第1章 电磁场的数学物理基础
工程电磁场 第1章 电磁场的数学基础
《工程电磁场》
第1章 电磁场的数学基础
1
第1章 电磁场的数学基础
1.1 场的概念及其分类
1.2 正交曲面坐标系
1.3 矢量代数
1.4 场的可视化描述
1.5 场的梯度、散度、旋度
1.6 场论分析常用定理
1.7 电磁场麦克斯韦方程组与场论
《工程电磁场》
1.1 场的概念及其分类
《工程电磁场》
《工程电磁场》
标量及其乘积运算
两个标量a与b相乘，标量参数之间可用
“
”号、“ • ” 号或什么符号也不加，
都代表二者之间的倍数关系，即
，
a b a b ab
《工程电磁场》
矢量及其表示方法
《工程电磁场》
一个由大小和方向共同确定的物理量叫做矢量。
=
，
= + + =
ex
ey
ez
A B Ax Ay Az
Bx B y Bz
9. A ( B C ) B (C A) C ( A B )
10. ( A B )C A( B C )
11. A ( B C ) ( A B ) C
Ԧ )
——不随空间变化的时变场 φ(t) , (t
第1章 电磁场的数学基础
1.1 场的概念及其分类
1.2 正交曲面坐标系
1.3 矢量代数1.4 源自的可视化描述1.5 场的梯度、散度、旋度
1.6 场论分析常用定理
1.7 电磁场麦克斯韦方程组与场论
电磁场的数学物理基础知识
1.1.1 矢量及其表示方法
➢ 矢量：表示既有大小也有方向的量，如 F或 F
➢ 标量：只有大小的量，如 f、 g
➢
矢量几何图示如右： F
➢ 矢量代数：矢量间的四则运算，即加减法、乘法。
18.08.2020 6
1.1.1 矢量及其表示方法
一个由大小和方向共同确定的物理量叫做矢量。
-B
B
图1-2 两矢量相减
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1.1.2 矢量相加(代数表示)
z
直角坐标系中的矢量及运算
A exA xeyA yezA z
A
Az
Ax
y
AA Ax2Ay2Az2
Ay x
，
图 1-3 直角坐标中的A及其各分矢量
若 AexA xeyA yezA z BexB xeyB yezB z
⑴A•B=B•A
Acosθ
B
⑵(A+B)•C=A•C+B•C
⑶λ(A • B) =(λA) • B= A•(λB)
Bcos
A
⑷若A ⊥B，则A•B=0
(5)A自身的点积，即 =0°，A•A=A2
18.08.2020 14
例如， 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： ex·ey=ey·ez= ex·ez=0 ex·ex=ey·ey=ez·ez=1 直角坐标系中的点积运算
量。
♥ 负矢量——与原矢量大小相等，方向相反的矢量。
18.08.2020 9
1.1.2 矢量相加(几何表示 )
两矢量A和B相加定义为一个新矢量A+B
B A+B A
A+B B
A
，
( a ) 平行四边形法则
数学物理中的电磁学与电磁场理论
数学物理中的电磁学与电磁场理论电磁学是物理学的重要分支，研究物质中电荷的运动以及与之相互作用的现象。
而电磁场理论则是电磁学的基础，描述了电荷和电流带来的电磁场的产生和传播规律。
本文将从数学物理的角度，探讨电磁学与电磁场理论的相关概念和数学模型。
1. 电磁学基础在电磁学中，电荷是核心概念之一。
电荷分为正电荷和负电荷，同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引。
库伦定律描述了电荷之间的相互作用力的大小与距离的关系。
其数学表达式为：$$F = \frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r^2}}$$其中，$F$为电荷之间的相互作用力，$q_1, q_2$为电荷的电量，$r$为电荷之间的距离，$k$为比例常数。
2. 静电场与电势静电场是电磁场的一种特殊情况，不随时间变化。
静电场可以用电势来描述。
电势是描述某一点电场状态的物理量，其定义为单位正电荷在该点所受电势力所做的功。
电势可以通过静电势能来解释，即电荷在电场中由于位置变化所引起的能量变化。
电势的数学定义为：$$V = \frac{U}{q}$$其中，$V$为电势，$U$为电势能，$q$为电荷的电量。
3. 电场和电场强度电场是在空间中存在电荷时产生的物理现象，描述了电荷对其他电荷或者测试电荷产生的力的作用。
电场由电场强度来描述，电场强度是单位正电荷在某一点上受到的电场力。
电场强度的数学定义为：$$E = \frac{F}{q}$$其中，$E$为电场强度，$F$为电荷所受电场力，$q$为测试电荷的电量。
4. 感应电场与法拉第电磁感应定律当磁场的变化引起了电场的变化时，产生的电场称为感应电场。
感应电场可以通过法拉第电磁感应定律来描述，即导体回路中的感应电动势等于磁通量的变化率。
法拉第电磁感应定律的数学表达为：$$\varepsilon = -\frac{{d\Phi}}{dt}$$其中，$\varepsilon$为感应电动势，$\Phi$为磁通量，$t$为时间。
电磁场 第1章 物理基础习
F21=q2E1
结论：电场力符合矢量叠加原理
第一章电磁场的物理基础
14
1.2.2 电场强度
定义：
E(x, y, z, t) lim F (x, y, z, t)
q0
q
电场强度（Electric Field Intensity ) E 表示单位正电荷
在电场中所受到的力(F ), 它是空间坐标的矢量函数, 定义
dv 1 V r 2 er 4 0
ds
S r 2 er
1
4
0
l
dl
r2
e
r
1
4
0
qk r2
e
r
实际工程问题并不知道电荷密度的分布函数，因此很难用上 式计算电场分布。
第一章电磁场的物理基础
18
例1-1
已知在x=0无限大平面均匀分布面电荷密
度，求其两侧真空中的电场强度。
•
无限大真空情况
(式中
0
109
36
8.85 1012
F/m)
可推广到无限大各向同性均匀介质中 (0 )
当真空中引入第三个点电荷 q3
时，试问
q1
与
q
相互间的
2
作用力改变吗? 为什么？
而是电通荷过之“间电的场力”不间是接超作距用作的用。，F12=q1E2
电E场1 E2
图1-8
抽象为“表面电流”。可看为密度为的面电荷，以速度v 运动
K=v 面电流密度是矢量，单位A/m
工程意义：
db
b
K n
• 同轴电缆的外导体可视为电流线密度分布 • 媒质表面产生磁化电流可用电流线密度表示
第1章 电磁场的数学物理基础
方向：正电荷运动的方向
v 大小： J lim
i di
A/m2
S Sn 0
n
dSn
1.1.2 场量
对应于电场和磁场效应的两个基本场量( E、 )B
1.电场强度 E（electric field intensity）
Evrv lim Fvrv N/C, V/m
q qt 0
t
• 试体电荷 qt >0 (正电荷) • 试体电荷几何尺寸很小(“点”特性的描述) • 试体电荷电量很小，不足以影响所研究的电场分布
H • dl
v curl H lim l
lim l
H y Hx
z S0 S
S0 xy
x y
curl
v H
H z y
H y z
evx
H x z
H z x
evy
H y x
H x y
evz
evx evy evz
v
v
curl H H
v J
x y z
Hx Hy Hz
➢ 斯托克斯定理
▪ 矢量函数的面积分与体积分的相互转换。
1.2.3 矢量场的环量与旋度
Circulation and Curl of Vector Field
➢ 环量：
矢量场
v F(
x沿, y空, z间) 有向闭合曲线的线积分。
v
v
Ñ F(x, y, z) • dl
l
环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋 势的大小。
第1章 电磁场的数学物理基础
1.1 电磁场物理模型的构成 1.2 矢量分析与场论基础 1.3 电磁场的数学模型——麦克斯韦方程组
1.1 电磁场物理模型的构成
电磁场与电磁波理论第1章
1-2
《电磁场与电磁波理论》
基本要求
第1章 矢量分析与场论
◘ 掌握矢量和场的基本概念； ◘ 掌握矢量的代数运算和场量的梯度、散度、旋度
以及拉普拉斯运算； ◘ 了解矢量分析过程中所需的恒等式和基本定理.
1-3
《电磁场与电磁波理论》
三种常用的正交坐标系
第1章 矢量分析与场论
直角坐标系 圆柱坐标系 球面坐标系 几点说明
第1章 矢量分析与场论
矢量与矢量的表示法 矢量的代数运算
1-10
《电磁场与电磁波理论》
矢量与矢量的表示法
第1章 矢量分析与场论
1. 矢量与单位矢量 2. 矢量表示法 3. 位置矢量与距离矢量
1-11
《电磁场与电磁波理论》
1.矢量与单位矢量
第1章 矢量分析与场论
♥ 矢量——在三维空间中的一根有方向的线段. ♥ 该线段的长度 代表该矢量的模, ♥ 该线段的方向 代表该矢量的方向
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
第1章 矢量分析与场论
主要内容
基本要求
三种常用的正交坐标系
物理量的分类
1.1 矢量的代数运算 1.2 场的微分运算 1.3 矢量的恒等式和基本定理 1.4 常用正交曲线坐标系
1-1
《电磁场与电磁波理论》
主要内容
第1章 矢量分析与场论
电磁理论的一个重要的概念就是关于场的概念.此外, 有很多物理量都是矢量,一些用来描述电磁现象基本规律 的方程也都是矢量函数的微分方程或积分方程.因此,矢 量分析和场论是电磁理论的重要的数学基础.本章仅讨论 在电磁理论中所需要的矢量分析与场论中的基本内容,包 括矢量的基本代数运算和场量的梯度、散度、旋度和拉 普拉斯运算以及矢量场的恒等式和基本定理.最后,还给 出了三种常用坐标系及其梯度、散度、旋度等算子在这 三种坐标系中的表示式.
第一章_电磁场的数学物理基础
3）科学研究 发现自然中的科学规律，反之利用发 现的科学规律为人类服务。
科学实验、新能源、生物电磁等。
4）国家安全 军事应用是创新的原动力。
高功率电磁脉冲武器、电磁干扰、 电子战等。
给定激励(e,i) 求响应(u,i)
电磁场分析：
实际电磁装置中的电磁 现象和过程
理想化假设
电磁场的物理模型
电磁场的物理模型： 连续媒质的场空间(、 、 及其相应的几何结构) 理想化的场源(q,i)
分析问题
以E、B、D、H为 基本物理量(场量)
给定源量(q,i),求场 分布(E、B、D、H)
2.电磁场在几个领域的应用简介
1）电气工程领域（Electrical Engineering ） 能量的转换、传输、分配和利用
电力系统+电工装备 设备：旋转电机、变压器、电容器、电 抗器、互感器、开关设备等。 系统：发电厂、输电线路、变电站、换 流站等。
变电站
2）电子与信息工程领域 信息的发送、传输、接收与转换
美国海军作战中心未来先进武器作战系统
5）其他应用领域 电磁兼容、无损电磁探伤、磁悬浮、 超导、遥感、遥测、遥控等。
电磁场理论
是理解、发展和实现一切与电磁现 象与电磁效应相关技术必不可少的知 识本源。
二 课程的发展历史
三 课程特色及学习方法
课程学时:52学时 课程的特色：体系完整、逻辑性强、 内容抽象。 教材特色：理论与工程相结合、突出 理论应用。 学习方法建议：注重物理概念，强调 数学方法，通过例题和习题充分理解 电磁场理论。
电磁场理论的数学基础
利用磁场和射频场对生物组织 进行无损检测和成像，应用于 医学诊断领域。
THANK YOU
感谢聆听
有限元法
有限元法是一种基于变分原理的数值方法，通过将连续的场变量离散化为有限个单元的组合，将偏微 分方程转化为线性方程组进行求解。在电磁场理论中，有限元法常用于求解复杂结构的电磁场问题。
有限元法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个小的几何单元，并假设场变量在每个单元中心的 值是该单元的代表值。通过选择合适的基函数来表示场变量，可以将偏微分方程转化为线性方程组， 进而求解出每个单元的代表值，得到整个空间的场分布。
电磁场理论的数学基础
目
CONTENCT
录
• 引言 • 矢量分析 • 电磁场的基本概念 • 电磁场的数学模型 • 电磁场的解法 • 电磁场的应用
01
引言
主题简介
电磁场理论是研究电磁波传播、散射、辐射等物理现象的学科， 其数学基础是电磁场理论的重要组成部分。
电磁场理论在物理学、工程学、天文学等领域有着广泛的应用， 如无线通信、雷达、卫星导航等。
矢量微分
矢量的微分表示矢量在空间中的 变化率，包括方向和大小的变化 率。
矢量积分
矢量的积分可以用来计算矢量场 中某个区域的通量或流量。
微分方程
微分方程的建立
根据物理定律和数学关系，可以建立各种微分方程来描述电磁场 中的各种现象。
微分方程的求解
求解微分方程是电磁场理论中的重要问题，可以通过解析法或数 值法进行求解。
标量乘法
标量与矢量相乘，结果仍为矢 量，其方向与原矢量相同（标 量正时）或相反（标量负时） 。
矢量点乘
矢量点乘的结果是一个标量， 其大小等于两个矢量的大小和 它们夹角的余弦的乘积。
电磁场的数学物理基础
= − 0 . 24 sin( 10 6 t − y ) + 0 . 24 sin 10 6 t mWb
利用dy/dt=V，可得：
ε in
dΦ = − = 0 . 24 (10 6 − 20 ) cos( 10 6 t − y ) − 0 . 24 (10 6 ) cos 10 6 t mV dt = 240 cos( 10 6 t − y ) − 240 cos 10 6 t − 4 . 8 (10 − 3 ) cos( 10 6 t − y ) V
= Jd ⋅S =
ε S dV dV =C d dt dt
dρ s dQ dD dE εS dV dV I= =S =S = εS = =C dt dt dt dt d dt dt
流之和是连续的，这也称为全电流连续性原理。 相应的位移电流为：
∂D ⋅ dS I d = ∫S J d ⋅ dS = ∫S ∂t
∂D ，称为位移电流密度。表明传导电流与位移电 ∂t
位移电流与传导电流一样，可以产生磁场。换一个角度讲， 可以将恒定磁场的安培环路定律推广到时变电磁场，相应的 数学表达式为：
如果空间还存在库仑电荷，则库仑电荷产生的库仑电场 Ec 与静电场性质相似，是无旋场 ， 有散场 无旋场， 无旋场 有散场，只是场量随 时间变化。此时空间任一点的电场为感应电场与库仑电 场之和，即：
E = E c + E in
可得 ：
∂B ⋅ dS + ∫c v × B ⋅ dl ∫c E ⋅ dl = − ∫S ∂t ∂t
第1章 电磁场的数学物理基础
§1.1 矢量分析 1. 标量场和矢量场 标量：只有大小而没有方向的量。如电压U、电荷量Q、电 流I、面积S 。 矢量：具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强 度矢量、作用力矢量、速度矢量等。 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地 描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、 压力、密度等可以用标量场来表示。 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地 描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分 布等可以用矢量场来表示。
电磁场的数学物理基础
( , , z)
• 球(global)坐标系
见P330附录一
(r , , )
• 1. 直角坐标系 x, y, z 坐标变量
坐标单位矢量 ex , e y , ez r ex x e y y ez z 位置矢量 线元矢量 dl ex dx ey dy ez dz 面元矢量 dS x exdl y dlz exdydz
A B Ax Bx Ay By Az Bz
• 4、矢量积
ex A B C AB sin( AB )eC Ax Bx
ey Ay By
ez Az Bz
M rF
二、坐标系统
常用的正交(quadrature)坐标系统(coordinate
system)有： • 直角(rectangular)坐标系 • 圆柱(cylinder)坐标系
dS z ez dlxdl y ez dxdy
体积元
dS y ey dl x dl z ey dxdz
o
z z z0 （平面 ）
ez
ex
P
ey
点 P(x0,y0,z0)
y y y0（平面）
x
x x0 （平面）
直角坐标系
z
dz
dS z ez dxdy
图.1 三维高度场的梯度
指向地势升高的方向。
例 2 电位场的梯度 电位场的梯度与过该点的 等位线垂直； 数值等于该点的最大方向导数； 指向电位（potential）增加的 方向。
图2 电位场的梯度
五、矢量场的通量与散度
（Flux and Divergence of Vector） 1 通量 ( Flux ) 矢量E 沿有向曲面 S 的面积分
电磁场和电磁波基础
第一章 电磁场和电磁波基础1 电磁学基本物理量 2 电磁场定律 3 边界条件 4 本构关系 5 波动方程 6 场和方程的复数形式 7 波数和波阻抗 8 均匀平面波 9 平面波的反射和折射 10 坡印亭定理1 电磁学基本物理量在电磁场基本方程中，所涉及到的基本物理量有：E ：称为电场强度（伏/米）H ：称为磁场强度（安/米）D ：称为电通密度（库/米 2） B ：称为磁通密度（韦/米 2）电位移矢量 磁感应强度⎯真空→ ε 0 E ⎯ ⎯ ⎯真空→ μ 0 H ⎯ ⎯J ：电流密度（安/米 2）ρ ：电荷密度（库/米 ）3⎧ ⎪基本物理量：E , B ⎨ ⎪导出物理量：D, H ⎩瞬时值或时域表示 一般情况下，各场量和源量既是空间坐标的函数，又是时 间的函数，即2 电磁学场定律电磁学场定律描述场和源的关系，包括积分形式场定 律和微分形式场定律。
微分场定律形式把某点的场与就在该点的源及该点 的其它场量联系起来，适用于场、源量都是连续函数并有 S 连续的导数的良态域。
•⎧ E = E ( r , t ) = E ( x, y , z , t ) ⎪ ⎪ D = D ( r , t ) = D ( x, y , z , t ) ⎪ B = B ( r , t ) = B ( x, y , z , t ) ⎪ ⎨ ⎪ H = H ( r , t ) = H ( x, y , z , t ) ⎪ ρ = ρ (r , t ) = ρ ( x, y, z , t ) ⎪ ⎪ J = J (r , t ) = J ( x, y, z , t ) ⎩对应不同时刻，这些场量和源量的方向和数值会发生变 化，对应着一般时变场，称为场量的时域表示，或者瞬时 值。
P⎧ ⎪场：E , B ⎨ ⎪源：ρ，J ⎩2.1 自由空间场定律 2.2 物质中场定律V2.1 自由空间场定律∇× E = −B∂B （1a） ∂t∂ε 0 E （1b） ∂tVS自由空间指真空或同真空基本上具有同样特性的任 何其它媒质 （如空气） 自由空间场定律描述纯粹的源 ρ 、 。
电磁场数学基础.
第一章 电磁场数学基础1.1矢量的基本概念1.1.1 标量与矢量只有大小的物理量称为标量，如温度、压力、密度、质量、时间和电阻等。
既有大小又有方向的物理量称为矢量，例如力、速度、电场强度和磁场强度等。
为了便于区别矢量和标量，本书中用白斜体字母表示标量，而用白斜体字母上加单向箭头表示矢量。
例如A 表示一个矢量，它的大小称为该矢量的模。
模是一个标量，表示为A 或A 。
1.1.2单位矢量矢量模等于1的矢量叫做单位矢量，在本书中表示为ˆe 。
与A 矢量同方向的单位矢量表示为ˆA e。
显然有，ˆA AeA= (1.1.1) 这样，我们也可以将矢量A 表示为ˆA A eA = (1.1.2) 1.1.3矢量的表示在三维空间里，矢量A 可以表示为一根有方向的线段。
线段的长度表示A 的模，线段的方向代表A 的方向。
在三维直角坐标系中，A 可表示为一根由坐标原点出发的有向线段，如图1.1.1所示。
沿着三个坐标轴正方向上的单位矢量分别为x eˆ，y e ˆ，z e ˆ，A 在三个单位矢量方向上的投影分别为x A ，y A ，z A ，矢量A 可表示为z z y y y x A e A e A eA ˆˆˆ++=(1.1.3) 矢量A 的模为222z y x A A A A A ++== (1.1.4)矢量A 与x 轴、y 轴、z 轴的夹角分别为α、β、γ，单位矢量ˆA e为 γβαc o s ˆc o s ˆc o s ˆˆˆˆˆz y x z z y y y x A e e e AAe A A e A A e A A e ++=++==(1.1.5)图1.1.1 直角坐标系中的矢量A其中222c o szyxxAA A A ++=α，222cos zyxyAA A A ++=β，222cos zyxzAA A A ++=γ (1.1.6)由于cos α、cos β、cos γ，是单位矢量ˆA e在直角坐标系中的三个分量，决定着矢量A 的方向，所以它们被称为矢量A 的方向余弦。
电磁场数学物理基础知识
(5)A自身的点积，即 =0°，A•A=A2
2019/11/28 14
例如， 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： ex·ey=ey·ez= ex·ez=0 ex·ex=ey·ey=ez·ez=1
直角坐标系中的点积运算 A B (ex Ax ey Ay ez Az ) (ex Bx ey By ez Bz )
均匀场——不随空间变化的场 φ(t) , A(t )
具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量。磁场 强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。
2019/11/28 4
1.1.1 矢量及其表示方法
矢量的定义与表示：
几何表示：有向线段 代数表示：基于坐标系的参数表示
矢量的代数运算(四则运算)：
几何方法及其意义 代数方法及其运算规则(与坐标系相关)
A、B相平行（ = 0或180˚)时，AB=0，反之亦然；
A自身的叉积为零，AA=0。
2019/11/28 17
直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： ex×ey=ez ey×ez=ex, ez×ex=ey ex×ex=ey×ey=ez×ez= 0
在直角坐标系中，矢量的叉积还可以表示为
A B Ax e x Aye y Az e z Bx e x Bye y Bz e z
2019/11/28 21
关于混合积的说明：
（1）矢量混合积的几何意义：
向量的混合积
(abc)
(a
b)
c
是这样
a
b
c
的示一以个向数量，a 、它b的、绝c 对为值棱表的
a
b
平行六面体的体积. (a b) c a b c cos (a b,c)
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第 一 章
电
磁
场
的
数
学
物
理
基
础
1.2.2 坐标系统
正交坐标系统：直角坐标系(x,y,z)、圆柱坐标系(,,z) 和球坐标系(r,,)。 1. 点函数在不同坐标系下的数学描述 例 1.1 设标量点函数 ( r ) 在直角坐标系下的表示式为 (x，y，z)＝x2＋y2－z，试写出该点函数在圆柱坐标系下的 表示式，并以给定点的函数值验证该点函数与坐标系的选择 无关。 [解] 由附录一可知x＝ cos，y＝ sin，z＝z。代入之， 即得在圆柱坐标系下，该点函数应记为
(1) 给出与所分析的物理模型对应的基本规律性的数学描述（泛
定方程）及其定解条件，即构造相应的数学模型； (2) 运用相应的分析计算方法； (3) 解出数学模型中的待求物理量，即得所分析问题的确定解。
第 一 章
电
磁
场
的
数
学
物
理
基
础
§1.1.1 电磁场的基本物理量——源量和场量
电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。 源量 q(r,t) 和 i(t) 分别用来描述产生电磁场效应的两类场源。
1. 源量(电荷) q(r,t)
• 电荷是物质基本属性之一。 • 1897年英国科学家汤姆逊在实验中发现了电子。 • 1907－1913年间，美国科学家密立根通过油滴实验，精确 测定电子电荷的量值为 e =1.602177 33×10-19 (单位:C) 确认了电荷量的量子化概念。换句话说，e 是最小的电荷 量，而任何带电粒子所带电荷都是 e 的整数倍。
第 一 章
电
磁
场
的
数
学
物
理
基
础
3．场量
电场强度：E、单位：N/C,V/m。
F (r ) E (r ) lim qt 0 q t
磁感应强度（磁通密度）：B、单位：T。
dF dq(v B)
(dF ) max B dqv
dF I (dl B)
第 一 章
电
磁
场
的
数
学
物
理
基
础
§1.1.2 电磁场中的媒质及其电磁性能参数
第 一 章
电
磁
场
的
数
学
物
理
基
础
• 宏观分析时，场源电荷常是数以亿计的电子电荷e的组合，故 可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。 • 类同于由物质密度 给定物质的质量m一样，现引入关 于电荷的平滑的平均密度函数概念，即以电荷密度分布的 方式来给定带电体的电荷量。 • 理想化实际带电系统的电荷分布形态为如下四种形式： （1）点电荷 q(r,t)： 单位：C。 （2）电荷体密度 (r,t)： 单位：C/m3 （3）电荷面密度 (r,t)： 单位：C/m2 （4）电荷线密度 (r,t)： 单位：C/m
电位移矢量：D、单位：C/m2。
磁场强度：H、单位：A/m。
构成方程（本构关系）：
D E
H B
J E
第 一 章
电
磁
场
的
数
学
物
理
基
础
§1.2 矢量分析
1. 标量场和矢量场
• 标量：只有大小而没有方向的量。如电压U、电荷量Q、电流 I、面积S 。 • 矢量：具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强 度矢量、作用力矢量、速度矢量等。 • 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地 描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、 压力、密度等可以用标量场来表示。 • 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地 描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分 布等可以用矢量场来表示。
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2. 源量(电流) i (t)
• 源于电荷定向运动的电流 i 定义为 dq i J dS (单位:C/s或A) (1- 4) dt S
可见，电流i为一积分量，不是点函数。 • 鉴于电磁场空间中各点电磁现象和过程变化规律性分析的需 要，必须引入对应于源量 i(t) 分布的点函数形式的描述 体电 流密度(简称电流密度)J(r,t),其量值为 2) J lim i di ( 单位 : A/m (1-5) Sn 0 S dSn n 其方向习惯上定义为正电荷运动的方向。
(x，y，z)＝(，，z)＝( cos)2＋( sin)2－z ＝ 2－z
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设给定点P(x，y，z)，其直角坐标为x＝1，y＝1和z＝1；同 样由附录一可知该点P对应的圆柱坐标为 x 2 y 2 2 ， y arctan x 和z＝1。因此可得标量点函数(r)在直角与圆 4 柱坐标系中对应于P点处的函数值分别为:
1. 电磁性能参数
电介质：介电常数、单位：F/m。真空中，
1 (F/m) 0 10 -9 8.854 10 -12 36 磁介质：磁导率、单位：H/m。真空中，
0 4 10-7
(H/m)
导电媒质：电导率、单位：S/m
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2. 媒质的构成方程（本构关系）
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1．2 矢量分析
1.2.1矢量运算 标量积（点积）：
A B AB cos AB
A B Ax Bx Ay By Az Bz
矢量积（叉积）：
A B C ABsin AB ec
ex Bx
e y ez B y Bz
A B Ax Ay Az
电路分析：
实际的电工、 电子技术装置
理想化假设
电路模型(一种具体的 物理模型)
电路模型： 理想电路元件(R、L、C) 及其组合 理想电压源、电流源(e,i)
分析问题 以u，i为基 本物理量
给定激励(e,i) 求响应(u,i)
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电磁场分析：
实际电磁装置中的电磁 现象和过程
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重点：
1. 电磁场的物理模型
2. 源量和场量
3. 矢量分析与场论基础
4. 电磁感应定律 5. 全电流定律 6. 麦克斯韦方程组
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电磁场来自的数学
物
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础
§1.1 电磁场的物理模型的构成
根据电磁现象和过程分析的物理模型构造的本质，可建 立如下电磁场分析与电路分析的物理模型之间的对比关系。
理想化假设
电磁场的物理模型
电磁场的物理模型： 连续媒质的场空间(、 、 及其相应的几何结构) 理想化的场源(q,i)
分析问题 以E、B、D、H为 基本物理量(场量)
给定源量 ( q , i ), 求场 分布(E、B、D、H)
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以上电磁场与电路分析的求解过程均可归结为: