--2021年春人教版数学九年级中考专题复习课件 等腰三角形

【对应训练1】如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线， DE∥BC交AC于点E，若AC＝15 cm，AE＝7 cm，则DE＝__8_cm.
等边三角形 【例2】(2020·营口)如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC， 垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点， 连接CE，EF，则CE＋EF的最小值为_3___3_．
∴EC＝4，AB＝AC＝12，∴AE＝ AC2＋EC2 ＝ 122＋42 ＝4 10 ， ∴DP＝PA＝PE＝12 AE＝2 10 ，∵EF＝13 AF，AP＝PE， ∴PF＝EF＝12 PE＝ 10 ，∵∠DPF＝90°，∴DF＝ DP2＋PF2 ＝5 2
A．3
3 4
B．3 8 3
C．
3 4
D．
3 8
20．(2020·眉山)如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，
边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E. 若△ABD的周长为26，则DE的长为___1_45_．
21．(2020·襄阳)在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， 点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE. (1)特例发现：如图①，当AD＝AF时， ①求证：BD＝CF； ②推断：∠ACE＝90°； (2)探究证明：如图②，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并 说明理由；
∴△ADM∽△AEC，∴∠ACE＝∠AMD＝90°，
即∠ACE的度数为定值90°
(3)连接EK.∵∠BAC＋∠ACE＝180°，∴AB∥CE，∴AECB ＝AEFF ＝13 ， 设EC＝a，则AB＝AC＝3a，AK＝3a－136 ，∵DA＝DE，DK⊥AE， ∴AP＝PE，∴AK＝KE＝3a－136 ，∵EK2＝CK2＋EC2， ∴(3a－136 )2＝(136 )2＋a2，解得a＝4或0(舍去)，
备考集训
1．(2020·宜昌)如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH， 我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线． 下列说法正确的是( A) A．l是线段EH的垂直平分线 B．l是线段EQ的垂直平分线 C．l是线段FH的垂直平分线 D．EH是l的垂直平分线
2．(2020·青海)等腰三角形的一个内角为 70°， 则另外两个内角的度数分别是( D ) A．55°，55° B．70°，40°或 70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或 70°，40°
∴△BDF≌△CEF(AAS)，∴BF＝CF，∴∠FBC＝∠FCB， ∴∠DBC＝∠ECB，∴AB＝AC，∴△ABC 是等腰三角形
18．(2020·鸡西)等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝45°，以AC为腰 作等腰直角三角形ACD，∠CAD为90°，请画出图形，并直接写出点B到直线 CD的距离．
解：本题有两种情况：如图①，过点 A 作 AE⊥CD 于点 E， ∵△ACD 是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，∴∠ACD＝∠BAC， ∴AB∥CD，∴点 B 到直线 CD 的距离等于点 A 到 CD 的距离，
∴AE＝AC·sin
45°＝4×
2 2
＝2
2
，∴点 B 到直线 CD 的距离为 2
2
A.6 3 B．9 C．6 D．3 3
15．(2020·南京)如图，线段 AB，BC 的垂直平分线 l1，l2 相交于点 O， 若∠1＝39°，则∠AOC＝__7_8_°_．
16．(2020·绍兴)如图，已知边长为 2 的等边三角形 ABC 中， 分别以点 A，C 为圆心，m 为半径作弧，两弧交于点 D，连结 BD. 若 BD 的长为 2 3 ，则 m 的值为2__或__2___7__．
(3)拓展运用：如图③，在(2)的条件下，当AEFF ＝13 时， 过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K， 若CK＝136 ，求DF的长．
解：(1)①证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，∵AD＝AF， ∴∠ADF＝∠AFD，∴∠ADB＝∠AFC， ∴△ABD≌△ACF(AAS)，∴BD＝CF ②∠ACE＝90°
10．(2020·十堰)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线． 若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为___1_9．
11．(2020·黄冈)已知，如图，在△ABC中，点D在边BC上， AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝__4_0度．
12．(2020·台州)如图，等边三角形纸片ABC的边长为6， E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向 各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是___6_．
6．(2020·临沂)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB， 则∠BCD＝( D ) A．40° B．50° C．60° D．70°
7．(2020·南充)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图，在等腰△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，
∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则 CD＝(C )
A．a＋2 b
等腰三角形
考点突破
等腰三角形的性质与判定 【例1】(2020·聊城)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC 边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是( B ) A.120° B．130° C．145° D．150° 【思路引导】由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝65°，由平行线的性质得 出∠CDE＝∠B＝65°，再由三角形的外角性质即可得出答案．
；
如图②，AB，CD 交于点 E，∵△ACD 等腰直角三角形，
∴∠ACD＝∠BAC＝45°，∴∠AEC＝90°，
∴AE＝AC·sin
45°＝4×
2 2
＝2
2
，∴BE＝AB－AE＝4－2
2
，
∴点 B 到直线 CD 的距离为 4－2 2 . 综上所述：点 B 到 CD 的距离为 2 2 或 4－2 2
19．(2020·荆门)如图，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°， BC＝2 3 ，D 为 BC 的中点，AE＝14 AB，则△EBD 的面积为( B )
【对应训练2】(2020·宜昌)如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 (B，C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置).测得的相关数据为： ∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝____4米8 ．
线段垂直平分线 【例3】(2020·益阳)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D， DC平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为( B) A.25° B．30° C．35° D．40°
(2)∠ACE的度数为定值90°，理由：过点A作AM⊥BC于点M， 则∠AMD＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAM＝45°，
在Rt△AMC中
，AAMC
＝cos
∠CAM＝
2 2
，
同理∠DAE＝45°，AADE
＝
2 2
，∴AAMC
＝AADE
，
∠CAM－∠FAM＝∠DAE－∠FAM，即∠CAE＝∠MAD，
【对应训练3】(2020·枣庄)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB 于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为( B ) A.8 B．11 C．16 D．17
【例4】(2020·齐齐哈尔)等腰三角形的两条边长分别为3和4， 则这个等腰三角形的周长是__1_0_或__1_1__． 【思路引导】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
13 ． (2020· 绵 阳 ) 在 螳 螂 的 示 意 图 中 ， AB∥DE ， △ ABC 是 等 腰 三 角 形 ， ∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝( ) C A．16° B．28° C．44° D．45°
14．(2020·河南)如图，在△ABC 中，AB＝BC＝ 3 ，∠BAC＝30°， 分别以点 A，C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点 D， 连接 DA，DC，则四边形 ABCD 的面积为( D )
B．a－2 b
C．a－b D．b－a
8．(2020·滨州)在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°， 则∠A的大小为__8_0_°．
9．(2020·青海)已知a，b，c为△ABC的三边长． b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解， 则△ABC的形状为_等__腰_三角形．
17．(2020·广东)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点， BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F. 求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵∠ABE＝∠ACD，∴∠DBF＝∠ECF，
∠BFD＝∠CFE， 在△BDF 和△CEF 中，∠DBF＝∠ECF，
BD＝CE，
3．(2020·铜仁)已知等边三角形一边上的高为 2 3 ，则它的边长为( C ) A．2 B．3 C．4 D．4 3
4．(2020·福建)如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5， 则CD等于( B ) A．10 B．5 C．4 D．3
5．(2020·自贡)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°， 以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD， 则∠ACD的度数是( D) A．50° B．40° C．30° D．20°