模块二大招16不动点与稳定点

模块二 大招16 不动点与稳定点
例如 2: 221
y x y x ⎧=-⎨
=⎩
的解为二、函数的稳定点:
1.定义： 已知函数 (),y f x x I =∈， 若存在数 ()y f x = 的稳定点.
2.函数的稳定点可以不是函数的不动点
例如 4: ()2
21f x x =-， 令 (22x 程一定有两解 1,1x =-，由此因式分解，可得3.不动点是函数图象与直线 y x = 的交点的横坐标，（可以是多值的）的图象的交点的横坐标4.若函数 ()y f x = 单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的
，
参考答案：
②当解析式里有多个变量时，我们应该首先想到要消元；
③涉及到复杂函数的最值或者值域的求法我们往往借助导数进行处理.11．ACD
【分析】根据不动点、稳定点的定义一一判断即可.
【详解】设0x A ∈，则()00f x x =，故()()()000f f x f x x ==，即0x B ∈，因此A B ⊆．故A 选项正确．
反过来，若0x B ∈，即()()00f f x x =，当()f x 不是单调函数时，不一定推出()00f x x =，即不一定推出0x A ∈，故B 选项不正确．
若A ≠∅，则存在0x A ∈，即()00f x x =，故()()()000f f x f x x ==，知0x B ∈，因此
B ≠∅．故
C 选项正确．
函数不动点的几何意义是函数()f x 的图像与直线y x =交点的横坐标．若A =∅，则函数()f x 的图像与直线y x =没有交点．
①若函数()f x 的图像在直线y x =的上方，则()f x x >恒成立，有()()()f f x f x x >>恒成立，即B =∅．
②若函数()f x 的图像在直线y x =的下方，则()f x x <恒成立，有()()()f f x f x x <<恒成立，即B =∅．
由①②知若A =∅，则B =∅，即D 选项正确．故选：ACD ．12．AD
【分析】根据定义依次计算每个选项得到A 选项有一个解，B 选项有无数个解，根据函数
2x y =和2log y x =函数图像无交点得到C 不满足，再判断D 选项有唯一解得到答案.【详解】()21f x x =-，定义域为R ，()()0002211f f x x x =--=⎡⎤⎣⎦，解得01x =，A 满足；
()f x x =-，定义域为R ，()()000f f x x x =--=⎡⎤⎣⎦，恒成立，B 不满足；
()2log f x x =，定义域为()0,∞+，()()00022log log f f x x x ==⎡⎤⎣⎦，即0202log x x =，根据函数
2x y =和2log y x =函数图像无交点，知方程无解，C 不满足；
由图象可知，当
11
a e
<<时，即当a e
>时，直线1
y
a
=与函数
因此，实数a的取值范围是()
,e+∞.故答案为：()
,e+∞.。