人教课标版高中数学选修2-1《双曲线的简单几何性质》基础训练

《双曲线的简单几何性质》基础训练
一、选择题
1.若焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程是3y x =±，则该双曲线的离心率是( )
2.中心在原点，对称轴为坐标轴,经过点()1,3P 程为( )
A.22
144x y -
= B.22
144y x -= C.22
188x y -
= D.22
188
y x -= 3.已知0a b >>,椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22
221x y a b
-=，1
C
与2C 2C 的渐近线方程为( )
A.0x ±=
0y ±= C.20x y ±= D.20x y ±=
4.设圆锥曲线的两个焦点分别为1F ,2F ，若曲线上存在点P 满足
1122::4:3:2PF F F PF =,则曲线的离心率等于( ) A.1322或 B.2
3或2 C.1
2或2 D.2332
或
5.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b
-=>>C 的渐近线方程为
( )
A.1
4y x =±
B.1
3y x =±
C.1
2y x =±
D.y x =±
6.已知双曲线
22
124
x y m m -=-的一条渐近线斜率大于1，则实数m 的取值范围为( ) A.()0,4
B.403⎛⎫ ⎪⎝⎭
， C.()0，2
D.443⎛⎫
⎪⎝⎭
， 7.已知双曲线()22
2102x y b b
-=>的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程
为y x =，点)
0P
y 在双曲线上，则12PF PF ⋅=( )
A.12-
B.2-
C.0
D.4
8.直线l :4520x y -=经过双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点和虚轴的
一个端点，则C 的离心率为( )
A.5
3 B.35 C.5
4 D.4
5 二、填空题
9.已知直线1
2
y x =与双曲线22194x y -
=相交于,A B 两点,P 为双曲线上不同于,A B 的点，当直线,PA PB 的斜率PA PB k k ，存在时，=PA PB k k ⋅_____.
三、解答题
10.双曲线()22
2210x y a b a b
-=<<的半焦距为c ，直线l 过(),0a ,()0,b 两点，且原点
到直线l 的距离为
4
c ,求双曲线的离心率. 11.已知双曲线与圆2217x y +=有公共点()4,1A -,且圆在A 点的切线与双曲线的一条渐近线平行,求该双曲线的标准方程.
12.已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的焦距为4，且过点(-.
(1)求双曲线方程和其渐近线方程；
(2)若直线:2l y kx =+与双曲线C 有且只有一个公共点，求实数k 的取值范围.
参考答案
一、选择题 1. 答案：A
解析：设该双曲线方程为()222210,0x y a b a b -=>>,由题意得3a
b =，
229a b ∴=，()2222229=999a b c a c a ∴=-=-，22109a c ∴=，2
10
9c a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭
∴离心率c e a =
=. 2. 答案：D
，得2222
2
22212c a b b e a a a
+==
=+=，即a b =， ∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的方程为()220x y λλ-=≠.
又点()1,3P 在双曲线上，19=8λ∴=--，
∴所求双曲线的标准方程为
22
188
y x -=. 3. 答案：A
解析：设椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e 和2e ，则
12=e e a a =.因为12=2e e ⋅，所以22a =，即4
14b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，
2b a ∴=.故双曲线的渐近线方程为2
b y x x a =±=±，即0x =. 4. 答案：A
解析：由题意可设1122432PF m F F m PF m ===，，，当曲线为椭圆时，长轴
1226a PF PF m =+=,焦距23c m =，1
2c e a ∴=
=；当曲线为双曲线时，实轴1222a PF PF m =-=，焦距23c m =，3
2
c e a ∴==.
5. 答案：C
解析：由题意知c a =，即2222254c a b a a +==，
2211
==42
b b a a ∴∴， C ∴的渐近线方程为1
2y x =±.
6. 答案：B
解析：由题意可知()0,4m ∈.双曲线
22
124
x y m m +=-的一条渐近线斜率大于1，
1>，即403m <<.所以40,3m ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，故选B.
7.
答案：C
解析：由该双曲线的一条渐近线方程为y x =知，
1
=，b ∴=，()()
112,02,0F F ∴-、.
点)
0P
y 在双曲线上，0=1y ∴±，0=1y 时，
)
12,0P
PF PF ⋅=；01y =-时,)
121,0P
PF PF -⋅=,
故选C. 8. 答案：A
解析：l 与坐标轴交于点()()5,004-，，，从而543c b a ===，，，双曲线C 的离心率5
3
c e a ==， 故选A. 二、填空题
9.
答案：4
9
解析：设点()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，由22
1,21,
9
4y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得2
367y =，所以121236=07y y y y +=-
，，所以1212144
0,7
x x x x +==-. 所以222
0001020122220102012003636
4779369
144914747
PA PB
y y y y y y y y y k k x x x x x x x y y -
-
--+⋅=⋅====--+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭. 三、解答题 10.
答案：见解析
解析 由直线l 过()(),0,0,a b 两点，得直线l 的方程为0bx ay ab +-=. 由原点到直线l
.
=.
将b =2
222216160a a c c ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭.令22=a x c ，则2161630x x -+=解得34x =或1
4x =
.
,c
e e a
=
∴=e ∴=或2e =. 0a b
<<
，c e a ∴==
=>， ∴双曲线的离心率为2.
11.
答案：见解析
解析：点A 与圆心O 连线的斜率为1
4
-，∴过点A 的切线的斜率为4，∴双曲
线的渐近线方程为4y x =±.设双曲线的方程为()2
2
016
y x λλ-=≠,
点()4,1A -在双曲线上，∴11616λ-
=，255
16
λ∴=
，∴双曲线的标准方程为22
125525516
x y -=. 12.
答案：见解析
解析：(1)由题意得22224,
9241,
a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得221,3.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.∴双曲线方程为22
13y x -=，其渐近
线方程为y =.
(2)①当双曲线l 与直线相切时，由22213y kx y x =+⎧⎪
⎨-=⎪⎩
得()223470k x kx -⋅--=，
由题意得()2
22
30,162830,
k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=⎪
⎩2
7k k ∴=∴=，②当直线l 与双曲线C
的渐近线y =平行,
即k =时，直线l 与双曲线C 只有一个公共点.
综上，k =
k =。