第三章 3.3.1函数的单调性与导数

[活学活用]
试证明：函数 f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是增函数． 证明：由于 f(x)＝lnxx，所以 f′(x)＝1x·x－x2ln x＝1－xl2n x， 由于 0＜x＜2，所以 ln x＜ln 2＜1，故 f′(x)＝1－xl2n x＞0， 即函数 f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是增函数．
[类题通法] 利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性， 实质上就是判断或证明不等式 f′(x)＞0(f′(x)＜0)在给定区 间上恒成立，一般步骤为：①求导数 f′(x)；②判断 f′(x)的 符号；③给出单调性结论． 注意：如果出现个别点使 f′(x)＝0，不影响函数在包含 该点的某个区间内的单调性．
[导入新知] 一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与其导函数有
递增 递减
[化解疑难] 在某个区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间内 为增(减)函数的充分不必要条件．出现个别点使 f′(x)＝0， 不会影响函数 f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调 性．例如，函数 f(x)＝x3 在定义域(－∞，＋∞)上是增函数， 但由 f′(x)＝3x2 知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任 意一点处都满足 f′(x)>0.
(2)y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)． 令 y′>0，得 x>－1； 令 y′<0，得 x<－1. 因此，y＝xex 的单调递增区间为(－1，＋∞)， 单调递减区间为(－∞，－1)．
5.与参数有关的函数单调性问题
[典例] 已知函数 f(x)＝x3－ax－1.讨论 f(x)的单调性． [解] f′(x)＝3x2－a. ①当 a≤0 时，f′(x)≥0，所以 f(x)在(－∞，＋∞)上为 增函数． ②当 a＞0 时，令 3x2－a＝0 得 x＝± 33a； 当 x＞ 33a或 x＜－ 33a时，f′(x)＞0； 当－ 33a＜x＜ 33a时，f′(x)＜0.
3.3 导数在研究函数中的应用
3．3.1 函数的单调性与导数
函数的单调性与导数 [提出问zxx题kw ] 已知函数 y1＝x，y2＝x2，y3＝1x的图像如图所示．
问题 1：试结合图像指出以上三个函数的单调性．
提示：函数 y1＝x 在 R 上为增函数，y2＝x2 在(－∞，0) 上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y3＝1x在(－∞，0)， (0，＋∞)上为减函数．
3．f(x)不变，若 f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求 a 的取值范围．
解：由 f′(x)＝3x2－a≤0 在(－1,1)上恒成立，得 a≥3x2 在(－1,1)上恒成立．
因为－1＜x＜1，所以 3x2＜3，所以 a≥3. 即当 a 的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1,1)上为减 函数．
[随堂即时演练] 1．已知函数 f(x)＝x3－3x2－9x，则函数 f(x)的单调递增区间
是
()
A．(3,9)
B．(－∞，－1)，(3，＋∞)
C．(－1,3)
D．(－∞，3)，(9，＋∞)
解析：∵f(x)＝x3－3x2－9x，
∴f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)．
令 f′(x)＞0 知 x＞3 或 x＜－1.
[类题通法] (1)在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的 定义域，然后在定义域内通过解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0， 来确定函数的单调区间． (2)当单调区间有多个时，不要写成并集．
[活学活用] 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3＋3x；(2)y＝xex. 解：(1)f′(x)＝3x2－x32＝3x2－x12. 由 f′(x)＞0，解得 x＜－1 或 x＞1； 由 f′(x)＜0，解得－1＜x＜1，且 x≠0. ∴函数的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)； 单调递减区间为(－1,0)，(0,1)．
1．f(x)不变，若 f(x)为增函数，求实数 a 的取值范围． 解：由已知得 f′(x)＝3x2－a， 因为 f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以 f′(x)＝3x2－a≥0 在(－∞，＋∞)上恒成立， 即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立． 因为 3x2≥0，所以只需 a≤0. 又因为 a＝0 时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1 在 R 上是 增函数，所以 a≤0，即 a 的取值范围为(－∞，0]．
函数与导函数的图像
[例 1] 已知函数 y＝xf′(x)的图像如图
所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数)，下列
四个图像中zx为xkw y＝f(x)的大致图像的是(
)
[解析] 由题图知：当 x＜－1 时，xf′(x)＜0， ∴f′(x)＞0，函数 y＝f(x)单调递增； 当－1＜x＜0 时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＜0， 函数 y＝f(x)单调递减； 当 0＜x＜1 时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0， 函数 y＝f(x)单调递减； 当 x＞1 时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0， y＝f(x)单调递增． [答案] C
2．f(x)不变，若 f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求 a 的取值范围．
解：因为 f′(x)＝3x2－a，且 f(x)在区间(1，＋∞)上为 增函数，
所以 f′(x)≥0 在(1，＋∞)上恒成立，即 3x2－a≥0 在(1， ＋∞)上恒成立，所以 a≤3x2 在(1，＋∞)上恒成立，所以 a≤3， 即 a 的取值范围为(－∞，3]．
因此 f(x)在－∞，－ 33a， 33a，＋∞上为增函数，在 － 33a， 33a上为减函数．
综上可知，当 a≤0 时，f(x)在 R 上为增函数； 当 a＞0 时，f(x)在－∞，－ 33a， 33a，＋∞上为增函 数，在－ 33a， 33a上为减函数．
[多维探究] 1．讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参 不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况 进行讨论，但要始终注意定义域对函数单调性的影响以及分 类讨论的标准． 2．此题对含参数的函数的单调性进行了讨论．另外， 已知函数的单调性确定参数问题更是各类考试的重点，应注 意掌握，如更换本题的条件，可得如下问题：
4．f(x)不变，若 f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求 a 的 值．
解：由例题可知，f(x)的单调递减区间为－ 33a， 33a， ∴ 33a＝1，即 a＝3.
5．f(x)不变，若 f(x)在区间(－1,1)上不单调，求 a 的取 值范围．
解：∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a. 由 f′(x)＝0，得 x＝± 33a(a≥0)． ∵f(x)在区间(－1,1)上不单调， ∴0＜ 33a＜1，得 0＜a＜3， 即 a 的取值范围为(0,3)．
的图像可能是
()
解析：从原函数 y＝f(x)的图像可以看出，其在区间(－∞， 0)上是减函数，f′(x)＜0；在区间(0，x1)上是增函数，f′(x) ＞0；在区间(x1，x2)上是减函数，f′(x)＜0；在区间(x2，＋ ∞)上是增函数，f′(x)＞0.结合选项可知，只有 D 项满足. 答案：D
解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1＜x＜2 是不等 式 f′(x)＜0 的解，即－1,2 是方程 3x2＋2bx＋c＝0 的两个 根，把－1,2 分别代入方程，解得 b＝－32，c＝－6. 答案：－32 －6
4．函数 f(x)＝x－2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为 ________． 解析：令 f′(x)＝1－2cos x＞0， 则 cos x＜12，又 x∈(0，π)， 解得π3＜x＜π， 所以函数的单调递增区间为π3，π. 答案：π3，π
答案：B
2．函数 f(x)＝2x－sin x 在(－∞，＋∞)上
()
A．是增函数
B．是减函数
C．有最大值
D．有最小值
解析：∵cos x≤1，∴f′(x)＝2－cos x＞0 恒成立，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
答案：A
3．若函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的单调递减区间为(－1,2)， 则 b＝________，c＝________.
同理，令 f′(x)<0 得，23π<x<43π. ∴该函数的单调递增区间为0，23π，43π，2π； 单调递减区间为23π，43π.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)， 其导函数为 f′(x)＝2－1x. 令 2－1x>0，解得 x>12； 令 2－1x<0，解得 0<x<12， ∴该函数的单调递增区间为12，＋∞，单调递减区 间为0，12.
判断(或证明)函数的单调性 [例 2] 讨论函数 f(x)＝x2b－x 1(－1＜x＜1，b≠0)的单调性． [解] f′(x)＝b·x′x2－x12－－1x2x2－1′＝－xb2－x2＋121. ∵x∈(－1,1)，－x2x－2＋112＜0， ∴当 b＞0 时，f′(x)＜0，f(x)在(－1,1)上单调递减， 当 b＜0 时，f′(x)＞0，f(x)在(－1,1)上单调递增．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[类题通法] 研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注
zxxkw
意抓住各自的关键要素：对于原函数，要注意其图像在哪个 区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数， 则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于 零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
[活学活用]
函数 f(x)的图像如图所示，则导函数 y＝f′(x)
问题 2：判断它们的导数在其单调区间上的正、负．
提示：y1′＝1，在 R 上为正；y2′＝2x，在(－∞，0)
上为负，在zxxkw(0，＋∞)上为正；y3′＝－x12，在 (－∞，0)及(0，
＋∞)上均为负．
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问题 3：结合问题 1、2，探讨函数的单调性与其导函数
的正负有什么关系？
提示：当 f′(x)>0 时，f(x)为增函数；当 f′(x)<0 时， f(x)为减函数．
求函数的单调区间 [例 3] 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝12x＋sin x，x∈(0,2π)； (2)f(x)＝2x－ln x. [解](1)∵f′(x)＝12＋cos x， ∴令 f′(x)>0 得12＋cos x>0，即 cos x>－12. 又∵x∈(0,2π)，∴0<x<23π 或43π<x<2π.