【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学2.7向量应用举例课时训练北师大版必修4

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.7 向量应用
举例课时训练 北师大版必修4
一、选择题
1．已知一物体在共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)(单位：N)的作用下产生位移s ＝(2lg 5,1)(单位：m)，则共点力对物体做的功W 为( )
A ．lg 2 J
B ．lg 5 J
C ．1 J
D ．2 J
【解析】 设F ＝F 1＋F 2＝(lg 2＋lg 5，lg 2＋lg 2)
＝(1，lg 4)，∴W ＝F ·s ＝1×2lg 5×lg 4＋1＝lg(25×4)＝2.
【答案】 D
2．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )
A ．6
B ．2
C ．2 5
D ．27
【解析】 由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，
∴F 3＝－(F 1＋F 2)．
∴F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2
＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28.
∴|F 3|＝27.
【答案】 D
3．点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )
A ．(－2,4)
B ．(－30,25)
C ．(10，－5)
D ．(5，－10)
【解析】 令平移后点P ′(x ，y )，
有PP ′→＝5v ，∴(x ，y )＝(－10,10)＋5×(4，－3)＝(10，－5)．
【答案】 C
4．(2013·福建高考)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积
为( ) A. 5
B ．2 5
C ．5
D ．10
【解析】 ∵AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，∴AC →⊥BD →，∴S 四边形ABCD ＝12
|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5. 【答案】 C
5．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，且PA →·PB
→＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O 、N 、P 依次是△ABC 的( )
A ．重心，外心，垂心
B ．重心，外心，内心
C ．外心，重心，垂心
D ．外心，重心，内心
(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)
【解析】 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，知点O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，知点N
为△ABC 的重心；
∵PA →·PB →＝PB →·PC →，
∴(PA →－PC →)·PB →＝0，
∴CA →·PB →＝0.∴CA →⊥PB →.
∴CA ⊥PB .
同理，AP ⊥BC ，
∴点P 为△ABC 的垂心．故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．在△ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，则BA →·BC →＝________.
【解析】 由∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，知△ABC 是等腰直角三角形．∴BA ＝42，∠ABC ＝45°，
∴BA →·BC →＝42×4×cos 45°＝16.
【答案】 16
7．若直线l 过点A (2，－3)且它的一个法向量为n ＝(3,2)，则直线l 的方程为________．
【解析】 设P (x ，y )是直线l 上任意一点，则AP →＝(x －2，y ＋3)，
由于AP →·n ＝0，∴3(x －2)＋2(y ＋3)＝0，即3x ＋2y ＝0.
【答案】 3x ＋2y ＝0
图2－7－3
8．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图2－7－3所示，已知物体的重力大小为10 N ，则每根绳子的拉力大小是________．
【解析】 因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N.
【答案】 10 N
三、解答题
9．如图所示，支座A 受F 1，F 2两个力的作用，已知|F 1|＝40 N ，与水平线成θ角；|F 2|＝70 N ，沿水平方向；两个力的合力F ＝100 N ，求角θ的余弦值以及合力F 与水平线的夹角β的余弦值．
图2－7－4
【解】 由F ＝F 1＋F 2，得|F |2＝|F 1＋F 2|2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2F 1·F 2，即1002＝402＋702＋2F 1·F 2，解得F 1·F 2＝1 750，
所以cos θ＝F 1·F 2|F 1||F 2|＝1 75040×70＝58
. 又因为CD →＝AD →－AC →，
所以－F 1＝F 2－F ，所以|F 1|＝|F 2－F |.
所以|F 1|2＝|F 2－F |2＝|F 2|2＋|F |2
－2F·F 2，
即402＝702＋1002－2F·F 2.
所以F·F 2＝6 650. 所以cos β＝F·F 2|F ||F 2|＝6 650100×70＝133140
.
图2－7－5
10．如图所示，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．
【解】 设AD →＝a ，AB →＝b ，
则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b .
而|BD →|＝|a －b |＝|a |2－2a ·b ＋|b |2 ＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ，
∴|BD →|2＝5－2a ·b ＝4，得2a ·b ＝1.
又∵|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝1＋4＋2a·b ，
∴|AC →|2＝6，
∴|AC →|＝6，即AC ＝ 6.
11．两个粒子a ，b 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为S a ＝(4,3)，S b ＝(2,10)．求：
(1)写出此时粒子b 相对于粒子a 的位移S ；
(2)计算S 在S a 方向上的投影．
【解】 (1)S ＝S b －S a ＝(2,10)－(4,3)＝(－2,7)．
(2)S 在S a 方向上的投影为|S |cos θ，θ为S 与S a 的夹角．
∵S ·S a ＝|S ||S a |cos θ，
∴|S |cos θ＝S ·S a |S a |＝ －2，7 · 4，3 42＋3
2 ＝－2×4＋7×35＝135
.。