第三章LINGO软件的使用

第三章 LINGO软件使用入门
LINGO是美国LINDO系统公司开发的一套专门用于求解最优化问题的软件．它为求解最优化问题提供了一个平台，主要用于求解线性规划、非线性规划、整数规划、二次规划、线性及非线性方程组等问题．它是最优化问题的一种建模语言，包含有许多常用的函数供使用者编写程序时调用，并提供了与其他数据文件的接口，易于方便地输入，求解和分析大规模最优化问题，且执行速度快．由于它的功能较强，所以在教学、科研、工业、商业、服务等许多领域得到了广泛的应用．
§3.1 LINGO操作界面简介
在Windows操作系统下启动LINGO软件，屏幕上首先显示如图1.1所示的窗口．
图1.1
图1.1中最外层的窗口是LINGO软件的主窗口（LINGO软件的用户界面），所有其他窗口都在这个窗口之内．主窗口有：标题栏、菜单栏、工具栏和状态栏．目前，状态栏最左边显示的是“Ready”，表示准备就绪，右下角显示的是当前时间，时间前面是当前光标的位置“Ln 1,Col 1”（即1行1列）．将来用户可以用选项命令（LINGO|Options|Interface菜单命令）决定是否需要显示工具栏和状态栏．
LINGO有5个主菜单：
●File（文件）
●Edit（编辑）
●LINGO（LINGO系统）
●Windows（窗口）
●Help（帮助）
这些菜单的用法与Windows下其他应用程序的标准用法类似，下面只对主菜单中LINGO
系统的主要命令进行简要介绍．
LINGO系统（LINGO）的主菜单
●LINGO|Solve(Ctrl-S)
LINGO|Solve(Ctrl-S)（求解）命令对当前模型进行编译并求解．如果当前模型输入有错误，编译时将报告错误．求解时会显示一个求解器运行状态窗口．
●LINGO|Solution(Ctrl-O)
LINGO|Solution(Ctrl-O)（解答）命令显示当前解．
●LINGO|Range(Ctrl-R)
LINGO|Range(Ctrl-R)（灵敏度分析）命令显示当前解的灵敏度分析结果．（你必须在此之前求解过当前模型）
●LINGO|Options(Ctrl-I)
LINGO|Options(Ctrl-I)（选项）命令将打开一个含有7个选项卡的对话框窗口，你可以通过它修改LINGO系统的各种控制参数和选项．修改完以后，你如果单击“应用”按钮，则新的设置马上生效；如果单击“OK”按钮，则新的设置马上生效，并且同时关闭该窗口；如果单击“Save”按钮，则将当前设置变为默认设置，下次启动LINGO时这些设置仍然有效；如果单击“Default”按钮，则恢复LINGO系统定义的原始默认设置；如果单击“Cancel”按钮将废弃本次操作，退出对话框；单击“Help”按钮将显示本对话框的帮助信息．
●LINGO|Generate和LINGO|Picture
LINGO|Generate和LINGO|Picture命令都是在模型窗口下才能使用，他们的功能是按照LINGO模型的完整形式分别以代数表达式形式和矩阵图形形式显示目标函数和约束．
●LINGO|Debug（Ctrl+D）
LINGO|Debug（Ctrl+D）命令分析线性规划无解或无界的原因，建议如何修改
●LINGO|Model Statistics（Ctrl+E）
LINGO|Model Statistics（Ctrl+E）命令显示当前模型的统计信息．
●LINGO|Look（Ctrl+L）
LINGO|Look（Ctrl+L）命令显示当前模型的文本形式，显示时对所有行按顺序编号．图1.2给出了工具栏的简要功能说明．
图1.2
当前光标所在的窗口（窗口标题栏上标有“LINGO Model-LINGO1”），就是模型窗口（model windows），也就是用于输入LINGO优化模型（即LINGO程序）的窗口．
§3.2 LINGO模型的基本特征
LINGO模型（程序）从LINGO模型窗口输入，它以语句“MODEL:”开始，以语句“END”结束．它是由一系列语句组成，每个语句都是以分号“；”结束，语句是组成LINGO模型的基本单位．每行可以写多个语句，为了保持模型的可读性，最好一行只写一个语句，并且按照语句之间的嵌套关系对语句安排适当的缩进，增强层次感．以感叹号“！”开始的语句是注释语句（注释语句也需要以分号“；”结束）．
LINGO模型（程序）一般由5个部分（或称5段）组成：
（1）集合段（SETS）：这部分要以“SETS：”开始，以“ENDSETS”结束，作用在于定义必要的集合变量（SET）及其元素（member，含义类似于数组的下标）和属性（attribute，含义类似于数组）．格式有基本集和派生集两种．
基本集：
Setname(集合变量名)[/member_list(元素列表)/][:attribute_list(属性列表)]；
元素列表可以全部一一列出，也可以用格式“/元素1..元素N/”列出，例如
SETS：
STUDENTS/1,2,3,4,5/:NAME,AGE；
ENDSETS
SETS：
STUDENTS/1..5/:NAME,AGE；
ENDSETS
派生集：
Setname(parent_set_list(源集列表))[/member_list/][:attribute_list]；
例如
SETS:
PRODUCT/A B/；
MACHINE/M N/；
WEEK/1..2/；
ALLOWED( PRODUCT,MACHINE,WEEK)；
ENDSETS
列表可以用逗号“，”分开，也可以用空格分开．
（2）数据段（DATA）：这部分要以“DATA：”开始，以“ENDDATA”结束，作用在于对集合的属性（数组）输入必要的常数数据．格式为：
attribute_list(属性列表)=value_list(常数列表)；
例如
SETS:
SET1 /A, B, C/: X, Y；
ENDSETS
DATA:
X = 1 2 3；
Y = 4 5 6；
ENDDATA
（3）初始化段（INIT）：这部分要以“INIT：”开始，以“ENDINIT”结束，作用在于对集合的属性（数组）给出初值．格式为：
attribute_list(属性列表)=value_list(常数列表)；
与数据段的用法类似．
（4）计算段（CALC）：这部分要以“CALC：”开始，以“ENDCALC”结束，作用在于对一些原始数据进行计算处理．因为在实际问题中，输入的数据往往是原始数据，不一定能在模型中直接使用，可以在这个段对这些原始数据进行一定的“预处理”，得到模型中真正需要的数据．在计算段中语句是顺序执行的．
（5）目标与约束段：这部分没有段的开始和结束标记，作用在于给定目标函数与约束条件．可见除这一段外，其他4个段都有明确的段标记．这一段是模型的主要部分，其他段是为这一段服务的．其他四段可以没有，这一段必须要有．否则不称其为模型．这一段一般要用到LINGO的运算符和各种函数．
§3.3 LINGO的运算符和函数
LINGO包含有大量的运算符和函数，供程序（建立优化模型）调用，其功能很强．充分利用这些函数，对解决问题将是非常方便的．下面给出部分函数及简要功能介绍，全部函数及详细功能说明可进一步参考LINGO的使用手册．
一、运算符及其优先级
LINGO的运算符有三类：算数运算符、逻辑运算符和关系运算符．
1．算术运算符：LINGO中的算术运算符有以下5种：
+（加法），-（减法或负号），*（乘法），/（除法），∧（求幂）．
算术运算是数与数之间的运算，运算结果仍是数．
2．逻辑运算符：LINGO中的逻辑运算符有以下9种，可以分成两类：
（1）#AND#（与），#OR#（或），#NOT#（非）：这三个运算是逻辑值之间的运算，也就是
它们操作的对象本身必须已经是逻辑值或逻辑表达式，计算结果也是逻辑值．（2）#EQ#（等于），#NE#（不等于），#GT#（大于），#GE#（大于等于），#LT#（小于），#LE#（小于等于）：这6个操作实际上是“数与数之间”的比较，也就是它们操作的对象本身必须是两个数，而逻辑表达式计算的结果是逻辑值．
3．关系运算符：LINGO中的关系运算符有以下3种：
＜（即＜＝，小于等于），＝（等于），＞（即＞＝，大于等于）
这三个运算符虽然也是“数与数之间”的比较，但在LINGO中只用来表示优化模型的约束条件，所以不是真正意义上的运算．
这些运算符的优先级如表3.1所示（同一优先级按左到右的顺序执行；如果有括号“（）”，则括号内的表达式优先进行计算）
表3.1
二、基本的数学函数
在LINGO中写程序时可以调用大量的内部函数，这些函数以“@”符号打头（类似调用命令）．LINGO中数学函数的用法与其它语言中的数学函数的用法类似，主要有以下函数：@ABS(X)：绝对值函数，返回X的绝对值．
@COS(X)：余弦函数，返回X的余弦值（X的单位是弧度）．
@EXP(X)：指数函数，返回e x的值．
@FLOOR(X)：取整函数，返回X的整数部分（向最靠近0的方向取整）．
@LGM(X)：返回X的伽马（Gamma）函数的自然对数值．
@LOG(X)：自然对数函数，返回X的自然对数值．
@MOD(X,Y)：模函数，返回X对Y取模的结果．
@POW(X,Y)：指数函数，返回X Y的值．
@SIGN(X)：符号函数，返回X的符号值（X＜0时返回-1，X＞＝0返回1）．
@SIN(X)：正弦函数，返回X的正弦值．
@SMAX(list)：最大值函数，返回列表（list）中的最大值．
@SMIN(list)：最小值函数，返回列表（list）中的最小值．
@SQR(X)：平方函数，返回X的平方值．
@SQRT(X)：平方根函数，返回X的正的平方根的值．
@TAN(X)：正切函数，返回X的正切值．
三、集合循环函数
集合循环函数是指对集合上的元素（下标）进行循环操作的函数，主要有@FOR，@MAX，@MIN，@SUM，@PROD五种,其用法如下：
@function(setname[(set_index_list)[|conditional_qualifier]]:expression_list)；其中：
Function是集合函数名；
Setname是集合名；
set_index_list是集合索引列表（不需要使用索引时可以省略）；
|conditional_qualifier是用逻辑表达式给出的过滤条件（无条件时可以省略）；
:expression_list是一个表达式（对@FOR函数，可以是一组表达式）．
下面简要介绍其作用．
@FOR(setname[(set_index_list)[|cond_qualifier]]:exp_list)：对集合setname中的每个元素独立地生成由exp_list描述的表达式（通常是优化问题的约束）．@MAX(setname[(set_index_list)[|cond_qualifier]]:exp)：返回集合setname上的表达式exp的最大值．
@MIN(setname[(set_index_list)[|cond_qualifier]]:exp)：返回集合setname上的表达式exp的最小值．
@SUM(setname[(set_index_list)[|cond_qualifier]]:exp)：返回集合setname上的表达式exp的和．
@PROD(setname[(set_index_list)[|cond_qualifier]]:exp)：返回集合setname上的表达式exp的积．
四、集合操作函数
集合操作函数是指对集合进行操作的函数，主要有@INDEX,@IN,@WRAP,@SIZE四种，下面简要介绍其作用．
@INDEX([set_name,]primitive_set_element)：返回元素primitive_set_element在集合set_name中的索引值（即按定义集合时元素出现顺序的位置编号）．如果省略集合名set_name，LINGO按程序定义的集合顺序找到第一个含有元素primitive_set_element的集
合，并返回索引值．如果在所有集合中均没有找到该元素，会给出出错信息．
@IN(set_name,primitive_index_1[,primitive_index_2 ...])：判断一个集合中是否含有索引值．集合set_name 中包含由索引primitive_index_1[,primitive_index_2...]所表示的对应元素，则返回1（逻辑值“真”），否则返回0（逻辑值“假”）．
@WRAP(INDEX,LIMIT)：返回J=INDEX-K*LIMIT,其中J 位于区间[1，LIMIT]，K 为整数．当INDEX 位于区间[1，LIMIT]内时直接返回INDEX ．相当于数学上用INDEX 对LIMIT 取模函数的值+1，即@WRAP(INDEX,LIMIT)=@MOD(INDEX,LIMIT)+1．此函数对LIMIT ＜1无定义．可以想到，此函数的目得之一是防止集合的索引值越界．
@SIZE(set_name)：返回集合set_name 的模，即元素的个数．
五、变量定界函数
变量定界函数是对变量的取值范围加以限制的函数．主要有@BIN, @BND, @FREE, @GIN 四种，下面简要介绍其作用．
@BIN(variable)：限制变量variable 为0或1．
@BND(lower_bound, variable, upper_bound)：限制
lower_bound ＜＝variable ＜＝upper_bound
@FREE(variable)：取消对变量variable 的符号限制（即可取负数、0或正数）． @GIN(variable)：限制变量variable 为整数．
六、财务会计函数
财务会计函数是用于计算净现值的函数．主要有@FPA, @FPL 两种，下面简要介绍其作用． @FPA(I,N)：返回若干时段单位等额回收净现值．其中单位时段利率为I,时段N 个，即
∑=+=N
n n I N I FPA 1)1(1),(@ @FPL(I,N)：返回一个时段单位回收净现值．其中单位时段利率为I,时段N ，即
N I N I FPL )
1(1),(@+=
七、概率中的相关函数
概率中的相关函数是涉及到概率论和随机过程中的一些函数．主要有以下函数： @PSN(X)：返回标准正态分布的分布函数在X 点的取值．
@PSL(X)：标准正态的线性损失函数，即返回MAX(0,Z-X)的期望值，其中Z 为均值为A
的Poisson随机变量．
@PPS(A,X)：返回均值为A的Poisson分布的分布函数在X点的取值．
@PPL(A,X)：Poisson分布的线性损失函数，即返回MAX(0,Z-X)的期望值，其中Z为标准正态随机变量．
@PBN(P,N,X)：返回参数为（N,P）的二项分布的分布函数在X点的取值．
@PHG(POP,G,N,X)：返回总共有POP个球，其中G个是白球，随机地从中取出N个球，白球不超过X的概率．
@PFD(N,D,X)：返回自由度为N和D的F分布的分布函数在X点的取值．
分布的分布函数在X点的取值．
@PCX(N,X)：返回自由度为N的2
@PTD(N,X)：返回自由度为N的t分布的分布函数在X点的取值．
@PEB(A,X)：返回当到达负荷（强度）为A，服务系统有X个服务器且允许无穷排队时的Erlang繁忙概率．
@PEL(A,X)：返回当到达负荷（强度）为A，服务系统有X个服务器且不允许排队时的Erlang繁忙概率．
@PFS(A,X,C)：返回当负荷上限为A，顾客数为C，并行服务器数量为X时，有限源的Poisson服务系统得等待顾客数的期望值．
@QRAND(SEED)：返回0与1之间的多个拟均匀随机数，其中SEED为种子，默认时取当前计算机时间为种子．该函数只能用在数据段（DATA-ENDDATA）．
@RAND(SEED)：返回0与1之间的一个伪均匀随机数，其中SEED为种子．
八、文件输入输出函数
文件输入输出函数是指通过文件输入数据和输出结果的函数．主要有以下函数：
@FILE('filename')：这个函数提供LINGO与文本文件的接口，用于引用其它ASCII码或文本文件中的数据，其中filename为存放数据的文件名（包括路径，没有指定路径时表示当前目录），该文件中记录之间必须用符号“～”分开．主要用在集合段和数据段，通过文本文件输入数据．
@TEXT(['filename'])：用于数据段中将解答结果送到文本文件filename中．
@ODBC(['data_source'[,'table_name'[,'col_1'[, 'col_2'...]]]])：这个函数提供LINGO与ODBC（open data base connection,开放式数据库连接）的接口，用于集合段和数据段中引用其它数据库数据或将解答结果送到数据库中．其中data_source是数据库名，table_name是数据表名，col_i是数据列名（数据域名）．
@OLE('spreadsheet_file'[,range_name_list])：这个函数提供LINGO与OLE（object linking and embedding，对象链接与嵌入）的借口，用于集合段、数据段和初始段中输入和输出数据库．其中spreadsheet_file是文件名，range_name_list是文件中包含数据的
单元范围．
@POINTER(N)：在Windows下使用LINGO的动态链接库（dynamic link library ,DLL），直接从共享的内存中传送数据．
§3.4 LINGO软件求解案例
一、生产管理问题
1．问题实例
某厂有5种设备A1,A2,…,A5，用来加工7种零部件B1,B2,…,B7，每种设备的数量、每种零部件的单位成本及所需各设备的加工工时（以小时计）见表1
表1
在其后的半年中，工厂有设备检修计划（停工检修时间一个月）见表2
表2
工厂在半年中有订单（必须按时交货）见表3
表3
每种零部件库存最多可到100件，现每种零部件有库存80件，库存费用每件每月为0.5元，，要求到六月底每种零部件有存货50件，每种零部件生产至少50件．工厂每周工作5天，每天2班，每班8小时．
试回答如下问题：
（1） 工厂如何安排各月份各种零部件的加工数量？
（2） 单位成本有10%的变化，对计划有什么影响？
（3） 设备各增加1台对计划有什么的影响．
2．模型建立
设： ij a 为第j 种零部件在第i 种设备上的单位加工工时)7,,2,1,5,,2,1( ==j i ；
ik b 为第i 种设备在第k 月的数量)6,,2,1,5,,2,1( ==k i ； kj d 为第k 月第j 种零部件的顶单数量)7,,2,1,6,,2,1( ==j k ； j c 为第j 种零部件的单位收益)7,,2,1( =j ； kj x 为第k 月第j 种零部件的生产数量)7,,2,1,6,,2,1( ==j k ； kj s 为第k 月末第j 种零部件的库存数量)7,,2,1,6,,2,1( ==j k ； 800=j s 为初始库存)7,,2,1( =j
假设每月以20天计，有以下模型：
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥≥==≥=≤====-+===≤+-=====∑∑∑∑∑)
(7,,2,1,6,,2,1,0,07,,2,1,6,,2,1,50)(7,,2,1,100)(7,,2,1,50)(7,,2,1,6,,2,1,)(6,,2,1,5,,2,13205.0min 6(617
1
61617
171非负约束生产要求个月末的库存第种零部件的库存月第第种设备的有效工时月第第费用目标）
）（，库存约束 j k s x j k x j s j s j k d x s s k i b x a s x c kj kj kj kj
j
kj kj j k kj ik j kj ij k k j kj j kj j j k i k 3．模型求解
利用LINGO 软件计算，输入
model:
sets:
cp/1..7/:c;
yf/1..6/:;
sb/1..5/:;
sl1(yf,cp):x,d,s;
sl2(sb,cp):a;
sl3(sb,yf):b;
endsets
data:
a=0.5 0.7 0.0 0.0 0.3 0.2 0.5
0.1 0.2 0.0 0.3 0.0 0.6 0.0
0.2 0.0 0.8 0.0 0.0 0.0 0.6
0.05 0.03 0 0.07 0.1 0 0.08
0 0 0.01 0 0.05 0 0.05;
b=3 4 4 4 3 4
2 2 1 1 1 2
3 1 3 3 3 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1;
d=250 500 150 150 400 100 100
300 250 100 0 200 150 100
150 300 0 0 250 200 100
100 150 200 250 100 0 100
0 100 250 100 500 150 0
250 250 100 300 550 250 100;
c=100 60 80 40 110 90 30;
enddata
min=@sum(sl1(k,j):c(j)*x(k,j)+0.5*s(k,j));
@for(yf(k):@for(sb(i):@sum(cp(j):a(i,j)*x(k,j))<=320*b(i,k))); @for(yf(k)|k#gt#1:@for(cp(j):s(k,j)=s(k-1,j)+x(k,j)-d(k,j))); @for(cp(j):s(1,j)=80+x(1,j)-d(1,j));
@for(cp(j):s(6,j)=50);
@for(sl1(k,j):s(k,j)<=100);
@for(sl1(k,j):x(k,j)>=50);
end
（1）计算结果有：
目标函数：590580 z
（2）目标的灵敏度分析：
Objective Coefficient Ranges（目标系数的灵敏度分析）
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease
变量目前系数允许增加范围允许减少范围
X( 1, 1) 100.0000 INFINITY
0.5000000
X( 1, 2) 60.00000 INFINITY 0.5000000
X( 1, 3) 80.00000 INFINITY 0.5000000
X( 1, 4) 40.00000 INFINITY 1.500000
X( 1, 5) 110.0000 INFINITY 0.5000000
X( 1, 6) 90.00000 INFINITY 0.5000000
X( 1, 7) 30.00000 INFINITY 0.5000000
X( 2, 1) 100.0000 0.5000000 0.5000000
X( 2, 2) 60.00000 0.5000000 0.5000000
X( 2, 3) 80.00000 0.5000000 1.000000
X( 2, 4) 40.00000 INFINITY 1.000000
X( 2, 5) 110.0000 0.5000000 0.5000000
X( 2, 6) 90.00000 0.5000000 0.5000000
X( 2, 7) 30.00000 0.5000000 0.5000000
X( 3, 1) 100.0000 0.5000000 0.5000000
X( 3, 2) 60.00000 0.5000000 0.5000000
X( 3, 3) 80.00000 INFINITY 0.5000000
X( 3, 4) 40.00000 INFINITY 0.5000000
X( 3, 5) 110.0000 0.5000000 0.5000000
X( 3, 6) 90.00000 0.5000000 1.000000
X( 3, 7) 30.00000 0.5000000 0.5000000
X( 4, 1) 100.0000 0.5000000 1.000000
X( 4, 2) 60.00000 0.5000000 0.5000000
X( 4, 3) 80.00000 0.5000000
0.5000000
X( 4, 4) 40.00000 0.5000000 0.5000000
X( 4, 5) 110.0000 0.5000000 0.5000000
X( 4, 6) 90.00000 INFINITY 0.5000000
X( 4, 7) 30.00000 0.5000000 1.000000
X( 5, 1) 100.0000 INFINITY 0.5000000
X( 5, 2) 60.00000 0.5000000 0.5000000
X( 5, 3) 80.00000 0.5000000 0.5000000
X( 5, 4) 40.00000 0.5000000 0.5000000
X( 5, 5) 110.0000 0.5000000 0.5000000
X( 5, 6) 90.00000 0.5000000 0.5000000
X( 5, 7) 30.00000 INFINITY 0.5000000
X( 6, 1) 100.0000 0.5000000 INFINITY
X( 6, 2) 60.00000 0.5000000 INFINITY
X( 6, 3) 80.00000 0.5000000 INFINITY
X( 6, 4) 40.00000 0.5000000 INFINITY
X( 6, 5) 110.0000 0.5000000 INFINITY
X( 6, 6) 90.00000 0.5000000 INFINITY
X( 6, 7) 30.00000 0.5000000 INFINITY
其中INFINITY是无穷．
从以上灵敏度分析可见，提高10%,有超出允许范围的，所以对计划有影响．
（3）约束条件的灵敏度分析：
Righthand Side Ranges（右边常数项的灵敏度分析） Row Current Allowable Allowable
RHS Increase Decrease
行目前常数项允许增加范围允许减少范围
2 960.0000 INFINITY
450.0000
3 640.0000 INFINITY
488.0000
4 960.0000 INFINITY
840.0000
5 320.0000 INFINITY
258.0000
6 320.0000 INFINITY
300.8000
7 1280.000 INFINITY
836.0000
8 640.0000 INFINITY
473.0000
9 320.0000 INFINITY
138.0000
10 320.0000 INFINITY
268.4000
11 320.0000 INFINITY
305.5000
12 1280.000 INFINITY
830.0000
13 320.0000 INFINITY
110.0000
14 960.0000 INFINITY 830.0000
15 320.0000 INFINITY 267.0000
16 320.0000 INFINITY 302.0000
17 1280.000 INFINITY 1035.000
18 320.0000 INFINITY 205.0000
19 960.0000 INFINITY 760.0000
20 320.0000 INFINITY 282.0000
21 320.0000 INFINITY 308.5000
22 960.0000 INFINITY 670.0000
23 640.0000 INFINITY 525.0000
24 960.0000 INFINITY 720.0000
25 320.0000 INFINITY 253.5000
26 320.0000 INFINITY 290.0000
27 1280.000 INFINITY 655.0000
28 640.0000 INFINITY 270.0000
29 640.0000 INFINITY 410.0000
30 320.0000 INFINITY 206.0000
31 320.0000 INFINITY 283.5000
从以上灵敏度分析可见，提高1台,没有超出允许范围的，所以对计划没有影响．也可以将数据与模型分离，先准备数据文件exam01.ldt:
!单耗;
0.5 0.7 0.0 0.0 0.3 0.2 0.5
0.1 0.2 0.0 0.3 0.0 0.6 0.0
0.2 0.0 0.8 0.0 0.0 0.0 0.6
0.05 0.03 0 0.07 0.1 0 0.08
0 0 0.01 0 0.05 0 0.05~
!设备数量;
3 4 4 4 3 4
2 2 1 1 1 2
3 1 3 3 3 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1~
!需求;
250 500 150 150 400 100 100
300 250 100 0 200 150 100
150 300 0 0 250 200 100
100 150 200 250 100 0 100
0 100 250 100 500 150 0
250 250 100 300 550 250 100~
!单位成本;
100 60 80 40 110 90 30~
再写程序如下：
model:
sets:
cp/1..7/:c;
yf/1..6/:;
sb/1..5/:;
sl1(yf,cp):x,d,s;
sl2(sb,cp):a;
sl3(sb,yf):b;
endsets
data :
a=@file ('exam01.ldt');
b=@file ('exam01.ldt');
d=@file ('exam01.ldt');
c=@file ('exam01.ldt');
enddata
min =@sum (sl1(k,j):c(j)*x(k,j)+0.5*s(k,j));
@for (yf(k):@for (sb(i):@sum (cp(j):a(i,j)*x(k,j))<=320*b(i,k))); @for (yf(k)|k#gt#1:@for (cp(j):s(k,j)=s(k-1,j)+x(k,j)-d(k,j))); @for (cp(j):s(1,j)=80+x(1,j)-d(1,j));
@for (cp(j):s(6,j)=50);
@for (sl1(k,j):s(k,j)<=100);
@for (sl1(k,j):x(k,j)>=50);
end
二、下料问题
1．问题实例
有某种材料一根长19米．现需用其切割4米长毛坯50根、5米长毛坯10根、6米长毛坯20根、8米长毛坯15根．如何切割使其用料最省？要求切割模式不能超过3种．
2．模型建立
设：4,3,2,1=i 分别表示4米长，5米长，6米长，8米长的毛坯；
i a 为第i 种毛坯的长度)4,3,2,1(=i ；
i b 为第i 种毛坯的需要量)4,3,2,1(=i ；
j x 为第j 种切割模式所用的材料数量)3,2,1(=j ；
ij r 为第j 种切割模式切割第i 种毛坯的数量)3,2,1,4,3,2,1(==j i ．
一种合理的切割模式应满足：其余料长度不应该大于或等于需要切割毛坯的最小长度．于是有模型如下
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥≥=≥=≤=≥=∑∑∑∑====3,2,1,4,3,2,1,0,0(3,2,1,16(3,2,1,19(4,3,2,1,(min 41413
1
3
1j i r x j r a j r a i b x r x z ij j
i ij i i ij i i j j ij j j 且整数合理的下料模式所下毛坯的总长所下毛坯的需要量用料目标）））
）
3．模型求解
为了便于运算，我们先来缩小可行域．由于3种切割模式的排列顺序是无关紧要的，所以不妨增加以下约束：
321x x x ≥≥
又注意到用料的总量有明显的上界和下界．首先，无论如何，用料总量不可能少于
2619158206105504=⎥⎥
⎤⎢⎢⎡⨯+⨯+⨯+⨯ 其次，考虑一种特殊的下料计划：模式1：切割成4根4米钢管，需13根；模式2：切割成1根5米和2根6米钢管，需10根；模式3：切割成2根8米钢管，需8根．这样需要
13+10+8=31
于是可得到解的一个上界．所以又可增加约束：
3126321≤++≤x x x
利用LINGO 软件计算，输入
model:
sets:
needs/1..4/:a,b;
cuts/1..3/:x;
patterns(needs,cuts):r;
endsets
data:
a=4 5 6 8;
b=50 10 20 15;
enddata
min=@sum(cuts(j):x(j));!用料目标;
@for(needs(i):@sum(cuts(j):x(j)*r(i,j))>b(i));!需要量要求;
@for(cuts(j):@sum(needs(i):a(i)*r(i,j))<19);!材料总长;
@for(cuts(j):@sum(needs(i):a(i)*r(i,j))>16);!合理模式;
@sum(cuts(j):x(j))>26;!用料下限;
@sum(cuts(j):x(j))<31;!用料上限;
@for(cuts(j)|j#lt#@size(cuts):x(j)>x(j+1));!人为约束;
@for(cuts(j):@gin(x(j)));!整数约束;
@for(patterns(i,j):@gin(r(i,j)));!整数约束;
end
经过LINGO求解，得到输出如下：
Objective value: 28.00000
Variable Value Reduced Cost
X( 1 ) 10.00000 0.000000
X( 2 ) 10.00000 2.000000
X( 3 ) 8.000000 1.000000
R( 1, 1) 3.000000 0.000000
R( 1, 2) 2.000000 0.000000
R( 1, 3) 0.000000 0.000000
R( 2, 1) 0.000000 0.000000
R( 2, 2) 1.000000 0.000000
R( 2, 3) 0.000000 0.000000
R( 3, 1) 1.000000 0.000000
R( 3, 2) 1.000000 0.000000
R( 3, 3) 0.000000 0.000000
R( 4, 1) 0.000000 0.000000
R( 4, 2) 0.000000 0.000000
R( 4, 3) 2.000000 0.000000
即按照模式1、2、3分别切割10、10、8根材料，使用材料总根数为28根．第一种切割模式下1根材料切割3根4米的和1根6米的；第二种切割模式下1根材料切割2根4米的、1根5米的和1根6米的；第三种切割模式下1根材料切割2根8米的．
三、投资组合问题
1．问题实例
有三种股票A,B,C，其前12年的价值每年的增长情况如表所示
表中还给出了相应年份的500种股票的价格指数的增长情况．假设目前你有一笔资金准备投资这三种股票，并期望年收益率达到15%，那么你应如何投资？ 2．模型建立
设：3,2,1=i 分别表示表示A,B,C 三种股票；
i R 为第i 种股票的价值)3,2,1(=i ；
ij R 为第i 种股票第j 年的价值)12,,2,1,3,2,1( ==j i ；
M 为指数；
j M 为第j 年的指数)12,,2,1( =j ；
i x 为投资第i 种股票比例)3,2,1(=i ．
股票指数反映的是股票市场的大势信息，对每只股票的涨跌是有影响的．假设每只股票的收益与股票指数成线性关系．即
i i i i e M b a R ++=
或
12,,2,1,3,2,1, ==++=j i e M b a R ij j ij ij ij
其中ij ij b a ,是待定系数，ij e 是一个随机误差，其均值为0)(=ij e E ，方差为)(2
ij ij e D s =，此外假设随机误差ij e 与其他股票和股票指数都是独立的，所以0)()(==j ij kj ij M e E e e E ．
先根据所给数据回归计算ij ij b a ,，即使误差的平方和最小：
3,2,1,||min
12
1
212
1
2=-+=∑∑==i R M b a e
j ij j ij ij j ij
可用Matlab 软件做该回归计算，也可用LINGO 软件分别来做每只股票的回归计算，输入 model: sets:
year/1..12/:M,R,a,b,e; endsets data:
R=1.300 1.103 1.216 0.954 0.929 1.056 1.038 1.089 1.090 1.083 1.035 1.176;
M=1.258997 1.197526 1.364361 0.919287 1.057080 1.055012 1.187925 1.317130 1.240164 1.183675 0.990108 1.526236; enddata calc:
mean0=@sum(year(j):M(j))/@size(year);
s20=@sum(year(j):@sqr(M(j)-mean0))/(@size(year)-1); s0=@sqrt(s20); endcalc min=s2;
s2=@sum(year(j):@sqr(e(j)))/(@size(year)-2); s=@sqrt(s2);
@for(year(j):e(j)=R(j)-a-b*M(j)); @for(year(j):@free(e(j))); @free(a);@free(b);
End
对上面的程序，注意以下几点： （1）只给了一种股票的价值R ；
（2）在CALC 段直接计算了M 的均值mean0和方差s20以及标准差s0（为了使这个估计是无偏估计，分母是11而不是12）；
（3）程序中用到平方函数@sqr 和平方根函数@sqrt ；
（4）除了计算回归系数外，同时估计了回归误差s2和标准差s ，为了使这个估计是无偏估计，分母是10而不是11和12，这是因为此时已经假设保持误差的均值为0，所以自由度又少了一个；
（5）@free(a),@free(b),@free(e)三个语句不能少，因为它们不一定是非负的； 运行这个LINGO 模型，结果为：
Objective value: 0.5748320E-02
Variable Value Reduced Cost
MEAN0 1.191458 0.000000 S20 0.2873661E-01 0.000000 S0 0.1695188 0.000000 S2 0.5748320E-02 0.000000 S 0.7581767E-01 0.000000 A 0.5639761 0.000000 B 0.4407264 0.000000
也就是说：M 的均值191458.10=m ，方差02873661.02
0=s ，标准差1695188.00=s ，
对股票A ，回归系数5639761.01=a ，4407264.01=b ，误差的方差005748320.02
1=s ，误差的标准差07581767.01=s ．
同理，可以得到：对股票B ，回归系数239802.1,2635059.022=-=b a ，误差的方差
01564263.022=s ，误差的标准差1250705.02=s ．
对股票C ，回归系数523798.1,5809590.033=-=b a ，误差的方差03025165.02
3=s ，
误差的标准差1739300.03=s ．
于是，年投资收益为
∑∑==++==3
1
31
)(i i i i i i i i e M b a x R x R
收益的期望为
∑∑==+=++=3
1
031
)()(i i i i i i i i i m b a x e M b a E x ER
收益的方差为
∑∑==+=++=3
1
222
023
1
2
])[()(i i i i i i i i i i s x s b x e M b a D x DR
进一步，令∑=
i
i b x y ，则模型应该为
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎪⎨⎧
≥≥+==+=∑∑∑∑====015.1)(1 ..)
(min 3
1
03
1
3
1
3
1
222
02i
i i i i i i
i i
i i i i x m b a x x b x y t s s x s y z 3．模型求解
利用LINGO 软件计算，输入 model: sets:
stocks/1..3/:u,b,s2,x; endsets data:
mean0=1.191458; s20=0.02873661;
s2=0.005748320,0.01564263,0.03025165; u=0.5639761,-0.2635059,-0.5809590; b=0.4407264,1.239802,1.523798; enddata
min=s20*@sqr(y)+@sum(stocks(i):s2(i)*@sqr(x(i))); @sum(stocks(i):b(i)*x(i))=y; @sum(stocks(i):x(i))=1;
@sum(stocks(i):(u(i)+b(i)*mean0)*x(i))>1.15; end
运算这个LINGO 模型，输出结果如下
Objective value: 0.2465621E-01 Y 0.8453449 0.000000 X( 1) 0.5266052 0.000000 X( 2) 0.3806461 0.000000 X( 3) 0.9274874E-01 0.000000
根据运算结果可知：A 大约占初始时刻总资产的53%，B 占38%，C 占9%．
四、最小费用最大流问题
1．问题实例
需要将某地s 的天然气通过管道输送到另一地t ，中间有4个中转站4321,,,v v v v ．由于输气管道的长短粗细不一或地质等原因，使得每条管道上的运输量及费用不同．下图给出了这两地与中转站的连接以及管道的容量、费用：
图中括号里第一个数字是管道容量，第二个数字是管道单位运费．考虑s 地到t 地如何输送天然气，使得费用最小流量最大． 2．模型建立
设：V 为网络顶点集，A 为网络的弧集；
ij f 为弧),(j i 上的流量； ij b 为弧),(j i 上的单位运费； ij c 为弧),(j i 上的容量；
)(f v 为发点处的净流量．
根据最大流的定义，我们有模型如下：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
∈≤≤⎪⎩⎪⎨⎧≠=-==-∑∑∑∈∈∈∈
∈A
j i c f t s i t
i f v s i f v f f t s f v t s f b
ij ij A i j V j ji A j i V j ij A
j i ij
ij
),(,0, 0 )( ),(..)
(max ..min
),(),(),( 3．模型求解
先考虑最大流模型，LINGO 软件输入如下 model: sets:
nodes/s,1,2,3,4,t/;
arcs(nodes,nodes)/s,1 s,2 1,2 1,3 2,4 3,2 3,t 4,3 4,t/:c,f;
endsets
data:
c=8 7 5 9 9 2 5 6 10;
enddata
max=flow;
@for(nodes(i)|i#ne#1 #and# i#ne#@size(nodes):
@sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i))=0);
@sum(arcs(i,j)|i#eq#1:f(i,j))=flow;
@for(arcs(i,j):@bnd(0,f(i,j),c(i,j)));
end
计算结果如下：
Objective value: 14.00000
Variable Value Reduced Cost FLOW 14.00000 0.000000
F( S, 1) 7.000000 0.000000
F( S, 2) 7.000000 0.000000 F( 1, 2) 2.000000 0.000000 F( 1, 3) 5.000000 0.000000 F( 2, 4) 9.000000 -1.000000 F( 3, 2) 0.000000 0.000000 F( 3, T) 5.000000 -1.000000 F( 4, 3) 0.000000 1.000000 F( 4, T) 9.000000 0.000000 其次考虑最小费用最大流模型，LINGO软件输入如下
model:
sets:
nodes/s,1,2,3,4,t/;
arcs(nodes,nodes)/s,1 s,2 1,2 1,3 2,4 3,2 3,t 4,3 4,t/:b,c,f;
endsets
data:
b=2 8 5 2 3 1 6 4 7;
c=8 7 5 9 9 2 5 6 10;
flow=14;
enddata
min=@sum(arcs(i,j):b(i,j)*f(i,j));
@for(nodes(i)|i#ne#1 #and# i#ne#@size(nodes):
@sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i))=0);
@sum(arcs(i,j)|i#eq#1:f(i,j))=flow;
@for(arcs(i,j):@bnd(0,f(i,j),c(i,j)));
end
计算结果如下：
Objective value: 205.0000
Variable Value Reduced Cost
F( S, 1) 8.000000 -1.000000
F( S, 2) 6.000000 0.000000
F( 1, 2) 1.000000 0.000000
F( 1, 3) 7.000000 0.000000
F( 2, 4) 9.000000 0.000000
F( 3, 2) 2.000000 -3.000000
F( 3, T) 5.000000 -8.000000
F( 4, 3) 0.000000 11.00000
F( 4, T) 9.000000 0.000000
附录 LINGO出错信息
在LINGO程序求解时，系统首先会对程序进行编译．系统在编译或执行其他命令时，会因程序中的错误或运行错误，弹出一个出错报告窗口，显示其错误代码，并简要指出错误的原因．这些错误报告信息能够提示用户发现程序中的错误，以便能尽快修改．下面我们给出出错信息的一个简要说明，仅供参考．
LINGO错误编号及原因对照表
习题
1．用LINGO 软件求解线性规划问题并作灵敏度分析
（1） ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++-++-=0,,90
10412203..1355max 3
212213213
21x x x x x x x x x t s x x x （2） ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+--≤+---+-=0,,,10
35.0125.009825.0..65.02075.0max 3213
432143214
321x x x x x x x x x x x x t s x x x x z 2．用LINGO 软件求解0-1规划问题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥+-+≥+++-≥+++-+++=1
0,,,1
1424204..4352min 43214321432143214
321或x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x 3．用LINGO 软件求解整数规划问题
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤≤=+=-+=-+=-++++++=且整数
0,,,,,,20,45,40,3025
352515..2.02.02.05.54.51.50.5min 3214321432134323212
113
214321y y y x x x x x x x x y x y y x y y x y x t s y y y x x x x
4．用LINGO 软件求解非线性规划问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≤≤--=+-+=++-+-+-+-+-=5,4,3,2,1,552
22223..)()()()()1(min 4232332215
544433322211i x x x x x x x t s x x x x x x x x x z i
5．用LINGO 软件求解
⎪⎩⎪⎨⎧-∈≤+++≤-≤+≤-+=}1,1{,,,2
311..2
1max 4
32143214321T T x x x x x x x x x x x x t s z Qx x x c 其中T )2,4,8,6(-=c ，Q 是三对角线矩阵，主对角线上元素全为-1，两条次对角线上元素全为2．。