包装比卖3包小包装盈利多． 所有正确的说法是( ) A ．①④ B ．①③ C ．②③
D ．②④
解析 1包小包装每元买饼干1003克，1包大包装每元可买饼干3008.4＞100
3克，因此，买大
包装实惠．卖3包小包装可盈利2.1元，卖1包大包装可盈利2.2元，因此，卖3包小包装比卖1包大包装盈利少．
答案 D 二、填空题
7．计算机的价格大约每3年下降2
3，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价
格大约是________元．
解析 方法1：设计算机价格平均每年下降p %， 由题意，可得13＝(1－p %)3
，∴p %＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13
13 .
∴9年后的价格为
8 100×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13 13 －19＝8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝300(元)． 方法2：9年后的价格为
8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝8 100×⎝ ⎛⎭
⎪⎫133
＝300(元)．
答案 300
8．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品．则获得利润最大时生产产品的档次是________．
解析 由题意，第k 档次时，每天可获利润为：y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k 2
＋108k ＋378(1≤k ≤10)，配方可得y ＝－6(k －9)2
＋864，∴k ＝9时，获得利润最大．
答案 9
9．生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，(A)对应________；(B)对应________；(C)对应________；(D)对应________．
解析A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；
B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；
C、D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．
答案(4) (1) (3) (2)
三、解答题
10．某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本500万元，生产与销售均以百台计数，且每生产100台，还需增加可变成本1 000万元．若市场对该产品的年需求量为500台，每生产m百台的实际销售收入(单位：万元)近似满足函数R(m)＝5 000m－500m2(0≤m≤5，m∈N)．
(1)试写出第一年的销售利润y(万元)关于年产量x(单位：百台，x≤5，x∈N*)的函数关系式；(说明：销售利润＝实际销售收入－成本)
(2)因技术等原因，第一年的年生产量不能超过300台，若第一年人员的年支出费用u(x)(万元)与年产量x(百台)的关系满足u(x)＝500x＋500(x≤3，x∈N*)，问年产量x为多少百台时，工厂所得纯利润最大？
解(1)由题意得y＝5 000x－500x2－500－1 000x，
即y＝－500x2＋4 000x－500(x≤5，x∈N*)．
(2)记工厂所得纯利润为h(x)，则
h(x)＝－500x2＋4 000x－500－u(x)
＝－500x2＋3 500x－1 000，
∵－500(x 2－7x )－1 000＝－500⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －722＋5 125(x ≤3，x ∈N *
)，
∴当x ＝3(百台)时，h (x )max ＝5 000(万元)．
故当年生产量为3百台时，厂家的纯利润最大，且最大值为5 000万元．
11．(2014·上海六校二联)为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y (万元)与处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为y ＝x 2
－50x ＋900，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．
(1)当x ∈[10,15]时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？
(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？ 解 (1)根据题意得，利润P 和处理量x 之间的关系：
P ＝(10＋10)x －y ＝20x －x 2＋50x －900
＝－x 2
＋70x －900＝－(x －35)2
＋325，x ∈[10,15]．
∵x ＝35∉[10,15]，P ＝－(x －35)2
＋325在[10,15]上为增函数， 可求得P ∈[－300，－75]．
∴国家最少补贴75万元，该工厂才不会亏损． (2)设平均处理成本为
Q ＝y x ＝x ＋900
x
－50≥2 x ·
900
x
－50＝10，
当且仅当x ＝900
x
时等号成立，由x >0得x ＝30.
因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元．
培 优 演 练
1．(2015·郑州模拟)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝1
2n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如
果年产量超过150吨，会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )
A ．5年
B ．6年
C ．7年
D ．8年
解析 第n 年的年产量
y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
f ，n ＝1，
f n －f n －，n ∈N ，n ≥2.
因为f (n )＝1
2n (n ＋1)(2n ＋1)，所以f (1)＝3，
当n ≥2时，f (n －1)＝1
2n (n －1)(2n －1)，
所以f (n )－f (n －1)＝3n 2
，
n ＝1时，也满足上式．
所以第n 年的年产量为y ＝3n 2
， 令3n 2
≤150，所以n 2
≤50， 因为n ∈N ，n ≥1，
所以1≤n ≤7，所以n max ＝7. 答案 C
2．(2014·陕西卷)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )
A ．y ＝12x 3－12x 2
－x
B ．y ＝12x 3＋12x 2
－3x
C ．y ＝14x 3
－x
D ．y ＝14x 3＋12
x 2
－2x
解析 方法1：由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0,0)，(2,0)，在(0,0)处的切线方程为y ＝－x ，在(2,0)处的切线方程为y ＝3x －6，以此对选项进行检验．A 选项，
y ＝1
2x 3－12x 2－x ，显然过两个定点，又y ′＝32
x 2－x －1，则y ′|x ＝0＝－1，y ′|x ＝2＝3，故条
件都满足，由选择题的特点知应选A.
方法2：设该三次函数为f (x )＝ax 3
＋bx 2
＋cx ＋d ， 则f ′(x )＝3ax 2
＋2bx ＋c ，
由题设有⎩⎪⎨⎪⎧
f ＝0⇒d ＝0，
f
＝0⇒8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，
f
＝－1⇒c ＝－1，f
＝3⇒12a ＋4b ＋c ＝3，
解得a ＝12，b ＝－1
2，c ＝－1，d ＝0.
故该函数的解析式为y ＝12x 3－12x 2
－x ，选A.
答案
A
3．如图，现要在边长为100 m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x 不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为15x 2
m 的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m ，绕岛行驶的路宽均
不小于10 m.
(1)求x 的取值范围；(运算中2取1.4)
(2)若中间草地的造价为a 元/m 2，四个花坛的造价为433ax 元/m 2
，其余区域的造价为
12a 11元/m 2
，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？
解 (1)由题意，得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ≥9，
100－2x ≥60，
1002－2x －2×1
5
x 2
≥2×10，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥9x ≤20，
－20≤x ≤15，
即9≤x ≤15.
(2)记“环岛”的整体造价为y 元，则由题意，得y ＝a ×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 22＋433
ax ×πx 2
＋
12a 11×⎣⎢⎡⎦
⎥⎤104－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 22－πx 2
＝a 11⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫－125x 4＋43x 3－12x 2＋12×104，
令f (x )＝－125x 4＋43x 3－12x 2
，
则f ′(x )＝－425x 3＋4x 2
－24x
＝－4x ⎝
⎛⎭
⎪
⎫125x 2－x ＋6，
由f ′(x )＝0，解得x ＝10或x ＝15. 列表如下：
∴当x ＝10，f (x )取极小值，即y 取最小值． 故当x ＝10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低．。