2019高考数学“一本”培养专题突破 第2部分 专题5 解析几何 第9讲 圆锥曲线的定义、方程及性质学案 文

第9讲圆锥曲线的定义、方程及性质

高考统计·定方向

热点题型真题统计命题规律

题型1：圆锥曲线的

定义、标准方程

2017全国卷ⅢT14；2017全国卷ⅡT12；

2014全国卷ⅠT10 1.每年必考内容，多以选

择、填空题的形式考查圆

锥曲线的定义、方程、性

质，以解答题的形式考查

直线与圆锥曲线的综合

问题.

2.小题一般出现在5～12

或14～15题的位置，难

度中等偏上，解答题出现

在20题的位置上，难度

较大.

题型2：圆锥曲线的

性质及应用

2018全国卷ⅠT4；2018全国卷ⅡT6；2018

全国卷ⅠT11

2018全国卷ⅢT10；2017全国卷ⅠT5；2017

全国卷ⅡT5

2017全国卷ⅠT12；2016全国卷ⅡT5；2016

全国卷ⅢT12

2015全国卷ⅠT5；2015全国卷ⅡT16；2015

全国卷ⅡT15

2014全国卷ⅠT4

题型3：直线、圆与

圆锥曲线的交汇

2017卷ⅢT11；2014卷ⅠT20

题型1 圆锥曲线的定义、标准方程

■核心知识储备·

圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；

(2)双曲线||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；

(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M(直线l是抛物线的准线)．

■高考考法示例·

【例1】(1)(2018·哈尔滨模拟)已知双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( ) A.

x2

4

－

y2

12

＝1 B.

x2

12

－

y2

4

＝1

C.x 2

3

－y 2

＝1 D ．x 2

－y 2

3

＝1

(2)(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2

＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝______.

(1)D (2)6 [(1)根据题意画出草图如图所示，不妨设点A 在渐近线y ＝b a

x 上．

由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2. 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b a x 上，∴b a

＝tan 60°＝ 3. 又a 2

＋b 2

＝4，∴a ＝1，b ＝3， ∴双曲线的方程为x 2

－y 2

3

＝1.故选D.

(2)如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .

由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝1

2|FO |＝1.

又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.

由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.]

[方法归纳] 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”

1定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程. 2计算，即利用待定系数法求出方程或方程组中的a 2

，b 2

或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2

＝2ax 或x 2

＝2ay a ≠0，椭圆常设为mx 2

＋ny 2

＝1m ＞0，n

＞0，m ≠n ，双曲线常设为mx 2

－ny 2

＝1mn ＞0

.

■对点即时训练·

1．设双曲线与椭圆x 227＋y 2

36＝1相交且有共同的焦点，其中一个交点的坐标为(15，4)，

则此双曲线的标准方程是( )

A.y 24－x 25＝1

B.y 25－x 24＝1

C.x 24－y 2

5

＝1 D.x 25－y 2

4

＝1 A [法一：(定义法)椭圆x 227＋y 2

36＝1的焦点坐标分别是(0,3)，(0，－3)．

根据双曲线的定义知，2a ＝|15－0

2

＋4－3

2

－

15－0

2

＋[4－－3]2

|＝4，

解得a ＝2，又b 2

＝c 2

－a 2

＝5，

所以所求双曲线的标准方程为y 24－x 25

＝1.故选A.

法二：(待定系数法)椭圆x 2

27＋y 2

36

＝1的焦点坐标分别是(0,3)，(0，－3)．

设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)，

则a 2

＋b 2

＝9.①

又点(15，4)在双曲线上，所以

16a 2－15

b

2＝1.②

由①②解得a 2

＝4，b 2

＝5.故所求双曲线的标准方程为y 24－x 2

5

＝1.故选A.]

2．设椭圆x 216＋y 2

12＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→

＝9，

则|PF 1→

|·|PF 2→

|的值为( )

A ．8

B ．10

C ．12

D ．15

D [因为P 是椭圆x 216＋y 2

12

＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，所以|PF 1|＋|PF 2|