2018年普通高等学校招生全国统一考试最后一卷 文科数学精编含解析

【解析】由 m ， n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，知：对于
①， m∥n ， m ，由线面垂直的判定定理得 n ，故①正确；对于②，∥ ， m ，
n ，则 m 与 n 平行或异面，故②错误；对于③，∥ ， m∥n ， m ，由线面垂直的判定定
所以 f x f ln a 1 a ln2 a a ln a a ，
max
2
因为对区间0,1内的任意实数 x1 、 x2 、 x3 ，都有 f x1 f x2 f x3 ，
所以 f 0 f 1 f ln a，所以1 1 a 1 a ln2 a a ln a a ， 22
C．关于点


2π 3
，0
对称
D．关于点


5π 12
，0
对称
【答案】D
【解析】由题意得
2π 2

π
，故
1 ，∴
f
x
cos 2x
，
∴
g
x

cos
2

x

π 6





cos

2
x

π 3




cos

2 ，b2
8，
∴双曲线的方程为 x2 y2 1．选 A． 28
6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． 4 2π
B． 2 6π
C． 4 π
D． 2 4π
【答案】D
【解析】由三视图可得，该几何体是一个三棱柱与一个圆柱的组合体(如图所示），
其体积V 2π 2 1 2 2 4π ．
又
f


2π 3


cos

2

2π 3

π 3


cos π
1
0，
f


5π 12


cos

2
5π 12

π 3


cos


π 2


0
，∴选项
C
不正确，选项
D
正确．选
D．
10．若 m ， n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，
理得 n ，故③正确；对于④，若 m ， n ， m∥n ，则 与 相交或平行，故④错
误．故选 B．
x2
11．已知椭圆
a2

y2 b2
1a b 0的短轴长为 2，上顶点为 A ，左顶点为 B ， F1 ， F2 分别是椭圆
的左、右焦点，且
△F1
当 a e 时，函数 f x在 0,1单调递增，
因为对区间0,1内的任意实数 x1 、 x2 、 x3 ，都有 f x1 f x2 f x3 ，
所以 f 0 f 0 f 1，故11 1 a ，所以 a 4 ，故 e a 4 ； 2
【答案】A
【解析】由 c 5 可得 c2 5a2 ，∴ a2 b2 5a2 ，故 b2 4 ．
a
a2
∴双曲线的渐近线方程为 y 2x ，由题意得 M c, 2c， N c, 2c，
∴ S△OMN

1 c 4c 2

20 ，解得 c2
10 ，∴ a2
4．正方形 ABCD 中，点 E ， F 分别是 DC ， BC 的中点，那么 EF （
1 1 A． AB+ AD
22
B．

1
AB

1
AD
22
C．

1
AB

1
AD
22
）
D．
1
AB

1
AD
22
【答案】D
【解析】因为点
4．
即 1 1 的取值范围为1，4．选 D．
PF1 PF2
12．已知函数
f
x
1 ax2 2
x 1ex a R 若对区间
0，1 内的任意实数 x1 、 x2 、 x3 ，都有
f x1 f x2 f x3 ，则实数 a 的取值范围是（ ）
27．5 3，0．根据直方图，这 320 名学生中每周的自习时间不足 22．5 小时的人数是（ ）
A．68
B．72
C．76
D．80
【答案】B
【解析】由频率分布直方图可得，320 名学生中每周的自习时间不足 22．5 小时的人数是
320 0．02．．0 07 2 5 72 人．选 B．

0
且
f
2
0
，排除
B、D，故选
A．
9．已知函数
f
x cos 2x
0,

π 2

的最小正周期为
π
，将其图象向右平移
π 6
个单位后
得函数 g x cos 2x 的图象，则函数 f x的图象（ ）
A．关于直线 x 2π 对称 3
B．关于直线 x π 对称 6
2
2
∴ a 2 ， c
3 ，∴ 1 1 PF1 PF2 PF1 PF2 PF1 PF2 PF1
2a 4 PF1

4
，
PF1 2 4 PF1
又2
3 PF1 2
3 ，∴1 PF1 2 4 PF1
4 ，∴1
1 PF1

1 PF2
E
是
CD
的中点，所以
EC

1
AB
，点
F
是
BC
的中点，所以
CF

1
CB


1
AD
，
2
2
2
所以
EF

EC

CF

1
AB

1
AD
，故选
D．
22
x2
5．已知双曲线
a2

y2 b2
1a
0,b 0是离心率为
1 i
A． 1
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【解析】由题意，复数
z

ai 1 i

a i1 i 1 i1 i

a
1 a
2
1i
为纯虚数，
则 a 1 0 ，即 a 1 ，故选 C．
2．若
cos

3π 2



1 3
，且

π 2



即 1 a ln2 a a ln a 1 a 1 0 ，
2
2
令 g a 1 a ln2 a a ln a 1 a 1 ， 1 a e，
2
2
所以 ga 1 ln2 a 1 0 ，所以函数 g a在 1, e上单调递减， 2
所以 g a g 1 0 ，所以当1 a e 时，满足题意． max
8．函数 y x3 的图象大致是（ ） 3 x4 1
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，函数满足 f x x3 x3 f x， 3 x4 1 3 x4 1
所以函数 f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除 C，
又由
f

1 2

5 ，左焦点为 F ，过点 F 与 x 轴垂直的直线与
双曲线的两条渐近线分别交于点 M ， N ，若 △OMN 的面积为 20，其中 O 是坐标原点，则该双曲线
的标准方程为（ ）
A． x2 y2 1 28
B． x2 y2 1 48
C． x2 y2 1 82
D． x2 y2 1 84
此卷只装订不密封 姓名
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考场号
座位号
绝密 ★ 启用前
2018 年普通高等学校招生全国统一考试最后一卷
文科数学
注意事项： 1、本试卷分第 Ⅰ卷（选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的
姓名、考生号填写在答题卡上。 2、回答第 Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3、回答第 Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的 。
1．已知 a R ， i 为虚数单位．若复数 z a i 是纯虚数．则 a 的值为（ ）
① m∥n ， m n ；②∥ ， m ， n m / /n ；
③∥ ， m∥n ， m n ；④若 m ， n ， m∥n ，则∥ ；
则以上说法中正确的有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
，则 3x 2 y 的最大值为__________．
3x y 4
【答案】5
【解析】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，
设目标函数 z 3x 2 y ，化简得 y 3 x z ， 22
由图象可知，当直线 y 3 x z 过点 A 点时，直线在纵轴的截距最大， 22
AB
的面积为
2
2
3 ，点 P 为椭圆上的任意一点，则
1 PF1

1 PF2
的取值范围
为（ ）
A． 1，2
B． 2，3
C． 2，4
D． 1，4
【答案】D
【解析】由已知得
2b

2
，故
b

1；∵
△F1
AB
的面积为
2
2
3
，
∴ 1 a cb 2 3 ，∴ a c 2 3 ，又 a2 c2 a ca c b2 1 ，
π 2
，则
sin
2a
的值为（
）
A． 4 2 9
B． 2 2 9
22
C．
9
42
D．
9
【答案】A
【解析】由题意，根据诱导公式得
cos

3π 2



sin

1 3

sin


1 3
，
又因为 sin 0 ，所以 π 0 ，所以 cos 2
2
，
2
3
所以 sin 2

2 sin
cos

2



1 3


22 3


42 9
，故选
A．
3．某高校调查了 320 名学生每周的自习时间(单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中
自习时间的范围是17．5 3，0，样本数据分组为17．5 ，20， 20，22．5， 22．5 ，25， 25，27．5，
D． 4.9
② k 2 ， S 2 2 = 8 ，不满足条件，继续运行； 33
③ k 3 ， S 8 + 2 = 19 ，不满足条件，继续运行； 34 6
④ k 4 ， S 19 2 107 ，不满足条件，继续运行； 6 5 30
⑤ k =5 ， S = 107 + 2 = 117 =3．9 ，满足条件，停止运行，输出 S =3．9 ．选 C． 30 6 30
综上所述， a 1, 4；故选 C．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分 。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须 作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答 。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
xy0
13．设变量
x
，
y
满足约束条件

x

y

0
因为对区间0,1内的任意实数 x1 、 x2 、 x3 ，都有 f x1 f x2 f x3 ， 所以 f 1 f 1 f 0，所以 1 a 1 a 1，
22
故 a 1 ，与 a 1 矛盾，故 a 1 不成立．
当1 a e 时，函数 f x在0,ln a 单调递增，在 ln a,1单调递减．
A． 1, 2
B．e, 4
C． 1, 4
D．1, 2e, 4
【答案】C
【解析】由题得 f x ax ex x 1ex ax xex x a ex ，
当 a 1 时， f x 0 ，所以函数 f x在0,1单调递减，
7．执行如下图的程序框图，若输入 a 的值为 2，则输出 S 的值为（ ）
A． 3.2
B． 3.6
【答案】C
【解析】运行框图中的程序可得
开始
输入a
S 1, k 1
SS a k 1
k≤4？
是
k k 1
否 1， S 1 2 2 ，不满足条件，继续运行； 2
2x
，
∴

π 3
，∴
f
x
cos

2x

π 3

．
∵
f

2π 3


cos

2
2π 3

π 3


cos
5π 3

1 2

1 ，
f

π 6


cos

2

π 6

π 3


cos
2π 3


1 2

1 ，
∴选项 A，B 不正确．