高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1_3.1.2导数的概念优化练习新人教A版选修1_120180802377

3.1.1-3.1.2 导数的概念

[课时作业] [A 组 基础巩固]

1．一物体的运动方程是s ＝t ＋1

t

，则在t ＝2时刻的瞬时速度是( )

A.52

B.3

4 C ．1 D ．2 解析：Δs ＝2＋Δt ＋12＋Δt －2－12

＝Δt －Δt

＋Δt

Δs

Δt

＝1－1

＋Δt

t ＝2时的瞬时速度为

lim Δt →0 Δs Δt ＝ lim Δt →0 ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤1－1＋Δt ＝34

. 答案：B

2．若函数y ＝f (x )在x ＝1处的导数为1，则lim x →0

f

＋x －f

x

＝( )

A ．2

B ．1 C.12 D.1

4

解析：lim x →0

f

＋x －f

x

＝f ′(1)＝1.

答案：B

3．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2

＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(1,10) B ．(－1，－2) C ．(1，－2) D ．(－1,10)

解析：Δy Δx

＝

f x 0＋Δx －f x 0

Δx

＝

x 0＋Δx

2

＋6

x 0＋Δx ＋1－3x 20－6x 0－1

Δx

＝3Δx ＋6x 0＋6，∴f ′(x 0)＝ lim Δx →0

Δy Δx ＝ lim Δx →0

(3Δx ＋6x 0＋6)＝6x 0＋6＝0，∴x 0＝－1.把x 0＝－1代入y ＝3x 2

＋6x ＋1，得y ＝－2.∴P 点坐标为(－1，－2)． 答案：B

4．物体自由落体的运动方程为：s (t )＝12

gt 2，g ＝9.8 m/s 2

，若v ＝ lim Δt →0

s

＋Δt －s

Δt

＝9.8 m/s ，那么下列说法中正确的是( )

A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速度．

B ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度．

C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率．

D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速率．

解析：由于s (t )＝12gt 2

，所以由导数的定义可得

即s ′(1)＝ lim Δt →0

s

＋Δt －s

Δt

＝9.8 (m/s)．

所以9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率． 答案：C

5．设f (x )在x ＝x 0处可导，则 lim Δx→0

f

x 0－Δx －f x 0

Δx

等于( )

A ．－f ′(x 0)

B ．f ′(－x 0)

C ．f ′(x 0)

D ．2f ′(x 0)

解析： lim Δx→0

f x 0－Δx －f x 0

Δx

＝－ lim Δx→0

f x 0－Δx －f x 0

－Δx ＝－f ′(x 0)．

答案：A

6．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2

，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径

r ∈[1,1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为________．

解析：当r ∈[1,1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为ΔS Δr ＝

π＋Δr 2

－π

Δr

＝

π＋2π·Δr ＋Δr

2

π－π

Δr ＝2π＋πΔr .

答案：2π＋πΔr

7.国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进

行检查，其连续检测结果如图所示．治污效果更好的企业是(其中

W 表示排污量)________．

解析：ΔW Δt

＝

W t 1－W t 2

Δt

，在相同的时间内，由图可知甲企

业的排污量减少的多，∴甲企业的治污效果更好． 答案：甲企业

8．已知函数f (x )＝ax ＋b 在区间[1,8]上的平均变化率为3，则实数a ＝________. 解析：由函数平均变化率的几何定义知3＝

f

－f 1－8

＝

f

－f 8－1

＝

a ＋

b －a ＋b

8－1

＝a.

答案：3

9．利用导数的定义，求函数y ＝1

x

2＋2在点x ＝1处的导数．

解析：∵Δy ＝⎣⎢

⎡

⎦⎥⎤1x ＋Δx

2

＋2－⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x

2＋2 ＝－2x Δx －Δx

2

x ＋Δx ·x

∴Δy Δx ＝－2x －Δx x ＋Δx 2·x 2，∴y ′＝

lim Δx →0 Δy Δx ＝ lim Δx →0 －2x －Δx x ＋Δx 2·x 2＝－2x

3，∴y ′|

x ＝1＝－2. 10．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x 台机器的成本是c (x )＝x 3

－6x 2

＋15x (元)，而售出x 台的收入是r (x )＝x 3

－3x 2

＋12x (元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？

解析：由题意，生产并售出x 台机器所获得的利润是：L (x )＝r (x )－c (x )＝(x 3

－3x 2

＋12x )－(x 3

－6x 2

＋15x )＝3x 2

－3x ，故所求的平均利润为：L ＝

L

－L

20－10＝870

10

＝87(元)． [B 组 能力提升]

1．函数y ＝x 2

在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为

k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )

A ．k 1>k 2

B ．k 1<k 2

C ．k 1＝k 2

D ．不确定

解析：k 1＝

f x 0＋Δx －f x 0

Δx ＝

x 0＋Δx

2

－x 2

Δx

＝2x 0＋Δx ，k 2＝

f x 0－f x 0－Δx Δx ＝

x 20－

x 0－Δx 2

Δx ＝2x 0－Δx .因为Δx 可大于零也可小于零，所以

k 1与k 2的大小不确定．

答案：D

2．质点运动规律s ＝t 2

＋3，则在时间 [3,3＋Δt ]中，相应的平均速度等于( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9

Δt

C ．3＋Δt

D ．9＋Δt