【配套K12】[学习](全国通用版)2019版高考数学大一轮复习 坐标系和参数方程 第2节 参数方程

第2节 参数方程
最新考纲 1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
知 识 梳 理
1.曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数.
2.参数方程与普通方程的互化
通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例
如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩
⎪⎨
⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使用x ，y 的取值范围保持一致. 3.常见曲线的参数方程和普通方程
温馨提醒 直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝f （t ），
y ＝g （t ）中的x ，y 都是参数t 的函数.( )
(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α
(t 为参数).参数t
的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →
的数量.( )
(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，
y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆.( )
(4)已知椭圆的参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π
3，点O 为
原点，则直线OM 的斜率为 3.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2.(教材习题改编)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2
2
t ，y ＝1＋2
2t (t 为参数)的普通方程为
________.
解析 消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0. 答案 x －y －1＝0
3.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 1
的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2
，
y ＝22t
(t 为参数)，则
C 1与C 2交点的直角坐标为________.
解析 由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x ＋y ＝－2.①
又⎩⎨⎧x ＝t 2
，y ＝22t
(t 为参数)消去t ，得y 2＝8x .② 联立①，②得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，
y ＝－4，即交点坐标为(2，－4).
答案 (2，－4)
4.直线y ＝b (x －4)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，
y ＝3sin θ
(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________.
解析 圆的普通方程为(x －2)2
＋y 2
＝3，圆心A (2，0)，半径r ＝ 3. ∵直线y ＝b (x －4)与圆相切，
∴|2b －4b －0|b 2
＋1＝3，则b 2＝3，b ＝± 3. 因此tan θ＝±3，切线的倾斜角为π3或2
3π.
答案
π3或2π3
5.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2
(t 为参数)，
曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2
，
y ＝22s
(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离
的最小值.
解 由⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2
(t 为参数)消去t .
得l 的普通方程为x －2y ＋8＝0，
因为点P 在曲线C 上，设点P (2s 2
，22s ).
则点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2
－42s ＋8|5＝2（s －2）2
＋4
5
，
∴当s ＝2时，d 有最小值
4
5
＝455.
考点一 参数方程与普通方程的互化
【例1】 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).
(1)求直线l 和圆C 的普通方程；
(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围. 解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，
圆C 的普通方程为x 2
＋y 2
＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，
故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |
5
≤4，
解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围是[－25，25].
规律方法 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数.
2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，一定要保持同解变形.
【训练1】 (2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝1＋1
2
t ，
y ＝32t
(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ
(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A ，B
两点，求线段AB 的长.
解 椭圆C 的普通方程为x 2
＋y 2
4
＝1.
将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝3
2t
(t 为参数)代入x 2
＋y
2
4＝1，
得⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2
4＝1，即7t 2
＋16t ＝0，
解之得t 1＝0，t 2＝－16
7
.
所以|AB |＝|t 1－t 2|＝167.所以线段AB 的长为16
7.
考点二 参数方程及应用
【例2－1】 (2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，
y ＝sin θ(θ
为参数)，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，
y ＝1－t (t 为参数).
(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解 (1)a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 曲线C 的标准方程是x 2
9
＋y 2
＝1，
联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2
＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－21
25，y ＝2425
.
则C 与l 交点坐标是(3，0)和⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0. 设曲线C 上点P (3cos θ，sin θ).
则P 到l 距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－4－a |17＝|5sin （θ＋φ）－4－a |
17，
其中tan φ＝3
4
.
又点C 到直线l 距离的最大值为17. ∴|5sin(θ＋φ)－4－a |的最大值为17. 若a ≥0，则－5－4－a ＝－17，∴a ＝8. 若a <0，则5－4－a ＝17，∴a ＝－16. 综上，实数a 的值为a ＝－16或a ＝8.
【例2－2】 (2018·郴州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，
y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2
2
t ，y ＝2
2t
(t 为参数).以坐标原点O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出直线l 的普通方程以及曲线C 的极坐标方程；
(2)若直线l 与曲线C 的两个交点分别为M ，N ，直线l 与x 轴的交点为P ，求|PM |·|PN |的值.
解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2
2
t ，y ＝22t (t 为参数)，
消去参数t ，得x ＋y －1＝0.
曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，
y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，
利用平方关系，得x 2＋(y －2)2＝4，则x 2＋y 2
－4y ＝0.
令ρ2
＝x 2
＋y 2
，y ＝ρsin θ，代入得C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)在直线x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得点P (1，0). 把直线l 的参数方程代入圆C 的方程得t 2
－32t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝1.
由直线参数方程的几何意义，|PM |·|PN |＝|t 1·t 2|＝1.
规律方法 1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.
2.过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为参
数)，t 的几何意义是P 0P →
的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分.对于形如
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt
(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题. 【训练2】 (2018·衡水中学质检)已知曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直
线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，
y ＝2＋3t
(t 为参数).
(1)写出直线l 与曲线C 的普通方程；
(2)设曲线C 经过伸缩变换⎩
⎪⎨⎪
⎧x ′＝x ，y ′＝12y 得到曲线C ′，过点F (3，0)作倾斜角为60°的直线
交曲线C ′于A ，B 两点，求|FA |·|FB |. 解 (1)直线l 的普通方程23x －y ＋2＝0. 曲线C 的普通方程为x 2
＋y 2
＝4.
(2)由⎩
⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝y 2，得⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝x ′，
y ＝2y ′， 代入曲线C ，得x ′2
＋4y ′2
＝4，即
x ′2
4
＋y ′2
＝1.
则曲线C ′的方程为x 2
4
＋y 2
＝1表示椭圆. 由题设，直线AB 的参数为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝3＋t
2，y ＝3
2t
(t 为参数).
将直线AB 的参数方程代入曲线C ′：x 2
4＋y 2
＝1.
得134t 2＋3t －1＝0，则t 1·t 2＝－413， ∴|FA |·|FB |＝|t 1||t 2|＝|t 1·t 2|＝413.
考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用 【例3－1】 (2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy
中，直线l 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，
y ＝kt (t
为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，
P 的轨迹为曲线C .
(1)写出C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为与C 的交点，求M 的极径.
解 (1)由l 1：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，
y ＝kt (t 为参数)消去t ，
化为l 1的普通方程y ＝k (x －2)，① 同理得直线l 2的普通方程为x ＋2＝ky ，② 联立①，②消去k ，得x 2
－y 2
＝4(y ≠0). 所以C 的普通方程为x 2
－y 2＝4(y ≠0). (2)将直线l 3化为普通方程为x ＋y ＝2，
联立⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x 2
－y 2
＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝322，
y ＝－2
2
，
∴ρ2＝x 2＋y 2
＝184＋24
＝5，∴与C 的交点M 的极径为 5.
【例3－2】 (2018·河北“五个一”名校联盟二模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧x ＝5cos α，
y ＝sin α
(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标
系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.l 与C 交于A ，B 两点. (1)求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设点P (0，－2)，求|PA |＋|PB |的值. 解 (1)由曲线C ：⎩⎨
⎧x ＝5cos α，
y ＝sin α
(α为参数)消去α，
得普通方程x 2
5
＋y 2
＝1.
因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，即ρcos θ－ρsin θ＝2， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0. (2)点P (0，－2)在l 上，则l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2
2
t ，y ＝－2＋2
2
t (t 为参数)， 代入x 2
5
＋y 2＝1整理得3t 2
－102t ＋15＝0， 由题意可得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝102
3
.
规律方法 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.
2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.
【训练3】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨
⎧x ＝3cos α，
y ＝sin α
(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标. 解 (1)曲线C 1的普通方程为x 2
3＋y 2
＝1.
又曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. 所以ρsin θ＋ρcos θ＝4.
因此曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).
因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值.
d (α)＝
|3cos α＋sin α－4|2
＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2，
当且仅当α＝2k π＋π
6
(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，12.
基础巩固题组 (建议用时：50分钟)
1.平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2
＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为π6.
(1)求圆C 和直线l 的参数方程；
(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值. 解 (1)由曲线C ：(x －1)2
＋y 2
＝1.
得参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数).
直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3
2
t ，y ＝12t (t 为参数).
(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，
将直线l 的参数方程代入x 2
＋y 2
＝2x 中，
得t 2
＋(3m －3)t ＋m 2
－2m ＝0，所以t 1t 2＝m 2
－2m ， 由题意得|m 2
－2m |＝1，得m ＝1，m ＝1＋2或m ＝1－ 2.
2.(2018·新乡模拟)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线M 的直角坐标方程为x －2y ＋2＝0(x >0). (1)以曲线M 上的点与点O 连线的斜率k 为参数，写出曲线M 的参数方程； (2)设曲线C 与曲线M 的两个交点为A ，B ，求直线OA 与直线OB 的斜率之和. 解 (1)由⎩
⎪⎨⎪
⎧x －2y ＋2＝0（x >0），y ＝kx 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22k －1，y ＝2k 2k －1.
故曲线M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22k －1，y ＝2k
2k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫
k 为参数，且k >12.
(2)由ρ＝4cos θ，得ρ2
＝4ρcos θ，∴x 2
＋y 2
＝4x . 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2
2k －1，y ＝2k 2k －1
代入x 2
＋y 2
＝4x 整理得k 2
－4k ＋3＝0，
∴k 1＋k 2＝4.
故直线OA 与直线OB 的斜率之和为4.
3.已知曲线C ：x 24＋y 2
9＝1，直线l ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.
解 (1)曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，
y ＝3sin θ(θ为参数).
直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.
(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为
d ＝
5
5
|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝4
3
.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为
225
5
. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为25
5.
4.(2018·黄山二模)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2
1＋sin 2
θ
，过点P (1，0)的直线l 交曲线C 于A ，B 两点.
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求|PA |·|PB |的取值范围. 解 (1)由ρ＝
21＋sin 2
θ
得ρ2(1＋sin 2
θ)＝2. 故曲线C 的直角坐标方程为x 2
2
＋y 2
＝1.
(2)由题意知，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数).
将⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α代入x 22＋y 2
＝1.
化简得(cos 2α＋2sin 2α)t 2
＋2t cos α－1＝0. 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1t 2＝－1
cos 2α＋2sin 2
α
. 则|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝1cos 2α＋2sin 2α＝1
1＋sin 2
α. 由于12≤11＋sin 2
α
≤1， ∴|PA |·|PB |的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1. 5.(2016·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2
＋y 2
＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
(2)直线l 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求
l 的斜率.
解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2
＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ).
设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2
＋12ρcos α＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.
|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2
－4ρ1ρ2＝144cos 2
α－44. 由|AB |＝10得cos 2
α＝38，tan α＝±153.
所以l 的斜率为
153或－153
. 能力提升题组 (建议用时：30分钟)
6.(2018·湖南长郡中学联考)已知曲线C 1：⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t
(t 为参数)，C 2：
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，
y ＝3sin θ(θ为参数). (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π
2，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3：
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t
(t 为参数)距离的最小值.
解 (1)由C 1消去参数t ，得曲线C 1的普通方程为(x ＋4)2
＋(y －3)2
＝1. 同理曲线C 2的普通方程为x 264＋y 2
9
＝1.
C 1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆，C 2表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长
是8，短半轴长是3的椭圆.
(2)当t ＝π
2时，P (－4，4)，又Q (8cos θ，3sin θ)，
故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ， 又C 3的普通方程为x －2y －7＝0， 则M 到直线C 3的距离d ＝
55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|3sin θ－4cos θ＋13|＝5
5
|5(sin θ－φ)＋13|⎝
⎛⎭⎪⎫其中φ满足tan φ＝43，所以d 的最小值为855.
7.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐
标方程为ρ－2cos θ－6sin θ＋1
ρ
＝0，直线l 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝3＋1
2
t ，
y ＝3＋3
2t
(t 为参数).
(1)求曲线C 的普通方程；
(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(3，3)，求|PA |＋|PB |的值. 解 (1)曲线C 的极坐标方程为ρ－2cos θ－6sin θ＋1
ρ＝0，
可得ρ2
－2ρcos θ－6ρsin θ＋1＝0，
可得x 2
＋y 2
－2x －6y ＋1＝0，曲线C 的普通方程：x 2
＋y 2
－2x －6y ＋1＝0. (2)由于直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝3＋12t ，y ＝3＋3
2t
(t 为参数).
把它代入圆的方程整理得t 2
＋2t －5＝0，∴t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－5，
则|PA |＝|t 1|，|PB |＝|t 2|，∴|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2
－4t 1t 2＝2 6.
∴|PA |＋|PB |的值为2 6. 8.(2018·哈尔滨模拟)已知曲线C
的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原
点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝
4.
(1)写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；
(2)若射线θ＝π3与曲线C 交于O ，A 两点，与直线l 交于B 点，射线θ＝11π
6与曲线C 交
于O ，P 两点，求△PAB 的面积. 解 (1)由⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ
(θ为参数)，消去θ.
普通方程为(x －2)2
＋y 2
＝4.
从而曲线C 的极坐标方程为ρ2
－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，
因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4，即32ρsin θ＋12ρcos θ＝4，
∴直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0.
(2)依题意，A ，B 两点的极坐标分别为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3， 联立射线θ＝11π6与曲线C 的极坐标方程得P 点极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6，
∴|AB |＝2，
∴S △PAB ＝12×2×23sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋π6＝2 3.。