第9讲 因式分解(一)

第九讲 因式分解（一）

知识模块一、因式分解的概念 知识梳理：

因式分解m 因式分解整式乘积+1=x (1+

1

x

)不是因式分解

例1．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）

A ．3ab (a +b )=3a 2b +3ab 2

B ．2x 2+4x =2x 2(1+

2x

) C ．a 2−4b 2=(a +2b )(

a −2

b ) D ．3x 2−6xy +3x =3x (x −2y )+3x

例2．（1）一个多项式分解因式的结果是(b 3+2)(2−b 3)，那么这个多项式是（ ）

A ．b 6−4

B ．4−b 6

C ．b 6+4

D ．−b 6−4

（2）若多项式x 2+ax +b 可因式分解为(x +1)(x −2)，求a +b 的值为 。

知识模块二、提公因式法

例3．(1)因式分解：8x3y2+12xy3z

=4xy2( )+4xy2( )

=4xy2( + ).

（2）因式分解：−14abc−7ab+49ab2c= 。

例4．（1）因式分解：2a(b+c)−3(b+c)

=( )• (b+c)− ( )• (b+c)

=( − )• (b+c)

（2）因式分解：3x(a−b)−6y(b−a)= ；

（3）因式分解：m(x+y)+n(x+y)−x−y= ；

（4）因式分解：x(a−b)2n+y(b−a)2n+1= ；

知识模块三、公式法

知识梳理

公式法：逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。（1）平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)；

（2）完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2−2ab+b2=(a−b)2；

（3）完全立方公式：a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3；a3−3a2b+3ab2−b3=(a−b)3；（4）立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)；

（5）立方差公式：a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)。

例5．（1）因式分解：4a2−9

=( )2−( )2

=( + ) ( − )

（2）因式分解：−a2+4ab−4b2

=−( )

=−[( )2−2( )•( )+( )2]

=−( )2；

（3）因式分解：−x3−2x2−x= ；

（4）因式分解：9a2(x−y)+4b2(y−x)= ；

（5）因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2= ；

例6．（1）分解因式：8x3+27y3+36x2y+54xy2；

（2）分解因式：a6+b6；

（3）分解因式：9x5−72x2y3。

知识模块四、分组分解法

知识梳理

一、分组分解法：

利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法

二、步骤

一般地，分组分解大致分为三步：

1．将原式的项适当分组；

2．对每一组进行处理(“提”或“代”)；

3．将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解。

在进行分组分解时，不仅要看到第二步，而且要看到第三步。

三、四项多项式常见的分组方法

1．两两分组：一般配合的基本方法是——提公因式法和平方差公式法；

2．一三分组：一般配合的基本方法是——完全平方公式法和平方差公式法。

例7．（1）分解因式：ab−ac+bc−b2；

（2）分解因式：x2−1+y2+2xy；

（3）分解因式：a3+a3b−a2b2−ab2。

例8．（1）分解因式：x3+y3+2x2+4xy+2y2；

（2）分解因式：4a2−b2+c2−9d2+4ac+6bd；

（3）分解因式：x3+x2+x−y3−y2−y。

随堂测试

1．下列从左到右的变形中，哪些是分解因式?哪些不是?

（1）24x2y=4x•6xy；

（2）(x+5)(x−5)=x2−25；

（3）x2+2x−3=(x+3)(x−1)；

（4）9x2−6x+1=3x(3x−2)+1；

（5）x2+1=x(x+1

x )。

2．（1）因式分解：a3−10a2+25a；（2）因式分解：4x2−64。

3．（1）因式分解：4b2c2−(b2+c2)2；（2）因式分解：16m4−72m2+81。

4．分解因式：xy−x−y+1。

5．分解因式：ac2+bd2−ad2−bc2.

参考答案

例题精选：

例1．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）

A．3ab(a+b)=3a2b+3ab2B．2x2+4x=2x2(1+2 x )

C．a2−4b2=(a+2b)(a−2b) D．3x2−6xy+3x=3x(x−2y)+3x

答案：C；

例2．（1）一个多项式分解因式的结果是(b3+2)(2−b3)，那么这个多项式是（）A．b6−4 B．4−b6C．b6+4 D．−b6−4

（2）若多项式x2+ax+b可因式分解为(x+1)(x−2)，求a+b的值为。

解：（1）选B；(b3+2)(2−b3)= (2+b3)(2−b3)=22−(b3)2=4−b6.

（2）x2+ax+b=(x+1)(x−2)=x2−x−2，所以a=−1，b=−2，a+=−3.

例3．(1)因式分解：8x3y2+12xy3z

=4xy2( )+4xy2( )

=4xy2( + ).

（2）因式分解：−14abc−7ab+49ab2c= 。

解：（1）8x3y2+12xy3z

=4xy2(2x2)+4xy2(3yz)

=4xy2(2x2+3yz).

（2）−14abc−7ab+49ab2c=−7ab(2c+1−7bc)

例4．（1）因式分解：2a(b+c)−3(b+c)

=( )• (b+c)− ( )• (b+c)

=( − )• (b+c)

（2）因式分解：3x(a−b)−6y(b−a)= ；

（3）因式分解：m(x+y)+n(x+y)−x−y= ；

（4）因式分解：x(a−b)2n+y(b−a)2n+1= ；

解：（1）因式分解：2a(b+c)−3(b+c)

=(2a)• (b+c)− (3)• (b+c)

=(2a−3)(b+c)

（2）3x(a−b)−6y(b−a)=3(a−b)(x+2y)；

（3）m(x+y)+n(x+y)−x−y=(x+y)(m+n−1)；

（4）x(a−b)2n+y(b−a)2n+1=(a−b)2n(x−a+b)。

例5．（1）因式分解：4a2−9

=( )2−( )2

=( + ) ( − )

（2）因式分解：−a2+4ab−4b2

=−( )

=−[( )2−2( )•( )+( )2]