高二数学平面几何的向量方法
高二数学向量知识点总结
高二数学《向量》知识点总结考点一：向量的概念、向量的大体定理【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的大体定理。
注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。
【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的概念、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。
考点三：定比分点【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮忙理解。
【命题规律】重点考查概念和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。
由于向量应用的普遍性，常常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出此刻解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。
考点四：向量与三角函数的综合问题【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考常常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。
【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。
考点五：平面向量与函数问题的交汇【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主如果向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。
【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。
考点六：平面向量在平面几何中的应用【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示。
高二空间向量法知识点梳理
高二空间向量法知识点梳理介绍：在高中数学中，空间向量法是一个重要的概念。
它为我们解决空间中的几何问题提供了一个有力的工具。
本文将对高二空间向量法的知识点进行梳理和总结，以帮助读者更好地理解和运用这一方法。
一、向量及其运算1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用有向线段表示。
2. 向量的表示方法：可以用坐标表示，也可以用字母表示。
3. 向量的运算：包括加法、减法和数乘。
4. 向量的性质：零向量、单位向量等。
二、向量的模和方向角1. 向量的模：向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理求得。
2. 向量的方向角：向量的方向角是指与某一基准轴之间的夹角。
三、向量的共线与垂直1. 向量共线的判定：如果两个向量的夹角为0度或180度，则它们共线。
2. 向量垂直的判定：如果两个向量的内积为0，则它们垂直。
四、空间平面与直线的向量方程1. 空间平面的向量方程：可以通过平面上一点和法向量表示。
2. 直线的向量方程：可以通过直线上一点和方向向量表示。
五、向量的数量积与向量积1. 向量的数量积：也称为内积，表示两个向量之间的相似程度。
2. 向量的数量积的性质：包括交换律、分配律等。
3. 向量的向量积：也称为叉乘，表示两个向量所确定的平行四边形的面积与方向。
4. 向量的向量积的性质：包括分配律、反交换律等。
六、空间向量的线性运算与共面问题1. 空间向量的线性运算：包括向量的线性组合和线性相关性。
2. 共面向量的判定：如果三个向量在同一平面内，则它们共面。
七、空间直线与平面的位置关系1. 空间直线与平面的位置关系：包括平行、垂直和相交等情况。
总结：空间向量法是解决几何问题的重要方法，具有广泛的应用范围。
通过对高二空间向量法知识点的梳理和总结，我们可以更好地掌握和运用这一方法。
希望本文对你在学习空间向量法时有所帮助！。
高二数学必修二知识点：平面向量
高二数学必修二知识点：平面向量（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高二数学空间向量知识点总结归纳
高二数学空间向量知识点总结归纳数学中的空间向量是指存在于三维空间中的有方向和大小的物理量。
在高二数学中，我们学习了关于空间向量的各种性质和运算法则，以及与之相关的应用。
本文将对高二数学空间向量的知识点进行总结和归纳。
一、空间向量的定义与表示方法在空间中，向量可以用有序数对或有序三元组表示。
通常，我们用大写字母表示向量，如AB、CD等。
表示向量的有序数组称为坐标，常用小写字母表示，如a、b、c等。
假设向量AB的坐标为(a₁, a₂,a₃)，则可表示为AB = a₁i + a₂j + a₃k，其中i、j、k分别表示x、y、z轴的单位向量。
二、向量的基本运算法则1. 向量的加法向量的加法遵循平行四边形法则，即将两个向量的起点相连接，然后以这条连线为对角线构建平行四边形，向量的和为平行四边形的对角线向量。
2. 向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法，即A-B = A + (-B)，其中-B表示B的反向量。
所以，向量A减去向量B，可以先求出B的反向量，再用向量的加法进行计算。
3. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，用符号·表示。
设有两个向量A = a₁i + a₂j + a₃k和B = b₁i + b₂j + b₃k，则向量A和B的数量积为A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
4. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，用符号×表示。
设有两个向量A = a₁i + a₂j + a₃k和B = b₁i + b₂j + b₃k，则向量A和B的向量积为A×B = (a₂b₃ - a₃b₂)i + (a₃b₁ - a₁b₃)j + (a₁b₂ - a₂b₁)k。
三、空间向量的性质与定理1. 平行向量如果两个向量的方向相同或相反，则它们被称为平行向量。
平行向量的数量积为零。
2. 垂直向量如果两个向量的数量积为零，则它们被称为垂直向量。
垂直向量的叉积也为零。
3. 向量共面如果三个向量可以放在同一个平面上，则它们被称为共面向量。
【课件】空间中点、直线和平面的向量表示第1课时 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
平面( C )
A．xOy平行
B．xOz平行
C．yOz平行
D．yOz相交
解析
因为 AB ＝(9，2，1)－(9，－3，4)＝(0，5，－3)，
所以AB∥平面yOz.
课堂小结
1．空间中点的位置向量；
2．空间中直线的向量表示式；
D．(－3，0，1)
典例分析
例2 如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，
1
2
AD＝ ，求平面SCD与平面SBA的法向量．
解 ∵AD、AB、AS是三条两两垂直的线段，
∴以A为原点，以、、的方向
z
S
y
为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系，
B
1
解决了一些立体几何问题.
本节我们进一步学习立体几何中的向量方法. 立体几何研究
的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形. 为了
用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的
位置用向量表示出来.
走进教材
知识点一：空间中点的位置向量
如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可
以用向量 OP 来表示．我们把向量 OP 称为点P的位置向量．
P
O
走进教材
知识点二：空间中直线的向量表示式
直线l的方向向量为，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以
Ԧ
得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
＝＋t，①
Ԧ
P
把＝代入①式得
Ԧ
＝＋t，②
B
A
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
平面的法向量及其应用课件高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(2)求证：AC ' 与平面A ' BD的交点恰为线段AC '的三等分点.
解 (1)如图，以点A为原点，AB，AD, AA ' 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，则B(1, 0, 0), D(0, 2, 0), A(0, 0,3),
①
反过来，由立体几何的知识可以证明：满足①式式．
n
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
如果一条直线l与一个平面 垂直，那么就把直线l的方向向量 n 叫作
平面的
法向量 平面 的法向量，则 n .
如果点M 是平面内给定的一点，向量n 是平面 的一个法向量，点P是
量表示式 平面内任意一点，那么把 MP n 0 称为平面 的一个向量表示式.
平面内所有直线的方向向量
众多向量中找两个不共线的两个满足平面的向量表示式
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
如图，在长方体ABCD A ' B ' C ' D '中，AB =1，AD 2，AA ' 3.
A1
B1
y
D
C
A
x
M
B
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
平面的法向量的求法：
向量名称
图 示
l
α
平面的法向量
求
法
① 找到直线l⊥α;
②直线l的方向向量即为平面的法向量.
高二数学选修1知识点总结
高二数学选修1知识点总结高二数学选修1是数学领域中的一门选修课程，旨在帮助学生深入了解数学的相关概念、方法和技巧。
在这门课程中，学生将学习各种各样的数学知识点，为进一步的学习和应用打下坚实的基础。
本文将对高二数学选修1中的重要知识点进行总结，以帮助学生梳理知识结构和加深对各个知识点的理解。
一、平面向量平面向量是高二数学选修1中的一个重要概念。
向量具有大小和方向两个特征，可以用有大小有方向的箭头表示。
平面向量有加法、减法和数量乘法三种运算，可以进行向量的线性组合和数乘运算。
1. 向量的表示方法：向量可以使用坐标表示方法（方向角、方向余弦）或分量表示方法（a、b、c表示）来表示。
2. 向量的运算：向量的加法和减法可以通过坐标或分量的相应运算法则进行计算。
向量的数量乘法即将向量的每个分量与一个实数相乘。
3. 向量的模和单位向量：向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理计算。
单位向量是模为1的向量，可以通过将向量除以其模得到。
4. 点积和叉积：向量的点积表示两个向量的数量乘积再相加，可以用于计算两个向量的夹角。
向量的叉积表示两个向量垂直的向量，可以用于计算平行四边形的面积和向量的方向。
二、立体几何立体几何是高二数学选修1中的另一个重要内容，主要涉及到空间中的图形、体积和表面积的计算。
1. 空间几何体：空间几何体包括点、线、面以及由它们组成的各种立体图形。
常见的空间几何体有球体、立方体、棱锥、棱台等。
2. 空间坐标系：空间坐标系是用来描述空间中点的位置的一种方法，常见的空间坐标系有直角坐标系和柱坐标系。
3. 空间几何体的体积和表面积：不同的空间几何体有不同的计算方法来求解其体积和表面积。
例如，球体的体积和表面积可以通过相应的公式来计算。
三、函数与导数函数与导数是高二数学选修1中的另一个重要模块，旨在帮助学生理解函数的性质和变化规律。
1. 函数的定义和性质：函数是一种映射关系，可以将自变量的取值域映射到因变量的值域。
高二数学用平面法向量求空间距离
PA n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
小结：
1、怎样利用向量求距离？
①点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量 在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向， 可取其射影的绝对值）。
二、求点到平面的距离
如图点P为平面外一点，点A为平面内的任
一点，平面的法向量为n,过点P作平面a的垂
ห้องสมุดไป่ตู้
线PO，记PA和平面a所成的角为，则点P
到平面的距离 nP
d | PO |
| PA | sin
a
O A
| PA | | n PA | | n || PA |
| n PA| |n|
A
B x
D
y C
三、求直线与平面间距离
例4、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，
CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面
GEF的距离。
z
G
PA n
d
n
xD
C
F
A
E
B
y
四、求平行平面与平面间距离
例5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、 E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求 平面AMN与平面EFDB的距离。 z
z S
B
Ay
xC
D
； 太阳能路灯
；
最后也悲伤如老汉。所谓才华、才学、才识，只有变为才能并施于生活的时候，才有用。别忘了，才和能在造词的时候是联在一起的。人们爱说一句话：行善。其实行善之小端是施舍，大端是以满腔的能耐作用社会。 书中并无黄金屋，读而有识，笃做笃行
高二数学空间向量及其加减运算
A1
ABCD A' B' C ' D'，化简下 例2 已知平行六面体 列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'；
(3) AB CB AA
(4) AC DB DC
A D B A’ D’ B’ C’
C
例2、 已知平行六面体ABCD A ' B ' C ' D '，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量： (3) AB CB AA ⑴AB BC； (4) AC DB DC D’ ⑵AB AD AA'；
思考2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C xAC
A1
D1 B1
C1
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
D A B
C
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
ba 加法交换律 a b成立吗？ 加法结合律
(a b) c a (b c)
C a
+
b
B
b
O
A
OB OA AB
a
CA OA OC
空间向量的加减法
B
b O a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以 它们可用同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们。
b a A
向量加法结合律在空间中仍成立吗? ( a + b )+ c = a +( b + c )
高二数学平面向量知识点
高二数学平面向量知识点一、向量的表示与运算平面向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示。
向量AB的起点为A，终点为B。
向量的表示可以用坐标形式，也可以用向量符号表示。
1. 向量的坐标表示：设向量AB的起点为A(x₁, y₁)，终点为B(x₂, y₂)，则向量AB的坐标表示为AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)。
2. 向量的向量符号表示：设向量AB的起点为A，终点为B，向量AB的向量符号表示为→AB。
3. 向量的加法与减法：向量的加法满足三角形法则，即将两个向量的起点连接起来，然后连接两个向量的终点，所得向量为其和向量。
向量的减法即为加法的逆运算。
二、向量的数量运算向量的数量运算包括向量的数乘和向量的数量积。
1. 向量的数乘：向量的数乘即将一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量的大小与实数的乘积，方向与原向量相同（当实数为正数时）或相反（当实数为负数时）。
若向量a = (x, y)，实数k，则向量ka = (kx, ky)。
2. 向量的数量积：向量的数量积又称为点积，用符号·表示。
设向量a = (x₁, y₁)，向量b = (x₂, y₂)，则向量a与b的数量积为a·b = x₁x₂ + y₁y₂。
数量积的性质：- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(ka)·b = k(a·b) = a·(kb) （k为实数）- 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c三、向量的模与单位向量向量的模即为向量的大小，用符号|a|表示。
设向量a = (x, y)，则向量a的模为|a| = √(x² + y²)。
单位向量是模等于1的向量。
设向量a = (x, y)，则向量a的单位向量为a/|a| = (x/|a|, y/|a|)。
四、向量的夹角设向量a与向量b的夹角为θ，则有以下公式成立：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)- 若cosθ = 0，则称向量a与向量b垂直。
高二数学--用空间向量研究直线,平面的位置关系
(3)根据法向量的定义建立关于x, y, z的
方程组
n
a
0
n b 0
(讲课 4)解方程组，取其中一个坐标的值，即得法向量。
人
：
邢
启 强
21
复习引入 平行关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面
, 的法向量分别为 u, v ，则
已知：直线m，n是平面 内的任意两条相交直线，
且 l m,l n. 求证：l .
解：设直线l, m, n的方向向量分别为a,b, c.
l m,l n,a b, a b 0. 同理a c 0.
m, n ,且m, n相交，
内任一向量 p可以表示为如下形式：
p xb yc, x, y R.
讲
课
人
：
邢
启 强
16
巩固练习
如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，直线AD 上是否存在点F,使得AE//CF?
讲
课
人
：
邢
启 强
17
巩固练习 如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点， 设Q是棱CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ//平 面PAO?
讲
课
人
：
也就是说用直线的方向向量和平面的法 向量来证明位置关系.
1.用向量方法证明两直线平行
讲
课
人
：
邢
启 强
5
例题讲评
例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F 分别是面ABB1A1,面A1B1C1D1的中心，求证： EF//平面ACD1.
讲
高二数学空间向量及其运算3
(2)原式= AG AM
MG
B
M
C
小结
类比思想
数形结合思想
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
D B
C
1 AB AD CC1 AC CM AM 2
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
1 (1) AB ( BC BD) 2 1 (2) AG ( AB AC) 2
D G
(1)原式＝AB BM MG
新课讲授
阅读教材P26 ，研究空间向量与平面向量的关系,回答 下面的问题： （1） 试说出：空间向量与平面向量有何共同之处？
（2） 如何理解空间的一个“平移”就是一个向量？ （3） 空间任意两个向量是否都可以转化为平面 向量？为什么？ （4）把平面向量的运算推广到空间向量， 怎么定义空间向量的加法，减法及数乘向量运算？ （5）空间向量的运算律有哪些？ （6）从平面和空间两个角度验证向量加法结合律?
C
D
C
b
A
B a 向量加法的三角形法则 C
b
A
a a
ka
B
向量加法的平行四边形法则
b减法的三角形法则
ka
向量的数乘
3、平面向量的加法、减法与数乘运算律 加法交换律： a b
ba 加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： (a b) a＋ b
D1 A1 B1 C1
高二上数学第三章知识点
高二上数学第三章知识点一、直线的方程直线的方程可以用斜截式、一般式和点斜式表示。
1. 斜截式方程斜截式方程的形式为：y = kx + b，在直线已知截距b和斜率k 的情况下使用。
其中，k代表斜率，b代表与y轴的截距。
2. 一般式方程一般式方程的形式为：Ax + By + C = 0，在直线已知A、B和C的情况下使用。
其中，A、B和C为常数。
3. 点斜式方程点斜式方程的形式为：y - y₁ = k(x - x₁)，在已知直线上的一点(x₁, y₁)和斜率k的情况下使用。
二、平面向量平面向量是一个有大小和方向的量。
1. 向量的表示向量通常使用小写字母加上箭头来表示，例如：→a。
向量还可以使用坐标表示法和行列式表示法。
2. 向量的运算向量的运算包括加法、减法、数乘和点乘。
- 向量的加法：将两个向量的对应分量相加得到结果向量。
- 向量的减法：将两个向量的对应分量相减得到结果向量。
- 向量的数乘：将向量的每个分量都乘以一个常数得到结果向量。
- 向量的点乘：将两个向量的对应分量相乘再相加得到一个数。
3. 向量的性质向量具有多种性质，包括加法交换律、加法结合律、数乘结合律、数量积的交换律和分配律等。
三、平面几何平面几何主要涉及到直线和图形的性质。
1. 直线的性质直线的性质包括垂直、平行和相交等。
- 垂直：两条直线垂直时，它们的斜率的乘积为-1。
- 平行：两条直线平行时，它们的斜率相等。
- 相交：当两条直线不平行且不重合时，它们相交。
2. 圆的性质圆由圆心和半径确定，具有多种性质。
- 圆心角：以圆心为顶点的角度，其角度等于所对弧的一半。
- 弧长：圆的弧长与圆心角度数成正比，弧长等于圆心角的度数除以360度再乘以圆的周长。
- 正多边形外接圆的半径和内切圆的半径之比约等于1.155。
四、函数与方程函数与方程是数学中的重要概念。
1. 函数的定义函数是一种特殊关系，它将某个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
成都高二下期数学知识点
成都高二下期数学知识点下面将为你详细介绍成都高二下期的数学知识点。
希望通过这些知识的学习，你能更好地掌握数学的技巧和应用。
一、平面向量1. 平面向量的表示方法：坐标表示法和模长与方向表示法。
2. 平面向量的运算法则：加法、减法、数量乘法和点乘法。
3. 平面向量的性质：平行、垂直、共线、共面等。
二、解析几何1. 空间直角坐标系：直线、平面的方程。
2. 空间几何体的性质：点、直线、平面、球体等的定义和性质。
3. 空间中的位置关系：相交、相切、平行、垂直等。
三、三角函数1. 弧度制和角度制的转换：常见角度的弧度表示。
2. 三角函数的定义和性质：正弦、余弦、正切等的计算和图像表示。
3. 三角函数的基本关系：诱导公式、和差化积、积化和差等的运用。
四、导数与微分1. 函数导数的定义：极限、斜率和切线的概念。
2. 常见函数的导数：多项式函数、指数函数、对数函数等的导数计算。
3. 导数的应用：函数的极值、函数曲线的拐点等。
五、不等式与函数1. 不等式与不等关系的性质：大小关系的推导与应用。
2. 函数的性质与增减性：函数的单调性、极值等的分析与应用。
3. 解不等式和不等式组：绝对值不等式、二次函数不等式等的求解方法。
六、数列和数列极限1. 数列的定义和性质：常数列、等差数列、等比数列等的特征。
2. 数列的运算法则：数列的加法、减法、乘法、除法的性质。
3. 数列极限的概念与计算：数列极限的存在性、计算极限的方法。
七、概率统计1. 随机事件与概率：事件的定义、运算与概率的基本性质。
2. 随机变量与概率分布：离散型随机变量和连续型随机变量的概念和性质。
3. 统计与抽样：样本调查、频率分布、抽样误差等的应用和推断。
这些是成都高二下期的数学知识点。
希望你通过学习，能够熟练掌握这些知识，提升数学学科的理解和应用能力。
祝你学业顺利！。
高二数学直线的方向向量与平面的法向量
前面,我们把 平面向量 推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
l // e n 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
例4 如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点
M, N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM1BD,AN1AE，
求证：M N//平 面 CDE
3
3
简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF 所在平面互相垂直，所以AB，AD，
几点注意：
n
1.法向量一定是非零向量;
A 2.一个平面的所有法向量都互相平行;
3.向量 n 是平面的法向量，向量 m 是
与平面平行或在平面内，则有
n m 0
例 1:在正方体 ABCD A1B1C1D1中，求
证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
证：设正方体棱长为 1，
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，建立如 图所示空间坐标系 D xyz ，则 A(1,0,0), C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1) DB1 (1,1,1) ， AC (1,1,0) ， AD1 (1,0,1) DB1 AC 0， 所以 DB1 AC ,同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A
为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我 们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？
一、直线的方向向量
高二数学向量与平面的关系与求解方法
高二数学向量与平面的关系与求解方法高二数学：向量与平面的关系与求解方法向量与平面是高中数学中的重要概念，它们之间存在着密切的关系，并且在解题中有着广泛的应用。
本文将介绍向量与平面的关系以及求解方法，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
一、向量与平面的定义在数学中，向量是由大小和方向所决定的有向线段，通常用有向线段的起点和终点表示。
而平面是由无数条在同一平面上的直线构成的集合。
二、向量与平面的关系1. 向量的共面性向量与平面的关系可以通过向量的共面性来进行判断。
若三个向量共面，则它们在同一平面上；若两个向量共线，则它们在同一直线上。
2. 平面的法向量平面可以由一条法线和过该点的任意向量来确定。
这条法线被称为平面的法向量，它垂直于平面上的任意一条线。
3. 向量的投影在平面上，向量可以进行投影。
向量的投影是指：将一个向量沿着平面的法线方向做垂直投影，得到一个新的向量，称为该向量在平面上的投影。
三、向量与平面的求解方法1. 平面方程的求解平面的方程一般可以表示为Ax+By+Cz+D=0的形式，其中A、B、C为平面的法向量的分量，D为常数。
通过已知点和法向量可以求解平面的方程。
2. 向量的投影已知一个向量a，其在平面上的投影向量记作a'，那么a与其投影向量a'的关系为：a=a'+b，其中b为向量在平面上的垂直分量。
3. 向量的线性相关性若向量a与法向量n线性无关，则a不在平面上；若向量a与法向量n线性相关，则a在平面上。
4. 平面的交点如果已知两个平面的方程，可以解方程组求解它们的交点。
在解方程组时，需要仔细分析多种情况，例如平面交于一点、交于一直线或平面重合等情况。
四、向量与平面的应用向量与平面的关系在数学的几何、物理等多个领域中都有广泛的应用。
1. 几何中的平面在几何学中，我们经常需要研究平面上的图形。
向量与平面的关系帮助我们描述并求解平面上的各种几何问题。
2. 物理中的力学在力学中，向量与平面的关系有助于我们研究物体的受力情况。
高二数学平面向量与空间向量的向量积与混合积
高二数学平面向量与空间向量的向量积与混合积向量是数学中重要的概念之一，它在平面几何和空间几何中都有广泛的应用。
在高二数学中，我们学习了平面向量与空间向量的向量积与混合积，这两个概念在解决实际问题中起着重要的作用。
本文将详细介绍向量积与混合积的定义、性质以及应用。
一、向量积的定义与性质1. 向量积的定义平面向量a和b的向量积（也称为叉乘）定义为一个新的向量c，表示为c=a×b，其大小为|c|=|a||b|sinθ，其中θ为a和b的夹角（0°≤θ≤180°）。
2. 向量积的性质（1）向量积的方向垂直于原来两个向量所在的平面。
（2）向量积满足反交换律，即a×b=−b×a。
（3）向量积满足分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。
二、向量积的几何意义与应用1. 向量积的几何意义向量积具有几何上的重要意义，它的大小表示了平行四边形的面积，而方向则垂直于所表示的平行四边形。
2. 向量积的应用向量积在物理、工程和几何等领域都有广泛的应用。
在物理中，向量积可以用来计算力矩和力矩矩阵；在工程中，可以用来计算力的方向和大小；在几何中，可以用来判断两个向量是否共线以及判断三点是否共面等。
三、混合积的定义与性质1. 混合积的定义空间向量a、b和c的混合积定义为一个数值，表示为V=a·(b×c)，其大小等于有向体积V。
2. 混合积的性质（1）混合积满足交换律，即a·(b×c)=b·(c×a)=c·(a×b)。
（2）混合积满足分配律，即a·(b×c+d×e)=a·(b×c)+a·(d×e)。
四、混合积的几何意义与应用1. 混合积的几何意义混合积具有几何上的重要意义，它的绝对值等于有向体积的六倍，其正负号表示有向体积的方向。
高二数学平面几何的向量方法
七十二家房客
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AB BC CD DA 2( a b )
2 2 2 2
AC BD a b a b
2 2
2
2
2 2 2 2 a 2ab b a 2ab b 2 a b 2 a b ∴ AB2 BC2 CD 2 DA2 AC2 BD2 2 2 2 2
1 1 1 所以 AR AC ,同理TC AC , 于是 RT AC 3 3 3
1 解得：n= m = 3
2
0
故AT=RT=TC
练习、证明直径所对的圆周角 是直角
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC CB，即 AC CB 0 。
问题：平行四边形是表示向量加法与减法 的几何模型。如图，你能发现平行四边形 对角线的长度与两条邻边长度之间的关系 吗？
DB AB AD, AC AB AD,
D
猜想：
1.长方形对角线的长度 与两条邻边长度之间有 何关系？
C
A 2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
C
a
b
O
B
解：设 AO a, OC b
则 AC a b, CB a b ， 由此可得： AC CB a bb a b
r2 r2 0
即 AC CB 0 ，∠ACB=90°
小结：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
例2 如图， ABCD中，点E、F分别 是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别 与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
D F T C
猜想： AR=RT=TC
A
E
R
B
由于 AR
AB a , AD b , AR r , 解：设
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
作业： 课本P125 1,2
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呢；中间的猪舍里养了八口，都已经长到半大了，见有人走来，就仰起头来，一边吸着肉乎乎的大鼻子，一边“哼哼哼”地叫着；最 里边的猪舍里，一大群个头还不大的小猪崽们正在里边儿撒欢呢！耿直和尚武一看到这些大小不等的猪们，就高兴地笑了。耿直说： “哇！这么多！”尚武说：“快看哪，那些小猪崽崽们还撒欢呢！”耿憨高兴地说：“养了这些猪，咱们粉坊每日里产下的那些个没 有用的粉渣和粉浆就不会白白浪费掉了，正好用来养这些宝贝们！”耿老爹说：“还有哇，这圈肥可是最好的肥料呢！”董家成说： “咱三家田里上的，主要就是这三个圈里的好肥！”耿憨补充说：“而且等到它们出栏的时候，又是一笔不小的收入呢！”耿英赞赏 地说：“憨叔这是链条式经营啊，哪里有不赚钱的道理呢！”董妞儿拽着耿英的胳膊大声说“耿英姐姐，你还没有看到憨叔给俺大哥 腾挪出来的那两个大仓库呢！走，看看去！”于是，大家伙儿又来到六间粉坊作坊旁边董妞儿说的那两个“大仓库”前。推开其中一 个“大仓库”的门，发现这是一个通身的三间大屋，里边整整齐齐地垒摞或摆放了好多各种各样的家什，包括碗碟、杯盘、瓦盆、瓦 罐和水缸等。推开另一个“大仓库”的门，发现也是通身三间，一侧整整齐齐地垒摞了小半屋半墙高的银灰色上好焦炭，另一侧堆放 了半屋子多半墙高的上好块儿炭；靠窗户一侧，立了一杆大秤和一根比扁担还粗实的，光光滑滑的木棍，旁边还放了一条结实的麻绳。 耿憨说“壮子拉回来的货就先存放在这里了，逢集时就拉去集市上卖一些。当然啦，附近知道的人，也有不少是自己直接来这里购买 的。壮子不在的时候，如果有人来这里购买，俺就替他招呼了！”耿英仔细看了，抿嘴笑一下，轻轻地说：“这个愣小子，还学会做 生意了！”耿憨说：“做得好着呢，咱镇上的人没有不羡慕的！这几年，青山和他一起跑，也学了很多本事呢！”耿老爹说：“好啊， 娃娃们就得有出息才行，这日子过得才有后劲儿哇！”董家成憨厚地笑一笑，说：“俺这三个娃娃啊，都比他们的爹娘强！尤其是大 壮，养这大骡车已经七年多了。他外面跑得多了，人也越来越有主见。这家里边儿啊，但凡是大一些的事情，俺都得和他商量了再做 决定，才觉得放心呢！”刘氏说：“还不是俺们英子有福气啊！”耿英给羞了个大红脸，不好意思地说：“大娘，你是成心羞俺啊！” 大家都看着耿英笑了。耿英不再说话，拉着秀儿去一边说私房话去了。大伙儿又说了一会儿话，时间就差不多到半下午了。耿憨吩咐 青海：“你去作坊里，把箩筐里那些俺没有让晾晒的粉条分三份用笼布包了拿出来！”转身对大家说：“今儿个不早了，等青海把湿 粉条拿来以后，你们都回去歇息哇！”耿正问：“憨叔，这骡子
2.5平面向量应用举例
2.5.1平面几何的向量方法
平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背 景和几何背景。当向量与平面坐标系结合 以后，向量的运算就可以完全转化为“代 数”的计算，这就为我们解决物理问题和 几何研究带来极大的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具 有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质， 如平移、全等、相似、长度、夹角都可以 由向量的线性运算及数量积表示出来，因 此，利用向量方法可以解决平面几何中的 一些问题。
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题 的基本思路吗？
用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
则 与AC 共线，故设r n(a b ), n R 共线，
D R F T B
AC a b
又因为 ER与EB
1 所以设ER mEB m(a b ) E 2
C
因为 AR AE ER
B
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 已知：平行四边形ABCD。 D AB2 BC2 CD 2 DA2 AC2 BD2 求证： 分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 AB a, AD b 其它线段对应向 A 量用它们表示。
2 2
C B
解：设 AB a, AD b ，则 BC b, DA a, AC a b; DB a b
1 1 A 所以 r b m (a b ) 2 2
1 1 因此n(a b ) b m(a b ) 2 2
D
F T B
C
E
A
R
m 1 即( n m )a ( n )b 0 2
n m 0 由于向量a , b不共 线， m 1 n