三棱锥顶点射影问题
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三角形的“心”
1、重心:三条中线的交点 2、垂心:三条高的交点 3、外心:三条边垂直平分线的交点（或 说△外接圆的圆心）
4、内心:三个角平分线的交点（或说△ 内接圆圆心）
5、中心（正△ 特有）正△的重心、垂 心、内心、外心重合的点
例1：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？
证明：∵OA⊥α PQ α
A
∴ OA⊥PQ
OB⊥β, PQ β
∴ OB⊥PQ
又OA∩OB=0
P
∴PQ⊥平面OAB
而AB 平面OAB
∴ PQ⊥AB
O Q
B
作业：如图S是ABC所在平面外一点，SA SB SB SC，SC SA，H是ABC的垂心， 求证；SH 平面ABC
S
A
H
C
B
作业：如图S是ABC所在平面外一点，SA SB
【解】 如图所示，分别取AB，BC的中点D，E， 连接PD，PE，OD，OE.
因为PA＝PB＝PC， 所以PD⊥AB，PE⊥BC，
因为O是△ABC的外心， 所以OD⊥AB，OE⊥BC， 又因为PD∩DO＝D，OE∩PE＝E， 所以AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO， 于是有AB⊥PO，BC⊥PO，AB∩BC＝B， 从而推得PO⊥平面ABC.
求证：（1）PA BC
A
（2）BC 平面PAC
O
B
解：（1）
C
AB , AC ,
且AB AC A PA AC, PA AB
\ PA 又 BC
(2)QC为圆O上一点，AB 为直径
\ BC AC
由1得BC PA,又Q PA AC A
\ BC 面PAC
\ PA BC
例：平面内有一个三角形ABC，平面外 有一点P，自P向平面作斜线PA，PB， PC，且PA＝PB＝PC，若点O是△ABC 的外心，求证：PO⊥平面ABC.
P
O为三角形ABC的内心
B
O
A
E
F
C
典型：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影为O
(1)P到三顶点距离相等
O是 ABC的外心
(2)侧棱两两垂直
O是 ABC的垂心
(3)P到三边AB、BC、AC距离相等
O是 ABC的内心
例：四面体P-ABC中，PA BC, PB AC
求证：PC AB
O是垂心
证明：连接BD，AC，设BD AC O，连接MO
M
四边形ABCD是菱形
AC BD O
AC BD O是AC中点
D
C
MA MC AMC是等腰
O
MO AC
A
B
AC BD
AC 面MBD
BD MO O
P
3.如图，圆O所在一平面为 ，
AB是圆O 的直径，C 在圆周上,
且PA AC, PA AB,
SB SC，SC SA，H是ABC的垂心，
求证；SH 平面ABC
S
SA SB
SA SC
SA
平面SBC
SB SC S
A
SA BC
H
C
H是ABC的垂心
AH
BC
BC
面SHA
B
SA AH A
BC SH
同理AB
SH
SH
面ABC
BC AB B
1.如图,已知点M是菱形ABCD所在平面外一点，且MA=MC 求证：AC⊥平面BDM
求证：PD⊥平面ABC.
P
证明：PA=PB，D为AB中点
C
∴ PD⊥AB，连接CD，
∵D为Rt△ABC斜边的中点 ∴ CD=AD, 又PA＝PC,PD=PD A
D
B
∴ △PAD≌△PCD 而PD⊥AB
∴ PD⊥CD, CD∩AB = D
∴PD⊥平面ABC
例2、如图 平面α、β相交于PQ， 线段OA、OB分别垂直平面α、β， 求证：PQ⊥AB
E B
A
证明：取BD的中点E,连接AE,CE ,
Q AB AD,\ AE BD,
D
Q BC DC,\CE BD,
又Q AE CE E,
\ BD 平面ACE,
C
Q AC 平面ACE,\ BD AC
练习
例1、已知直角△ABC所在平面外有一点P，且 PA=PB=PC，D是斜边AB的中点，
P
OA=OB=OC
O为三角形ABC的外心
A
B
O
C
例2：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱 PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面 ABC的射影的位置？
P
B
O
D
C
PA BC PO BC BC 平面PAD BC AD PA PO P
A
O为三角形ABC的垂心
例3：已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面 三角形ABC的三条边的距离相等,试判断 点P在底面ABC的射影的位置？
P
A
B O
C
综合练习：
关于三角形的四心问题
(3)若三条側棱两两互相垂直,则O是△ABC
的 垂心 .
P
A
B
E
OF C
综合练习：
关于三角形的四心问题
(5)若三条側棱与底面成相等的角，则O是 △ABC的_外__心__.
P
A
B
OF
E
C
例： 在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，
求证：对角线AC BD。
对棱两两垂直
O是 ABC的垂心
若三棱锥有两组对边互相垂直，则 另一组对边必然垂直
综合练习：
关于三角形的四心问题
设O为三棱锥P—ABC的顶点P在底面上的射影. (1)若PA=PB=PC，则O是△ABC的 外心 .
P
A
B
O
C
综合练习： 关于三角形的四心问题
(2)若PA=PB=PC,∠C=900,则O是AB的__中___点.
1、重心:三条中线的交点 2、垂心:三条高的交点 3、外心:三条边垂直平分线的交点（或 说△外接圆的圆心）
4、内心:三个角平分线的交点（或说△ 内接圆圆心）
5、中心（正△ 特有）正△的重心、垂 心、内心、外心重合的点
例1：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？
证明：∵OA⊥α PQ α
A
∴ OA⊥PQ
OB⊥β, PQ β
∴ OB⊥PQ
又OA∩OB=0
P
∴PQ⊥平面OAB
而AB 平面OAB
∴ PQ⊥AB
O Q
B
作业：如图S是ABC所在平面外一点，SA SB SB SC，SC SA，H是ABC的垂心， 求证；SH 平面ABC
S
A
H
C
B
作业：如图S是ABC所在平面外一点，SA SB
【解】 如图所示，分别取AB，BC的中点D，E， 连接PD，PE，OD，OE.
因为PA＝PB＝PC， 所以PD⊥AB，PE⊥BC，
因为O是△ABC的外心， 所以OD⊥AB，OE⊥BC， 又因为PD∩DO＝D，OE∩PE＝E， 所以AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO， 于是有AB⊥PO，BC⊥PO，AB∩BC＝B， 从而推得PO⊥平面ABC.
求证：（1）PA BC
A
（2）BC 平面PAC
O
B
解：（1）
C
AB , AC ,
且AB AC A PA AC, PA AB
\ PA 又 BC
(2)QC为圆O上一点，AB 为直径
\ BC AC
由1得BC PA,又Q PA AC A
\ BC 面PAC
\ PA BC
例：平面内有一个三角形ABC，平面外 有一点P，自P向平面作斜线PA，PB， PC，且PA＝PB＝PC，若点O是△ABC 的外心，求证：PO⊥平面ABC.
P
O为三角形ABC的内心
B
O
A
E
F
C
典型：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影为O
(1)P到三顶点距离相等
O是 ABC的外心
(2)侧棱两两垂直
O是 ABC的垂心
(3)P到三边AB、BC、AC距离相等
O是 ABC的内心
例：四面体P-ABC中，PA BC, PB AC
求证：PC AB
O是垂心
证明：连接BD，AC，设BD AC O，连接MO
M
四边形ABCD是菱形
AC BD O
AC BD O是AC中点
D
C
MA MC AMC是等腰
O
MO AC
A
B
AC BD
AC 面MBD
BD MO O
P
3.如图，圆O所在一平面为 ，
AB是圆O 的直径，C 在圆周上,
且PA AC, PA AB,
SB SC，SC SA，H是ABC的垂心，
求证；SH 平面ABC
S
SA SB
SA SC
SA
平面SBC
SB SC S
A
SA BC
H
C
H是ABC的垂心
AH
BC
BC
面SHA
B
SA AH A
BC SH
同理AB
SH
SH
面ABC
BC AB B
1.如图,已知点M是菱形ABCD所在平面外一点，且MA=MC 求证：AC⊥平面BDM
求证：PD⊥平面ABC.
P
证明：PA=PB，D为AB中点
C
∴ PD⊥AB，连接CD，
∵D为Rt△ABC斜边的中点 ∴ CD=AD, 又PA＝PC,PD=PD A
D
B
∴ △PAD≌△PCD 而PD⊥AB
∴ PD⊥CD, CD∩AB = D
∴PD⊥平面ABC
例2、如图 平面α、β相交于PQ， 线段OA、OB分别垂直平面α、β， 求证：PQ⊥AB
E B
A
证明：取BD的中点E,连接AE,CE ,
Q AB AD,\ AE BD,
D
Q BC DC,\CE BD,
又Q AE CE E,
\ BD 平面ACE,
C
Q AC 平面ACE,\ BD AC
练习
例1、已知直角△ABC所在平面外有一点P，且 PA=PB=PC，D是斜边AB的中点，
P
OA=OB=OC
O为三角形ABC的外心
A
B
O
C
例2：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱 PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面 ABC的射影的位置？
P
B
O
D
C
PA BC PO BC BC 平面PAD BC AD PA PO P
A
O为三角形ABC的垂心
例3：已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面 三角形ABC的三条边的距离相等,试判断 点P在底面ABC的射影的位置？
P
A
B O
C
综合练习：
关于三角形的四心问题
(3)若三条側棱两两互相垂直,则O是△ABC
的 垂心 .
P
A
B
E
OF C
综合练习：
关于三角形的四心问题
(5)若三条側棱与底面成相等的角，则O是 △ABC的_外__心__.
P
A
B
OF
E
C
例： 在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，
求证：对角线AC BD。
对棱两两垂直
O是 ABC的垂心
若三棱锥有两组对边互相垂直，则 另一组对边必然垂直
综合练习：
关于三角形的四心问题
设O为三棱锥P—ABC的顶点P在底面上的射影. (1)若PA=PB=PC，则O是△ABC的 外心 .
P
A
B
O
C
综合练习： 关于三角形的四心问题
(2)若PA=PB=PC,∠C=900,则O是AB的__中___点.