二次函数动点及最值问题

一、二次函数中的最值问题：
例1：在平面直角坐标系中，全等的两个三角形Rt⊿AOB与Rt A’OC’如图放置，点B、C’的坐标分别为（1，3），（0，1），BO 与A’ C’相交于D,若⊿A’OC’绕点O旋转90°至⊿AOC，如图所示（1）若抛物线过C、 A、A’，求此抛物线的解析式及对称轴；∴ y=-x2+2x+3
（2）、若点P是第一象限内抛物线线上的一动点，问P在何处时△AP A’的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的点P的坐标。

（3）、设抛物线的顶点为N,在抛物线上是否存在点P,使△ A’AN与△ A’AP的面积相等?,若存在,
请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由。

例 2、（2012攀枝花）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D均在坐标轴上，且
AB=5，sinB=．
（1）求过A．C．D三点的抛物线的解析式；
（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；
（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A．E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；
Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；
OA=AD﹣OD=2，即：
A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣3），得：
2×（﹣3）a=4，a=﹣；
∴抛物线：y=﹣x2+x+4．
（2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直线AB：y1=﹣x﹣；
由（1）得：y2=﹣x2+x+4，则：
，
解得：，；
由图可知：当y1＜y2时，﹣2＜x＜5．
（3）∵S△APE=AE•h，
∴当P到直线AB的距离最远时，S△ABC最大；
若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；
设直线L：y=﹣x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，
﹣x+b=﹣x2+x+4，且△=0；
求得：b=，即直线L：y=﹣x+；
可得点P（，）．
由（2）得：E（5，﹣），则直线PE：y=﹣x+9；新课标第一网
则点F（，0），AF=OA+OF=；
∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=××（+）=．
综上所述，当P（，）时，△PAE的面积最大，为．
针对训练：
1、（2013宜宾）如图，抛物线y1=x2﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C．
（1）请直接写出抛物线y2的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标；
（3）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．
解答：解：（1）抛物线y1=x2﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为（4，﹣1），所以，抛物线y2的解析式为y2=（x﹣4）2﹣1；
（2）x=0时，y=﹣1，
y=0时，x2﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1，
所以，点A（1，0），B（0，﹣1），
∴∠OBA=45°，
联立，
解得，
∴点C的坐标为（2，3），
∵∠CPA=∠OBA，
∴点P在点A的左边时，坐标为（﹣1，0），
在点A的右边时，坐标为（5，0），
所以，点P的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；
（3）存在．
∵点C（2，3），
∴直线OC的解析式为y=x，
设与OC平行的直线y=x+b，
联立，
消掉y得，2x2﹣19x+30﹣2b=0，
当△=0，方程有两个相等的实数根时，△QOC中OC边上的高h有最大值，
此时x1=x2=×（﹣）=，
此时y=（﹣4）2﹣1=﹣，
∴存在第四象限的点Q（，﹣），使得△QOC中OC边上的高h有最大值，此时△=192﹣4×2×（30﹣2b）=0，
解得b=﹣，
∴过点Q与OC平行的直线解析式为y=x﹣，
令y=0，则x﹣=0，解得x=，
设直线与x轴的交点为E，则E（，0），
过点C作CD⊥x轴于D，根据勾股定理，OC==，
则sin ∠COD==， 解得h 最大=×=．
2、如图，抛物线)0(22
32≠--=a x ax y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为()0,4.
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究ABC ∆的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求MBC ∆的面积的最大值，并类型一、最值问题：
类型一、最值问题：
（2013•泸州）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（1，﹣），已知抛物线y=ax 2
+bx+c （a ≠0）经过三点A 、B 、O （O 为原点）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如果点P 是该抛物线上x 轴上方的一个动点，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）
，﹣
可得：
解得：
x ﹣
，解得：，
﹣
）﹣
（﹣AF﹣
（+y y）﹣（
y+x+
（﹣x+
x﹣
（）
时，△，
×+=，
，）
类型二、探索三角形的存在性。

例1、（2013•绵阳）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D．
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
，）
=，
=，
n=．
，，
=，
=，
，），
）时，
，
，（均不合题意舍去）
，
，（均不合题意舍去）
（2013•巴中）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB 的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；
（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；
（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
，）代入得到方程组，
，
OP=，
OC=
﹣
﹣﹣x+2
﹣x+2
x+x+2=，
，）
，）代入得：，
，
x+2
x+2
y=x+2
x+2
﹣，
（﹣，
+=，=，
=
1、）（2013•湘西州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A 点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
（5）、点M 是抛物线上位于第一象限内的动点，当△BCM的面积达到最大值时，求点M的坐标及最大值？（6）、求△BAC的外接圆圆心E点的坐标？
（7）、求证圆E与直线：y=3x/4+4相切。

在该直线上找一点F，使△BCF为直角三角形，求F的坐标？
（8）、l是过点A且平行于BC的直线，在该直线上找一点D，使A,B,C,D所在的四边形为平行四边形，求D的坐标？
（9）、将△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，求点A′和点C′的坐标及线段BC所扫过的区域的面积？（10）、在x轴上找一点G，使△CFG的周长最小，求G点坐标及周长最小值？求此时△CFG的面积？
（11）、在抛物线上找一点H，使△ABH的面积=△AOC的面积.。

求点H的坐标？
（12）、求抛物线关于直线：x=10,对称的抛物线的解析式？
（13）、N是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点N作NP∥AC交线段BC于点P，连接CN，记△CNP的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大
值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．
求出对称轴方程；
）根据
﹣
∴﹣
，
﹣x
x+（+
x x
x x
==
=
=．
=
=
=，
，
）﹣
））
交y轴于点C，且经过点（b－2，2b2－5b－1）.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；
（3）连接AM、DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标.
解：（1）把点（b－2，2b2－5b－1）代入解析式，得
2b2－5b－1=（b－2）2+b（b－2）－3b+3，……………1′
解得b=2.
∴抛物线的解析式为y=x2+2x－3. ……………2′
（2）由x2+2x－3=0，得x=－3或x=1.
∴A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）.
抛物线的对称轴是直线x=－1，圆心M在直线x=－1上. ……………3′
∴设M（－1，n），作MG⊥x轴于G，MH⊥y轴于H，连接MC、MB.
∴MH=1，BG=2. ……………4′
∵MB=MC，∴BG2+MG2=MH2+CH2，
即4+n2=1+（3+n）2，解得n=－1，∴点M（－1，－1）……………5′
（3）如图，由M（－1，－1），得MG=MH.
∵MA=MD，∴Rt△AMG≌RtDMH，∴∠1=∠2.
由旋转可知∠3=∠4. ∴△AME≌△DMF.
若△DMF为等腰三角形，则△AME为等腰三角形. ……………6′
设E（x，0），△AME为等腰三角形，分三种情况：
①AE=AM=5，则x=5－3，∴E（5－3，0）；
②∵M 在AB 的垂直平分线上，
∴MA =ME =MB ，∴E （1，0） ……………7′ ③点E 在AM 的垂直平分线上，则AE =ME .
AE =x +3，ME 2=MG 2+EG 2=1+（－1－x ）2，∴（x +3）2=1+（－1－x ）2，解得x =4
7
-，∴E （4
7-，0）. ∴所求点E 的坐标为（5－3，0），（1，0），（4
7-，0） ……………8′
求出此时M 点的坐标.。