2022-2023人教A版高二数学上学期同步讲义拓展三：与圆有关的轨迹问题

拓展三：与圆有关的轨迹问题
知识点1 5种定义形式的圆
1、“定义圆”：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合.
数学语言描述为：在平面内，{|}M MA r =，其中M 为动点，A 为定点，0r >为定值.
2、“斜率圆”：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合（除去定点所在垂直于x 轴的直线与曲线的交点）.
数学语言描述为∶在平面内，{|1}MA MB M k k ⋅=-，其中M 为动点，A ，B 为定点.且点M 的横坐标不等于A ，B 的横坐标.
3、“平方圆”：在平面内，到两定点距离的平方和为定值的点的集合.
数学语言描述为：在平面内，2
2
{|}M MA MB λ+=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值.
注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221
()()[()()]2224
a c
b d x y a
c b
d λ++-
+-=--+-，此时221
[()()]2
a c
b d λ>-+-.
4、“向量圆”：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的集合.
数学语言描述为∶在平面内，{|}M MA MB λ⋅=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值注：若
(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]224
a c
b d x y a
c b
d λ++-
+-=+-+-，此时221
[()()]4
a c
b d λ>--+-.
特别地,若A ，B 为定点，且0MA MB ⋅=，则点M 的轨迹是以AB 为直径的圆
拓展：“角度圆”：在平面内，与两定点所成角为定值的点的集合.（角度可用向量的夹角公式表示） 5、“比值圆”（阿波罗尼斯圆）：在平面内，到两定点距离之比为定值的点的集合. 数学语言描述为：{|
}MA
M MB
λ=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值，λ>0且λ≠1. 注：当1λ=时，M 的轨迹是线段AB 的垂直平分线. 6、这些圆彼此之间的联系：
（1）斜率圆可以看成向量圆的特例，即两向量互相垂直时可以转化为两直线斜率之积等于-1,需要注意斜率不存在的情形.也就是说数量积为零比斜率之积为-1更一般. （2）比值圆与平方圆是一样的，都是用两点间距离公式求解.
知识点2 注意“轨迹”与“轨迹方程”的区别
1、“轨迹”是图形，“轨迹方程”是方程.
2、求轨迹方程后要检验
求轨迹方程后一定要注意检验轨迹的纯粹性和完备性，在所得的方程中删去或补上相应的特殊点，以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应关系.
考点一 直接法求轨迹
解题方略：
直接法是指将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式，然后化简而求出动点轨迹方程的一种方法．此法的一般步骤∶建系、设点、列式、化简、限制说明.
注：（1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等） （2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。

（3）注意“多点”和“少点”，一般情况下，斜率和三角形顶点等约束条件
（1）“斜率圆”1．已知点()2,0A -，()2,0B ，()4,3C ，动点P 满足PA PB ⊥，则PC 的取值范围为（ ） A ．[]2,5
B ．[]2,8
C ．[]3,7
D ．[]4,6
【解析】由题设，P 在以||AB 为直径的圆上，令(,)P x y ，则224x y +=(P 不与,A B 重合)， 所以PC 的取值范围，即为()4,3C 到圆224x y +=上点的距离范围，
又圆心(0,0)到C 的距离5d =，圆的半径为2， 所以PC 的取值范围为[,]d r d r -+，即[]3,7. 故选：C
2．已知圆22:(1)(16C x y -++=和两点()()0,0,A m B m -､，若圆C 上存在点P ，使得AP BP ⊥，则m 的最大值为（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【解析】因为两点()()0,0,A m B m -､，点P 满足AP BP ⊥，故点P 的轨迹1C 是以,A B 为直径的圆（不包含,A B ），
故其轨迹方程为()222
0x y m x +=≠，
又圆22:(1)(16C x y -++=上存在点P ，故两圆有交点，
又13CC =，则434m m -≤≤+，
解得[]1,7m ∈，则m 的最大值为7. 故选：C.
3．已知直线1:0l kx y +=过定点A ，直线2:20l x ky k -+=过定点B ，1l 与2l 的交点为C ，则AC BC +的最大值为___________.
【解析】由1:0l kx y +=，则1l 过定点(0,0)A ，
由2:(2)0l x k y +-=，则2l 过定点(2)B -，
显然11()0k k ⨯+⨯-=，即1l 、2l 相互垂直，而1l 与2l 的交点为C ，
所以C 的轨迹是以
AB 为直径的圆，且圆心为(
令AC x =，则BC 0x ≤≤222()12212(12)24AC BC x x +=+++-=，
当且仅当
x ，即x
所以AC BC +的最大为
故答案为：4．已知点()2,0P ，动点Q 满足以PQ 为直径的圆与y 轴相切，过点P 作直线()1250x m y m +-+-=的垂线，垂足为R ，则QP QR +的最小值为___________.
【解析】由动点Q 满足以QP 为直径的圆与y 轴相切可知：动点Q 到定点P 的距离等于动点Q 到直线2x =-的距离，故动点Q 的轨迹为28y x =，
由()1250x m y m +-+-=可得()5m 20x y y --++=，
50
2x y y --=⎧⎨
=-⎩
解得D ()32，-，即直线()1250x m y m +-+-=过定点D ()32，-， 又过P 作直线()1250x m y m +-+-=的垂线，垂足为R ，
所以R 点在以PD 为直径的圆上，直径式方程为()()()2320x x y y --++=，
化为标准方程为：()2
255124x y ⎛⎫-++= ⎪⎝
⎭，圆心512E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,半径r =过Q 做QM 垂直准线，垂足为M ，过E 做EG 垂直准线，垂足为G
则92QP QR QM QE EG +≥+==
5．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于
点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||23AB =，则||PA PB +的最大值为（ ）A ．32
B ．82
C ．52
D ．822+
【解析】由题意得圆C 的圆心为()1,1--，半径2r =，
易知直线1:310l mx y m --+=恒过点()3,1，直线2:310l x my m +--=恒过()1,3，且12l l ⊥， ∴
点P 的轨迹为22(2)(2)2x y -+-=，圆心为()2,2，
若点D 为弦AB 的中点,位置关系如图：
∴2PA PB PD +=.
连接CD ，由||AB =2
43
1CD .
∴max max
11PD
PC CD =+==，
∴max max
||22PA PB PD
+==.
故选：D. （2）“向量圆”
6．已知平面向量(2,0)a =，(0,1)b =，且非零向量c 满足(2)()a c b c -⊥-，则c 的最大值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2【解析】
设(,)c x y =，则2(22,2),(,1)a c x y b c x y -=---=--，
()()()()22(2)()222122220a c b c x x y y x x y y -⋅-=-⋅-+-⋅-=-+-=，
整理得2
2
111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点(),x y 在以11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭则2c x y =+()0,0和
圆上点(),x y 之间的距离，
又()0,0在圆2
2
111222x y ⎛
⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，故c 的最大值是2=
故选：B.
7．已知圆22:4C x y +=，直线l 满足___________（从∶l 过点()4,2，∶l 斜率为2，两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C 交于A ，B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程. 【解析】选择条件∶，设点(,)M x y ，令定点()4,2为P ，
因直线l 过点P ，且与圆C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，当直线l 不过圆心C(0,0)时，则CM l ⊥，有
0CM PM ⋅=，
当直线l 过圆心C 时，圆心C 是弦AB 中点，此时0CM =，等式0CM PM ⋅=成立，
因此有0CM PM ⋅=，而(,),(4,2)CM x y PM x y ==--，于是得(4)(2)0x x y y -+-=，即22(2)(1)5x y -+-=， 由2
2
22
(2)(1)54
x y x y ⎧-+-=⎨+=⎩解得1102x y =⎧⎨=⎩，2
28565x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，而直线2x =22(2)(1)5x y -+-=
相切的切点(2在圆C 内，
由点M 在圆C
内，得825x <
且6
25
y -<<， 所以AB 中点M 的轨迹方程是：
22(2)(1)5x y -+-=
(825x <且6
25
y -<<).选择条件∶，设点(,)M x y ， 因l 斜率为2，且与圆C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，当直线l 不过圆心C 时，则CM l ⊥， 则M 的轨迹是过圆心(0,0)C 且垂直于l 的直线在圆C 内的部分（除点C 外）， 当直线l 过圆心C 时，圆心C 是弦AB 中点，即点C 在点M 的轨迹上，
因此，M 的轨迹是过圆心(0,0)C 且垂直于l 的直线在圆C 内的部分，而过圆心(0,0)C 且垂直于l 的直线为
1
2
y x =-，
由22124y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩
解得x y ⎧=⎪
⎪⎨⎪=⎪⎩
或x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩M 在圆C
内，则有x << 所以AB 中点M
的轨迹方程是：1(2y x x =-<<.
（3）“平方圆”
8．设(2,0),(2,0)A B -，O 为坐标原点，点P 满足22||||16PA PB +≤，若直线60kx y -+=上存在点Q 使得π
4
PQO ∠=
，则实数k 的取值范围为（ ） A
．⎡⎢⎣⎦
B
．14,,22⎛⎡⎫
-∞-+∞ ⎪⎢⎝
⎦⎣⎭
C
．5,,2⎛⎡⎤
-∞
+∞ ⎢⎥
⎝⎦⎣⎦ D ．⎡⎢⎣⎦
【解析】设()P x y ，， 22||16PA PB +≤，
()()2
2
222216x y x y ∴+++-+，即224x y +． ∴点P 的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．
若直线60kx y -+=上存在点Q 使得π4
PQO ∠=
， 则PQ 为圆224x y +=的切线时PQO ∠最大，如图，
22
sin 2
OP PQO OQ
OQ ∴∠=
=
，即22
OQ ． ∴圆心到直线60kx y -+=的距离22d =
，
142k ∴-
或142
k ． 故选：B ．
9．直线()():50l y k x k =-≠与圆22:16O x y +=相交于A ，B 两点，O 为圆心，当k 变化时，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．
【解析】设(),M x y ，易知直线恒过定点()5,0P ，再由OM MP ⊥，得2
2
2
OP OM MP =+，∶
()2
2
2
2
525x y x y ++-+=，整理得2
252524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
． ∶点M 应在圆内且不在x 轴上，∶所求的轨迹为圆内的部分且不在x 轴上．
解方程组2
2
22
525,2416,x y x y ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+=⎩
得两曲线交点的横坐标为16
5x =，故所求轨迹方程为
2
2525160245x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<< ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭． （4）“比值圆”（阿波罗尼斯圆）
10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ，点P 满足1
2=
PA PB
．则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）A ．4π B ．8π C ．12π
D ．16π
【解析】设点(),P x y ，则
1
2
PA
PB =
化简整理得2280x y x ++=，即()2
2416++=x y ， 所以点P 的轨迹是以(4,0)-为圆心，4为半径的圆， 所以所求图形的面积为16π， 故选：D
11．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满
足
||
||
PA
PB =PAB △面积的最大值是（ ） A
B ．2
C ．
D ．4
【解析】设经过点A ，B 的直线为x 轴，AB 的方向为x 轴正方向，线段AB 的垂直平分线为y 轴，线段AB
的中点O 为原点，建立平面直角坐标系.则()1,0A -，()10
B ,． 设(),P x y ，∶
2PA PB
=，∶
()()2
2
2
2
121x y x y ++=-+，
两边平方并整理得22610x y x +-+=，即()2
238x y -+=．
要使PAB △的面积最大，只需点P 到AB （x 轴）的距离最大时，
此时面积为1
22
⨯⨯=
故选：C.
12．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德､欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P 到两个定点的距离之比为常数λ（0λ>，且1λ≠），那么点P 的轨迹为圆，这就是著名的
阿波罗尼斯圆.若点C 到()()1,0,1,0A B -C 到直线280x y -+=的距离的最小值为（ ）
A ．
B C ．D
【解析】设(,)C x y ，则||
||
CA CB ==22(2)3x y -+=，
所以点C 的轨迹为以()2,0D 为圆心，r =D 到直线280x y -+=的距离
d =
=
所以点C 到直线280x y -+=的距离的最小值为 故选：A
13．已知圆22:410C x y x +++=，过圆外一点P 作圆C 的切线，切点为A ，若|||PA PO =（O 为坐标原点），则||PC 的最小值为（ ）
A ．4
B ．4
C ．4
D ．4
【解析】圆22:410C x y x +++=，化简可得22(2)3x y ++=，所以(2,0)C -
一点P 作圆C 的切线，切点为A ，所以PAC △为直角三角形，22
2||PA PC AC =-，又由|||PA PO =，
可求得动点P 的轨迹方程，设11(,)P x y ，则222211121(2)2()x y x y -++=+，可得22
11(2)5x y -+=，点P 在
圆22
11(2)5x y -+=上，圆心为(2,0)，则||PC 的最小值为：min ||4PC =
=
故选：D.
14．已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足
:2:1DB DC =，则三角形ABD 面积的最小值是（ ）A ．
(
)
4313
-
B ．
(
)
4313
+ C ．
433 D ．3
3
【解析】以BC 的中点O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则(A ，()1,0B -，()1,0C ，
设(),D x y ，因为:2:1DB DC =，所以()()2
2
2
2
1414++=-+x y x y ，得2
251639x y ⎛
⎫-+= ⎪⎝
⎭，
所以点D 的轨迹为以5,03⎛⎫
⎪⎝⎭为圆心，以43为半径的圆，当点D 距离直线AB 距离最大时，ABD △面积最大，
已知直线AB 0y -，2AB =，点D 距离直线AB 的最小距离为：
4433
d r -=
=，所以ABD △面积的最小值为)
1
4421233
ABD S ⎫=⨯⨯=⎪⎪⎝⎭△.
故选：A
15．已知ABCD 是矩形，且满足3,4AB BC ==.其所在平面内点
,M N 满足：3,2BM MC BN NC ==，则AD MN →→
⋅的取值范围是（ ）
A ．4080,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．20,403⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．[]44,44-
D ．[]40,40-
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,4,0,4,3,0,3B C D A
设(),M x y ，由3BM MC =，所以=
2
2
1924x y ⎛⎫++= ⎪⎝
⎭，记为圆1C ，
设(),N a b ，由2BN NC =，所以=
22166439a b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，记为圆2C ,即为22166439x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 两圆圆心距为：1116135||326C C =+=，半径和为：123825236
r r +=+=，所以1112||C C r r >+，则两圆相离， 如图所示，对圆1C ，令y =0，得：()()2,0,1,0E F -，
令圆2C ，令y =0，得：()8,0,8,03G H ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 所以5,03FG →⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()10,0EH →=，又()4,0AD →=， 结合平面向量数量积的定义可知，AD MN →→
⋅的最小值为()5204,0,033F D G A →→⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭⋅， AD MN →→⋅的最大值为()()4,010,040A H D E →→
=⋅=⋅. 故选：B.
考点二 相关点代入法
解题方略：
一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或者两个多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻求代换关系。

1、求谁设谁，设所求点坐标为(,)x y
2、所依赖的点称之为“参数点”，设为(,)
i i x y i=1,2..)（或(,)a b ，00(,)x y 等 3、“参数点”满足某个（些）方程，可供代入
4、寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值。

5、代入方程，消去参数值 注：已知圆上有一动点，求与该动点有关的动点轨迹方程也是常见的题型，这类问题的解法相对比较固定，都是寻找所求动点坐标与圆上动点坐标之间的关系求解的。

16．已知点M 在圆224x y +=上运动，()4,0N ，点P 为线段MN 的中点．(1)求点P 的轨迹方程;
(2)求点P 到直线34260x y +-=的距离的最大值和最小值．
【解析】(1)设点(,)P x y ，()00,M x y ，
因为点P 是MN 的中点，所以004,22
x y x y +==， 则024x x =-，02y y =，即()24,2M x y -，
因为点M 在圆224x y +=上运动，
则有22(2)1x y -+=，
所以点P 的轨迹方程为22(2)1x y -+=；
(2)由（1）知点P 的轨迹是以(2,0)Q 为圆心，以1为半径的圆，
点Q 到直线34260x y +-=的距离4
d =，
故点P 到直线34260x y +-=的距离的最大值为415+=，最小值为413-=．
17．已知点P 在圆22:2410C x y x y ++-+=上运动，点()3,0Q ，线段PQ 的中点M 的轨迹为曲线Γ.
(1)求曲线Γ的方程；
(2)过点()2,3N 是否存在直线l 与曲线Γ有且只有一个交点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)设(),M x y ，则()23,2P x y - P 在圆C 上
()22(23)4223810x y x y ∴-++--+=，整理得：22(1)(1)1x y -+-=
∴曲线Γ的方程为22(1)(1)1x y -+-=.
(2)当l 斜率不存在时，:2l x =符合条件；
当l 斜率存在时，设直线l 方程为()23y k x =-+1=，解得34
k =. ∴满足条件的直线l 存在，直线l 的方程为：2x =或33y x 42=+. 18．设定点()3,4M -，动点N 在圆224x y +=上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P
的轨迹．【解析】设(),P x y ，()00,N x y ，根据中点公式得到：00
34x x y y =+⎧⎨=-⎩， 由22004x y +=，得()()22
344x y ++-=, 当,,O M N 共线时，不构成平行四边形
此时()()2234443x y y x ⎧++-=⎪⎨=-⎪⎩
得到两点912,55⎛⎫- ⎪⎝⎭和2128,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故答案为圆()()22344x y ++-=，除去两点912,55⎛⎫- ⎪⎝⎭和2128,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
19．已知点1,0A 和圆22:1O x y +=，动点P 在圆O 上，点Q 满足AP PQ =，记动点Q 的轨迹为曲线C ，则曲线C 与圆O 的位置关系为（ ）
A ．相交
B ．相离
C ．内切
D ．外切
【解析】由AP PQ =知：P 为线段AQ 的中点，设(,)Q x y ，则有1(
,)22x y P +， 而点P 在圆22:1O x y +=上，于是有221()()122
＝x y ++，整理得22(1)4x y ++=， 因此，曲线22:(1)4C x y ++=是以点()1,0B -为圆心，2为半径的圆，而||121BO ==-，
即曲线C 与圆O 内切于点A ，
所以曲线C 与圆O 内切.
故选：C
考点三 定义法
解题方略：
1、若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，就用定义直接求．
2、运用定义法求轨迹方程的一般步骤为∶
（1）定型，即研究动点轨迹的类型符合哪种常用曲线的定义；
（2）定位，即研究动点轨迹的中心位置、焦点所在的轴等等；
（3）定方程，即用待定系数法求轨迹方程；
（4）检查，即检查轨迹方程的完备性与纯粹性.
20．设A 为圆2220x y x +-=上的动点，PA 是圆的切线且||1PA =，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．22(1)4x y -+=
B ．22(1)2x y -+=
C ．22y x =
D ．22y x =-
【解析】圆2220x y x +-=可化为22(1)1x y -+=，由题意可得圆心(1,0)到P P 在
以(1,0)为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是22(1)2x y -+=．
故选：B ．
21．已知等腰三角形ABC 的底边BC 对应的顶点是()4,2A ，底边的一个端点是()3,5B ，则底边另一个端点C 的轨迹方程是___________
【解析】设(),C x y ，由题意知，||AB =
因ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，于是有||||CA AB ==C 的轨迹是以A 径的圆，
又点,,A B C 构成三角形，即三点不可共线，则轨迹中需去掉点B ()3,5及点B 关于点A 对称的点()5,1-， 所以点C 的轨迹方程为()()22
4210x y -+-=(去掉()()3,5,5,1-两点). 故答案为：()()22
4210x y -+-=(去掉()()3,5,5,1-两点)
22．若A ，B 是O ：224x y +=上两个动点，且2OA OB ⋅=-，A ，B 到直线l 40y +-=的距离分别为1d ，2d ，则12d d +的最大值是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【解析】圆O 的圆心为()0,0O ，半径为2.
2cos 4cos OA OB OA OB AOB AOB =⋅⋅∠=-∠⋅=，
1cos 2
AOB ∠=-， 由于[]0,AOB π∠∈，所以2cos 3AOB π∠=
. 设C 是AB 的中点，则cos 13OC OB π
=⋅=， 设(),C x y ，则221x y +=，即C 的轨迹为单位圆.
原点到直线l 的距离为00422
+-=， 所以圆221x y +=上的点到直线l 的距离2121,13d d -≤≤+≤≤.所以[]1222,6d d d +=∈，
所以12d d +的最大值是6.
故选：D
23．正三角形OAB 的边长为1，动点C 满足OC OA OB λμ=+，且221λλμμ++=，
则点C 的轨迹是（ ）
A ．线段
B ．直线
C ．射线
D ．圆 【解析】方法一：由题可知：==OA OB AB ，60AOB ∠=︒
111cos602
OA OB ∴⋅=⨯⨯︒=又OC OA OB λμ=+ ()2222222OC OA OB OA OA OB OB λμλλμμ∴=+=+⋅+221λλμμ=++=所以21OC =，即1OC = 所以点C 的轨迹是圆. 方法二：由题可知：==OA OB AB ，60AOB ∠=︒
如图，以O 为原点OB 为x 轴，过O 点与OB 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系， 所以
13(,),(1,0)22
A B 设(,)C x y ，11((1,0)()22OC OA OB λμλμλμ∴=+=+=+ 12x x y y y λμμλ⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩
又221λλμμ++= 所以22
1y y x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭ 整理得：221x y +=
所以点C 的轨迹是圆.
故选：D.
考点四 几何法
解题方略：
1、利用圆的几何性质求解，通过条件想办法确定圆心和半径
2、三角形中的几何性质
其中最常用到的几何性质有：直角三角形斜边中线定理、三角形的中位线定理、等腰三角形的三线合一等.
3、四边形中的几何性质
对于平面四边形，若两个对角互补（或一个外角等于它的内对角），则四点共圆，这一性质是平面四边形中的常用性质.
24．已知圆221x y +=，点1,0A ，ABC ∆内接于圆，且60BAC ∠=︒，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是（ ）
A ．221
2x y += B ．2214
x y += C ．221122x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭ D ．221144x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭【解析】
设BC 中点为D ，
圆心角等于圆周角的一半，60BAC ∠=︒，
60BOD ∴∠=，
在直角三角形BOD 中，由1122
OD OB ==， 故中点D 的轨迹方程是：2214
x y +=， 如图，由BAC ∠的极限位置可得，14x <
. 故选：D
25．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：221x y +=，点()2,0B ，过动点P 引圆O 的切线，切点为T .若
PT ，则PB 长的最大值为（ ）
A ．2
B ．2-
C ．4+
D ．4【解析】设(,)P x y ，
因为PT 与圆相切，T 为切点，PT ， 故22|2|PT PB =， 所以22|12|PO PB -=，
所以222212(2)2x y x y +-=-+，
整理得22(4)7x y -+=，
所以P 的轨迹是以(4,0)(2,0)B 在圆内，
所以PB 长的最大值为2A ．
26．过圆()22:11C x y -+=外一点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B .若∶PAB 为等边三角形，则过D (2，1)的直线l 被P 点轨迹所截得的最短弦长为________.
【解析】由题意知()1,0C ，连接PC ，因为∶PAB 为等边三角形，所以∶APC ＝30°，所以12sin 30CP =
=，所以P 点轨迹的方程为()2214x y -+=.因为()2
221124-+=<，所以点D (2，1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部.
连接CD ，结合图形可知，当l 与CD 垂直时，l 被圆()2214x y -+=所截得的弦长最短，最短弦长为
==故答案为：22
27．已知圆229:4
O x y +=，圆22:()(1)1M x a y -+-=，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，
切点分别为A ，B ，使得π3APB ∠=
，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[
B ．[
C ．
D ．[[3,15]
【解析】由题可知圆O 的半径为32
，圆M 上存在点P ，过点P 作圆 O 的两条切线， 切点分别为A ，B ，使得60APB ∠=︒，则30APO ∠=︒， 在Rt PAO △中，3PO =，
所以点 P 在圆229x y +=上，
由于点 P 也在圆 M 上，故两圆有公共点.
又圆 M 的半径等于1，圆心坐标(),1M a ，
3131OM -≤≤+∴，
∶24≤，∶a ∈[[3,15].
故选：D.
28．已知圆C ：x 2+y 2﹣8x ﹣6y +F ＝0与圆O ：x 2+y 2＝4相外切，切点为A ，过点P （4，1）的直线与圆C 交于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ．
（1）求点Q 的轨迹方程；
（2）若|AQ |＝|AP |，点P 与点Q 不重合，求直线MN 的方程及∶AMN 的面积．
【解析】（1）圆C 的标准方程为22(4)(3)25x y F -+-=-，
∴
圆心(4,3)C
由圆C 与圆O
216F =，
∴圆22:(4)(3)9C x y -+-=，
又()()22
441349-+-=<，则点(4,1)P 在圆C 内，
弦MN 过点P ，Q 是MN 的中点，
则CQ MN ⊥，
∴点Q 的轨迹是以CP 为直径的圆， 其方程为22(4)(2)1x y -+-=；
（2）线段OC 与圆O 的交点为A ，
由22344
y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得86(,)55A ， 若||||AQ AP =，
则P ，Q 是以点A 为圆心，AP 为半径的圆与点Q 的轨迹的交点， 由22228686()()(4)(1)5555x y -+-=-+-，与22(4)(2)1x y -+-=，
作差可得3130x y +-=，
即直线MN 的方程为3130x y --=，
∴点(4,3)C 到直线MN
的距离d =
||MN =，
点A 到直线MN
的距离246|13|h +-=AMN ∴
的面积1||2S MN h =⨯ 29．若圆226x y +=上的两个动点,A B 满足22AB =点M 在圆2216x y +=上运动，则MA MB +的最小值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【解析】解析由226x y +=
可知圆心为坐标原点，半径为r =
AB =AB 的
距离2
d =， 设AB 的中点为N ，则：2ON d ==，所以N 点在以原点为圆心，
以12r =为半径的圆上，所以N 点的轨迹方程为224x y +=因为N 为AB 的中点，
所以2+=MA MB MN
min min 24MA MB MN +==，因为点M 在圆2216x y +=上运动，圆2216x y +=的半径24r =， 所以min min 24MA MB
MN +==. 故选：C. 30．如图，P 为圆O ：x 2+y 2＝4外一动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，∶APB ＝120°，直线OP 与
AB 相交于点Q ，点M （3|MQ |的最小值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．332
D ．433 【解析】过点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，∶APB ＝120°，
由圆与切线的平面几何性质知，∶APO ＝60°，又|OA |＝2，则可得|OP |
在直角APO △中，AQ OP ⊥，由OAQ
OPA 得2OA OQ
OP ==∶Q 点的轨迹是以O 径的圆，方程为x 2+y 2＝3；
|MQ |的最小值即为|OM |﹣r
故选：A ．
31．已知平面直角坐标系内一动点P ，满足圆()22:41C x y -+=上存在一点Q 使得45CPQ ∠=︒，则所有满足条件的点P 构成图形的面积为（ ）
A ．34π
B ．π
C ．32π
D ．2π
【解析】当PQ 与圆C 相切时，45CPQ ∠=，这种情况为临界情况，当P 往外时无法找到点Q 使45CPQ ∠=，
当P 往里时，可以找到Q 使45CPQ ∠=，故满足条件的点P 形成的图形为大圆（包括内部），如图，
由圆()2
2:41C x y -+=，可知圆心()4,0C ，半径为1，则大圆的半径为2，
∶所有满足条件的点P 构成图形的面积为22π
π=. 故选：D.。