关于两个定积分的解法
总结定积分的求解方法
总结定积分的求解方法定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个闭区间上的积分运算。
在实际问题中，我们经常需要求解定积分，因此掌握定积分的求解方法是非常重要的。
一、基本思想定积分的基本思想是将区间分割成若干个小区间，然后对每个小区间进行近似计算，最后将这些近似值相加得到最终结果。
具体而言，定积分可以通过以下几种方法来求解。
二、几何意义定积分的几何意义是曲线与坐标轴所围成的面积。
当函数为正时，定积分表示曲线所在区间上方的面积；当函数为负时，定积分表示曲线所在区间下方的面积。
因此，定积分可以用来求解曲线所围成的面积问题。
三、定积分的求解方法1. 利用定积分的定义公式根据定积分的定义公式，可以直接计算出定积分的值。
定积分的定义公式为：∫[a,b] f(x)dx = lim(n→∞) ∑[i=1,n] f(xi)Δx其中，[a,b]表示积分区间，f(x)表示被积函数，dx表示微元，xi表示小区间的中点，Δx表示小区间的长度。
通过将区间进行分割，计算每个小区间上的函数值与长度的乘积，再将这些乘积相加，即可得到定积分的近似值。
2. 利用定积分的性质定积分具有一些重要的性质，利用这些性质可以简化定积分的求解过程。
常见的定积分性质有：（1）线性性质：∫[a,b] (f(x)+g(x))dx = ∫[a,b] f(x)dx + ∫[a,b] g(x)dx（2）积分区间的可加性：∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,c] f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx（3）定积分的换元法：∫[a,b] f(g(x))g'(x)dx = ∫[g(a),g(b)] f(u)du通过利用这些性质，我们可以将复杂的定积分转化为简单的定积分，从而简化计算过程。
3. 利用定积分的常用公式对于一些常见的函数，存在一些常用的定积分公式，可以直接使用这些公式来求解定积分。
例如，对于幂函数，可以使用幂函数的积分公式来求解；对于三角函数，可以使用三角函数的积分公式来求解。
第9讲定积分的计算
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例 设f ′′( x)在[ a, b]上连续, 且f (a ) = f (b) = 0,
证明∫ f ′′( x)( x − a )( x − b) dx = 2 ∫ f ( x) dx .
a a
b
b
证 : ∫ f ′′( x)( x − a )( x − b)dx = ∫ ( x − a )( x − b)df ′( x)
e2
e
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9
例 计算定积分
∫
2
−2
x ln(1 + e ) dx
x
解法一 : 令f ( x) = x ln(1 + e x ) 则f (− x) = − x ln(1 + e − x ) = − x[ln e − x + ln(e x + 1)] = x − x ln(e + 1) 确定g ( x), 使f ( x) + g ( x)为奇函数. 要求f (− x) + g (− x) = − f ( x) − g ( x)
a b b a
b
= ( x − a)( x − b) f ′( x) a − ∫ f ′( x)(2x − a − b)dx = −∫ f ′( x)(2x − a − b)dx = −∫ (2x − a − b)df ( x)
a a b b
= − (2x − a − b) f ( x) a − 2∫ f ( x)dx
解 : 原式 ===== ∫ f (u )du
1 1 1 =∫ du + ∫ du u −1 1 + e 0 1+ u 0
= ( u − ln(1 + e )) −1 + ln(1 + u) |1 0
高等数学定积分及重积分的方法与技巧
高等数学定积分及重积分的方法与技巧第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解 原式=∫∑=⋅=∞→1011lim a ani n x n n i dx =aa x a +=++11111. 例2 求极限 ∫+∞→121lim xx n n dx .解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是∫+≤1210x x n ∫≤1n x dx dx .而∫10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得∫+∞→1021lim xx n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba ∫()()∫=b ax g f dx x dx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号）， ().1011112102≤≤+=+∫∫n n nn dx x dx xx x x由于11102≤+≤nx，即211nx+有界，()∞→→+=∫n n dx x n01110，故∫+∞→1021lim x x n n dx =0. 注 （1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R −型可作相应变换.如对积分()∫++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>−∫a dx x ax x a，由于()2222a x a x ax −−=−，可设t a a x sin =−.对积分dx e x ∫−−2ln 021，可设.sin t e x =−（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=∫d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]′，可求出22dc bdac A ++=，22dc adbc B +−=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+′++=∫.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ∫−1211arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ∫−1211arcsin 2tx x t ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==−∫∫.1632π=解法2 ()dx x x x∫−1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=∫u du u u uu u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）∫+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx xI ∫+=2032cos sin cos π；（2）.1cos 226dx e xx ∫−−+ππ解 （1）∫+=2031cos sin sin πxx xdx I)(sin cos cos 2023du u u uu x −+−=∫ππ=.sin cos cos 223∫=+πI dx xx x故dx xx xx I I ∫++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022−=+−∫ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e x x ∫−−+ππ()dxe xdu e uu x x u ∫∫−−+=−+−=2262261cos 1cos ππππ+++=∫∫−−2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x x x.3252214365cos cos 21206226πππππ=×××===∫∫−xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n∫∫=2020cos sin ππ()()()()()()=⋅×−×−−=×−×−−=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。
定积分的计算方法与技巧解析
定积分的计算方法与技巧解析因为有牛顿-莱不尼兹公式（或者微积分基本定理），求定积分差不多就是一个求不定积分或者原函数的问题，再由牛顿-莱不尼兹公式，就可以得到定积分的值。
但是，定积分也有一点点不定积分所没有的计算方法或者技巧，我们简单介绍一下。
第一点，换元必换限，不必回代原来变量。
这是与不定积分所不同的地方。
我们在使用换元法求定积分的时候，不必回代原来的变量，直接利用新的上下限，代入牛顿-莱不尼兹公式即可。
我们看一个例子。
例1：求定积分解：做代换，则,.所以从这里看到，我们换元的时候，积分上下限也换了。
在最后求出新的变量下的原函数后，直接以新变量的上下限代入就可以得到原积分的值，而不必代回原来的变量。
当然，你也可以求出原来变量下的原函数，再代入原来变量的上下限。
不过这样的话就多了一个步骤。
第二点，奇函数在对称区间上的积分为0。
这个结论还有另外一半，就是偶函数在对称区间上的积分，等于两倍正数部分的积分。
只不过，偶函数在对称区间上的积分，我们能直接用到的机会不多，只在一些特殊的情形我们会用到，这里我们不展开讲了。
奇函数在对称区间上的积分为0，这个性质很有用，特别在一些函数看起来找不到原函数的情形下，只要积分区间是对称的，就可以考虑利用这个性质，我们来看一个例子。
例2：求积分解：这样的积分，要想利用牛顿-莱不尼兹公式来求它的值，基本上是不可能的事。
因为我们没有办法求得出它的原函数。
但是很显然，这个函数是个奇函数。
因为都是偶函数，而是奇函数，从而被积函数是奇函数，根据对称区间上奇函数积分为零的结论，我们有最后一点，注意函数的值。
我们在求不定积分的时候，我们并不太在意函数的取值问题，例如开根号，我们总是默认开出来的函数是正的，但是在定积分，这是不一定对的。
我们在开根号等会产生多种结果的时候，就要注意函数的值，否则会产生错误的结果。
我们来看一个例子：例3：求积分分析：我们在根号里提出因子，放到根号外面，就变成了，这个没有问题，因为在上是正的。
求定积分的方法
【知识要点】一、曲边梯形的定义分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限三、定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点()f x [,]a b 上任取]一点 i x 11()n n i i i a f x x n==∆=∑在区间上的定积分.记为：， ()f x [,]a b ()b a S f x dx =⎰其中是积分号，是积分上限，是积分下限，是被积函数，是积分变量，是积分区间，⎰b a ()f x x [,]a b 是被积式. ()f x dx说明：（1）定积分是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即无限()ba f x dx ⎰n S 趋近的常数（时）记为，而不是．S n →+∞()ba f x dx ⎰n S （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③n [],a b []1,i i i x x ξ-∈求和：；④取极限：1()n i i b a f n ξ=-∑()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰四、定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1（定积分的线性性质）； ()()()b baa kf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数性质2（定积分的线性性质）； 1212[()()]()()b b ba a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰a =x 0<x 1<x 2<L <x i -1<x i <L <x n =b b -a n f (ξi )b -将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，每个小区间长度为D x （D x =），在每个小区间[x i -1,x i (i =1,2,L ,n )，作和式：S n =∑如果D x 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式S n 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数求定积分的方法我们把由直线x =a ,x =b ,y =0和曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形.二、曲边梯形的面积的求法性质3（定积分对积分区间的 ()()()()b c ba a c f x dx f x dx f x dx a cb =+<<⎰⎰⎰其中可加性） 五、定积分的几何意义（1）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由[],a b ()f x ()0f x ≥()b a f x dx ⎰直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.,(),0x a x b a b y ==≠=()y f x =（2）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由[],a b ()f x ()0f x ≤()b a f x dx ⎰直线和曲线所围成的曲边梯形的面积的相反数.,(),0x a x b a b y ==≠=()y f x =（3）从几何上看，如果在区间上函数连续，且函数的图像有一部分在轴上方，[],a b ()f x ()y f x =x 有一部分在轴下方，那么定积分表示轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积. x ()ba f x dx ⎰x （4）图中阴影部分的面积S= 12[()()]b a f x f x dx -⎰六、微积分基本定理一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么，()f x [,]a b ()()F x f x '=()()()ba f x dx Fb F a =-⎰这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式.为了方便，我们常把记成，()()F b F a -()b a F x 即.()()()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰ 计算定积分的关键是找到满足的函数.()()F x f x '=()F x 七、公式（1） （2） （3） 1()cx c =1(sin )cos x x =1(cos )sin x x -=( 4) (5)； (6) 11()(1)1n n m x mx n n +=≠-+(ln )a a x x '=x x e e =')(（7） （8） 1(sin 2)cos 22x x ¢=1(ln(x 1))1x ¢+=+ 八、求定积分的方法(1)代数法： 利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求. 学科@网【方法讲评】 方法一微积分基本原理求解（代数法） 使用情景比较容易找到原函数. 解题步骤先利用定积分的性质化简函数，再利用微积分基本原理求解. 【例1】 定积分的值为____________. 11(||1)x dx --ò【点评】本题要先利用定积分的性质化简，再利用微积分基本原理求解.【反馈检测1】 ．220sin 2x dx π=⎰【反馈检测2】若)(x f 在上可导,3)2('2)(2++=x f x x f ,则 ( )R 30()f x dx =⎰A ． B ． C ． D ．1618-24-54 方法二数形结合利用面积求（几何法） 使用情景不容易找到原函数. 解题步骤先利用定积分的性质化简函数，再利用微积分基本原理求解.【例2】计算的结果为（ ）. 10(1dx +⎰A ．1 B ． C ． D ．4π14π+12π+【解析】先利用定积分的几何意义求：令，即 dx x ⎰-1021)10(12≤≤-=x x y 表示单位圆的（如图），即是圆面积，即；所以 )0,10(122≥≤≤=+y x y x 41dx x ⎰-1021414π=.10(1dx +⎰411110210π+=-+⎰⎰dx x dx【点评】（1）本题中函数的原函数不是很容易找到，所以先利用定积分的性质化简原式，1y =再利用数形结合分析解答.（2）利用数形结合分析解答时，主要变量的范围，不要扩大了变量的范围，导致扩大了平面区域.，即表示单位圆的（如图），不是右)10(12≤≤-=x x y )0,10(122≥≤≤=+y x y x 41半圆或整个圆.(3)等价转化是数学里的重要数学思想，它要求我们在每一步的变形和推理时，都必须注意等价变换.【反馈检测3】313)___________dx +=⎰高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第18讲：求定积分的方法参考答案【反馈检测1答案】 142π-【反馈检测1详细解析】 ⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2020202022cos 212cos 212sin ππππdx x dx dx x dx x 2140214|sin 21|22020-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=ππππx x 【反馈检测2答案】 18-【反馈检测3答案】 263π++【反馈检测3详细解析】由于+．313)dx +=ò1⎰313dx ⎰其中值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在从1到3部分与轴所围成的图形1⎰x x 的面积的大小，即图中阴影部分的面积．故其值是S △ACQ +S 扇形ABQ +S △BDQ = 211121212623ππ⨯+⨯⨯+⨯=+又=6，∴ ． 313dx ⎰313)dx +=ò263π故答案为：． 263π++。
有关定积分问题的常见题型解析(全题型)
有关定积分问题的常见题型解析题型一 利用微积分基本定理求积分 例1、求下列定积分：（1）()1331x x dx -+⎰ （2）41dx ⎰（3）⎰--2224x分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。
评注：利用微积分基本定理求定积分dx x f ab )(⎰的关键是找出)()(/x f x F =的函数)(x F 。
如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像， 图像为圆或者三角形则直接求其面积。
题型二 利用定积分求平面图形的面积例2 如图 ，求直线y=2x+3与抛物线y=x 2所围成的图形面积。
分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。
为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。
评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。
关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。
知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法：（1）由三条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、x 轴，一条曲线y=()x f （()x f ≥0）围成的曲边梯形的面积： S ＝()⎰badx x f ，如图1。
（2）由三条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、x 轴，一条曲线y=()x f （()x f ≤0）围成的曲边梯形的面积： S ＝()()⎰⎰-=bab adx x f dx x f ，如图2。
（3）由两条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、两条曲线y=()x f 、y=()x g （()()x g x f ≥）围成的平面图形的面积：S ＝()()⎰-badx x g x f ][，如图3。
题型三 解决综合性问题例3、在曲线2x y =（x ≥0）上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为121。
定积分问题中的“一、二、三”
定积分问题中的“一、二、三”作者：李永强来源：《广西教育·B版》2013年第07期【关键词】定积分微积分数形结合法【中图分类号】G 【文献标识码】A【文章编号】0450-9889（2013）07B-0085-02与传统教材相比，高中数学新课标教材中定积分的内容更突出其概念的本质，重视它的几何意义与物理意义，强调几何直观，淡化形式化的运算。
纵观近几年高考中对定积分知识考察的内容与形式，都较好地体现了这一点，这也与高考数学考纲中“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则一致。
定积分知识是学生进入高等学校继续学习时将面对的重要知识，所以在高考试题中不断出现，命题的形式也不断变化，在知识交汇点上与方程、函数、不等式、二项式定理、概率、线性规划、数列、圆锥曲线等知识组合而形成各种形式的高考题。
学生在高考复习与考试中，面对这么多形式多样、方法灵活的题目，该如何去提高复习效率和解答的准确性呢？笔者分析近几年出现的一些高考题目发现，定积分内容的复习和题目的解答只要抓住了“一、二、三”，就能有效解决。
所谓“一”就是定积分问题常用的数学方法——数形结合思想；“二”就是两种应用：微积分基本定理和定积分运算性质的应用；“三”就是三个关键点：一是找被积函数的原函数，二是确定积分上下限，三是确定定积分的区域。
一、解决定积分问题的主要思想方法是数形结合法定积分的几何意义确定了它是求曲边梯形的面积问题，这为数形结合思想的应用奠定了基础。
所以说，高考中涉及定积分的问题几乎都可用数形结合的思想来处理。
例1.（2013海宁冲刺卷）已知a=[∫][1][-1]（1+）dx，则[（a-）x-]6的展开式中常数项为。
解析：本题的考查目标是定积分的几何意义及二项式定理的应用，解题的基础是定积分的运算。
其中被积函数f（x）=1+较复杂，利用微积分基本定理求被积函数的原函数在高中阶段无法得出。
可把曲线f（x）=1+化为x2+（y-1）2=1，且x∈[-1，1]，f（x）∈[1，2]，应用数形结合方法，得出定积分表示上半圆x2+（y-1）2=1与直线x=-1，x=1和x轴围成的区域的面积（如图1所示）。
几种求定积分的方法
（1）当含有 姨a2-x2 时，可令 x=asint
（1）乘积形式：一般来说两个函数相乘的形式，求不定积分
（2）当含有 姨x2+a2 时，可令 x=atant
时，可以先把其中比较简单的一个积分积到 d 后面，然后把 d 后 面的式子进行换元，就可以转化成直接积分法进行运算了。
（3）当含有 姨x2-a2 时，可令 x=asect 以上三种变换叫做三角代换。
所以这四条曲线所围成的曲边梯形的面积正是以原点为圆心以a为半径的圆的面积的这两种解法和思路相比较显而易见数形结合的方法简单容易得多
108 治学之定积分的方法
文/项慧慧
摘 要：微积分是高等数学的一个重要分支，它是数学的一个基础学科。特别对于高职院校来说，微积分是高职高等数学的主要内 容。而微积分中定积分的运算对于高职其他学科所涉及的数学运算和很多实际问题的解决有重要作用。
可以求任意函数的定积分了。具体步骤是：先求出函数的不定积 示由 x 轴，x=0，x=a 和曲线 y= 姨a2-x2 所围成的曲边梯形的面积。
分，再代值作差。
二、定积分的换元积分法
乙4
例 6.求
dx
0 1+ 姨 x
而曲线 y= 姨a2-x2 就是圆 x2+y2=a2 位于 x 轴上方的部分。所以这四
条曲线所围成的曲边梯形的面积正是以原点为圆心，以 a 为半径
面的尽量配成复合函数的自变量形式，然后把 d 后面的式子进行
［F（x）］ba 。
换元，就可以转化成直接积分法进行运算了。
由上式可知，想求定积分，先要求不定积分，然后再代值作 差。那么不定积分的求法有哪些呢？总结起来大致有以下三种：
（一）直接积分法 直接积分法，就是根据积分公式和法则直接对被积函数进行
定积分的几何意义
单调地变到 b.则
b
a
f
xdx
f
[
(
t
)]
t
dt
几点说明：
“换元必换限”,(原)上(下)限对(新)上(下)限.
从右到左应用上公式,相当于不定积分的第一 换元法(凑微分法).一般不设出新的积分变量, 这时,原积分的上、下限不变.只要求出被积函 数的一个原函数,就可直接应用牛顿-莱布尼 兹公式求出定积分的值.
第一节 定积分的概念
7.1.1 曲边梯形的面积
所谓曲边梯形是由三条直线段和一条曲线所谓成的平 面图形（如下图所示）。
如何求曲边梯形的面积？
求解思路：分割
取近似 求和 取极限
把大的曲边梯形沿着y轴方向 切割成许多窄窄的小曲边梯 形，把每一个小曲边梯形近似 看作一个矩形，用矩形的面积 近似代替小曲边梯形的面积。 把这些近似值加起来，就是大 曲边梯形面积的近似值。显 然，分得越细，近似程度越 高。
牛顿从物理学出发，运用集合方法研究
微积分，其应用上更多地结合了运动学，造 诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出 发，运用分析学方法引进微积分概念、得出 运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿 所不及的。莱布尼兹认识到好的数学符号能 节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功 的关键之一。因此，他发明了一套适用的符 号系统，如，引入dx 表示x的微分，∫表示 积分等等。这些符号进一步促进了微积分学 的发展。1713年，莱布尼兹发表了《微积分 的历史和起源》一文，总结了自己创立微积 分学的思路，说明了自己成就的独立性。
0
b
a
f
(
x
)dx
ba
f
(
x
)dx
初等函数在定义区间内部都是可积的
定积分典型例题精讲
定积分典型例题例1 求33322321lim(2)n n n n n®¥+++ ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．找出被积函数与积分上下限．解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n D =，然后把2111n n n =×的一个因子1n乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim(2)n n n n n ®¥+++ =333112lim ()n n n n n n ®¥+++ =13034xdx =ò． 例2 2202x x dx -ò=_________．解法1 由定积分的几何意义知，2202x x dx -ò等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ³)与x 轴所围成的图形的面积．故2202x x dx -ò=2p ．解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t pp-££），则，则222x x dx -ò=2221sin cos t tdt pp--ò=2221sin cos t tdt p-ò=222cos tdt pò=2p例3 比较12x e dx ò，212x e dx ò，12(1)x dx +ò．分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．解法1 在[1,2]上，有2x x e e £．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e ¢=-．当0x >时，()0f x ¢>，()f x 在(0,)+¥上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又．又1221()()f x dx f x dx =-òò，从而有2111222(1)x x x dx e dx e dx +>>òòò．解法2 在[1,2]上，有2x x e e £．由泰勒中值定理212!x e e x x x =++得1x e x >+．注意到1221()()f x dx f x dx =-òò．因此．因此2111222(1)x x x dx e dx e dx +>>òòò．例4 估计定积分22xxe dx -ò的值．的值．分析 要估计定积分的值要估计定积分的值要估计定积分的值, , , 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．解 设 2()xxf x e -=, , 因为因为因为 2()(21)xxf x ex -¢=-, , 令令()0f x ¢=，求得驻点12x =, , 而而0(0)1f e ==, 2(2)f e =, 141()2f e -=,故124(),[0,2]ef x e x -££Î,从而从而2122422xxee dx e --££ò,所以所以21024222x xe edx e ---££-ò.例5 设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()0g x ³，()0f x >．求lim ()()bn a n n g x f x dx ®¥ò．解 由于()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有最大值M 和最小值m ．由()0f x >知0M >，0m >．又()0g x ³，则，则()bnamg x dx ò()()b n a g x f x dx £ò()bn aM g x dx £ò．由于lim lim 1n nn nm M ®¥®¥==，故，故 lim ()()bn an g x f x dx ®¥ò=()bag x dx ò．例6求sin lim n pnn x dx x+®¥ò, ,p n 为自然数．为自然数． 分析 这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则．用积分中值定理与夹逼准则．解法1 利用积分中值定理利用积分中值定理设 sin ()xf x x=, 显然()f x 在[,]n n p +上连续, 由积分中值定理得由积分中值定理得sin sin n p n x dx p x xx +=×ò, [,]n n p x Î+, 当n ®¥时, x ®¥, 而sin 1x £, 故sin sin lim lim 0n pnn x dx p xx xx +®¥®¥=×=ò．解法2 利用积分不等式利用积分不等式 因为因为sin sin 1ln n pn p n p nn n xx n p dx dx dx x x x n++++££=òòò, 而limln0n n pn®¥+=,所以所以dxxxò34ò34（2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =ò，则可得可得()f x ¢=()()xf t dt xf x +ò．例10 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=ò，则(26)f =_________．解 对等式310()x f t dt x -=ò两边关于x 求导得求导得32(1)31f x x -×=，故321(1)3f x x -=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =． 例11 函数11()(3)(0)x F x dt x t=->ò的单调递减开区间为_________．解 1()3F x x¢=-，令()0F x ¢<得13x>，解之得109x <<，即1(0,)9为所求．为所求．例12 求0()(1)arctan xf x t tdt =-ò的极值点．的极值点．解 由题意先求驻点．于是()f x ¢=(1)arctan x x -．令()f x ¢=0，得1x =，0x =．列表如下：如下：故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．为极小值点．例13 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中处的切线相同，其中2arcsin 0()xt g x e dt -=ò，[1,1]x Î-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n ®¥．分析 两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ¢¢=．解 由已知条件得由已知条件得2(0)(0)0t f g e dt -===ò，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知处切线斜率相同知2(arcsin )2(0)(0)11x x e f g x-=¢¢===-．故所求切线方程为y x =．而．而x(,0)-¥ 0 (0,1)1(1,)+¥()f x ¢- 0＋－3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n®¥®¥-¢=×==-．例14 求 220sin lim(sin )x x xtdtt t t dt®-òò；分析 该极限属于型未定式，可用洛必达法则．型未定式，可用洛必达法则． 解 22000sin lim (sin )xx x tdtt t t dt®-òò=2202(sin )lim (1)(sin )x x x x x x ®-××-=220()(2)lim sin x x x x ®-×-=304(2)lim 1cos x x x ®-×- =2012(2)limsin x x x®-×=0． 注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例15 试求正数a 与b，使等式2201lim1sin xx t dt x b x a t ®=-+ò成立．成立．分析 易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则． 解 20201lim sin x x t dt x b x a t ®-+ò=220lim 1cos x x a x b x ®+-=22001lim lim 1cos x x x b x a x ®®×-+ 201lim 11cos x x b xa ®==-， 由此可知必有0lim(1cos )0x b x ®-=，得1b =．又由．又由2012lim 11cos x x x a a®==-， 得4a =．即4a =，1b =为所求．为所求．例16 设sin 20()sin x f x t dt =ò，34()g x x x =+，则当0x ®时，()f x 是()g x 的（的（ ）． A ．等价无穷小．．等价无穷小． B ．同阶但非等价的无穷小．．同阶但非等价的无穷小． C ．高阶无穷小．．高阶无穷小． D ．低阶无穷小．解法1 由于由于 22300()sin(sin )cos lim lim ()34x x f x x xg x x x ®®×=+ 22cos sin(sin )lim lim 34xxxx xx®®=×+22011lim 33x x x ®==． 故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到的幂级数，再逐项积分，得到sin 223370111()[()]sin sin 3!342xf x t t dt x x =-+=-+ò，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f x g x x x x ®®®-+-+===++． 例17 证明：若函数()f x 在区间[,]a b 上连续且单调增加，则有上连续且单调增加，则有()b a xf x dx ò()2b aa b f x dx +³ò． 证法1 令()F x =()()2x xaaa x tf t dt f t dt +-òò，当[,]t a x Î时，()()f t f x £，则，则()F x ¢=1()()()22x a a x xf x f t dt f x +--ò=1()()22x a x af x f t dt --ò³1()()22xa x a f x f x dt --ò=()()22x a x a f x f x ---0=． 故()F x 单调增加．即单调增加．即 ()()F x F a ³，又()0F a =，所以()0F x ³，其中[,]x a b Î． 从而从而()F b =()()2bbaa ab xf x dx f x dx +-òò0³．证毕．．证毕． 证法2 由于()f x 单调增加，有()[()()]22a b a bx f x f ++--0³，从而，从而 ()[()()]22b a a b a bx f x f dx ++--ò0³． 即()()2b a a b x f x dx +-ò()()22b a a b a b x f dx ++³-ò=()()22b a a b a b f x dx ++-ò=0．故()baxf x dx ò()2baa b f x dx +³ò．例18 计算21||x dx -ò．分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -ò＝0210()x dx xdx --+òò＝220210[][]22x x --+＝52．注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时在使用牛顿－莱布尼兹公式时,,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 33222111[]6dx x x --=-=ò，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界积区间内无界. .例19 计算220max{,}x x dx ò．分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数被积函数在积分区间上实际是分段函数被积函数在积分区间上实际是分段函数212()01x x f x x x ì<£=í££î．解 232122212010011717max{,}[][]23236x x x x dx xdx x dx =+=+=+=òòò 例20 设()f x 是连续函数，且1()3()f x x f t dt =+ò，则()________f x =．分析 本题只需要注意到定积分()ba f x d x ò是常数（,ab 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而1()f t dt ò是常数，记1()f t dt a =ò，则，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==òò．所以所以2101[3]2x ax a +=，即132a a +=， 从而14a =-，所以，所以 3()4f x x =-．例21 设23, 01()52,12x x f x x x ì£<=í-££î，0()()xF x f t dt =ò，02x ££，求()F x , 并讨论()F x 的连续性．的连续性．分析 由于()f x 是分段函数, 故对()F x 也要分段讨论．也要分段讨论． 解 （1）求()F x 的表达式．的表达式．()F x 的定义域为[0,2]．当[0,1]x Î时，[0,][0,1]x Ì, 因此因此23300()()3[]xxxF x f t dt t dt t x ====òò．当(1,2]x Î时，[0,][0,1][1,]x x = , 因此, 则1201()3(52)xF x t dt t dt =+-òò=31201[][5]xt t t +-=235x x -+-，故32, 01()35,12x x F x x x x ì£<ï=í-+-££ïî． (2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x =处，由于处，由于211lim ()lim(35)1x x F x x x ++®®=-+-=, 311lim ()lim 1x x F x x --®®==, (1)1F =． 因此, ()F x 在1x =处连续, 从而()F x 在[0,2]上连续．上连续．错误解答 （1）求()F x 的表达式, 当[0,1)x Î时，时，23300()()3[]xxxF x f t dt t dt t x ====òò． 当[1,2]x Î时，有时，有()()x F x f t dt ==ò(52)x t dt -ò=25x x -．故由上可知故由上可知32, 01()5,12x x F x x x x ì£<ï=í-££ïî． (2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x =处，由于处，由于211lim ()lim(5)4x x F x x x ++®®=-=, 311lim ()lim 1x x F x x --®®==, (1)1F =． 因此, ()F x 在1x =处不连续, 从而()F x 在[0,2]上不连续．上不连续．错解分析 上述解法虽然注意到了()f x 是分段函数，但（1）中的解法是错误的，因）中的解法是错误的，因为当[1,2]x Î时，0()()xF x f t dt =ò中的积分变量t 的取值范围是[0,2]，()f t 是分段函数，11()()()()xxF x f t dt f t dt f t dt ==+òòò才正确．才正确．例22 计算2112211x xdx x -++-ò． 分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解 2112211x x dx x -++-ò=211112221111x x dx dx x x --++-+-òò．由于22211x x +-是偶函数，而211x x+-是奇函数，有112011x dx x-=+-ò, 于是于是2112211x x dx x -++-ò=2102411x dx x+-ò=22120(11)4x x dx x --ò=11200441dx x dx --òò 由定积分的几何意义可知12014x dx p-=ò, 故2111022444411x xdx dx x p p -+=-×=-+-òò．例23 计算3412ln (1ln )e edx x x x -ò．分析 被积函数中含有1x及ln x ，考虑凑微分．，考虑凑微分． 解 3412ln (1ln )e edx x x x -ò=34(ln )ln (1ln )e ed x x x -ò=34122(ln )ln 1(ln )e e d x x x -ò=341222(ln )1(ln )e e d x x -ò=3412[2arcsin(ln )]e e x =6p．例24 计算400sin 1sin xdx x p+ò．解 40s i n 1s i n x dx xp +ò=420sin (1sin )1sin x x dx x p --ò=244200sin tan cos x dx xdx x p p-òò=24420cos (sec 1)cos d x x dx xpp---òò =44001[][tan ]cos x x x p p--=224p -+． 注 此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试．此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试． 例25 计算2202ax ax x dx -ò，其中0a >．解 2202a x ax x dx -ò=2220()ax a x a dx --ò，令sin x a a t -=，则，则2202ax ax x dx -ò=3222(1sin )cosat tdt pp -+ò=3222cos 0atdt p+ò=32a p．注 若定积分中的被积函数含有22a x -，一般令sin x a t =或cos x a t =． 例26 计算022adx x a x+-ò，其中0a >． 解法1 令sin x a t =，则，则22adx x a x +-ò20cos sin cos tdt t tp=+ò201(sin cos )(cos sin )2sin cos t t t t dt t t p++-=+ò201(sin cos )[1]2sin cos t t dt t tp ¢+=++ò []201ln |sin cos |2t t t p =++=4p ． 解法2 令sin x a t =，则，则22adxx a x +-ò=2cos sin cos tdt t t p+ò．又令2t u p=-，则有，则有2cos sin cos t dt t t p+ò=20sin sin cos udu u up+ò．所以，所以，22adx x a x +-ò=22001sin cos []2sin cos sin cos t t dt dt t t t t p p +++òò=2012dt pò=4p ． 注 如果先计算不定积分22dxx a x+-ò，再利用牛顿-莱布尼兹公式求解莱布尼兹公式求解,,则比较复杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．例27 计算ln 513x x xe e dx e -+ò． 分析分析 被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式．被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式．解 设1xu e =-，2ln(1)x u =+，221u dx du u =+，则，则 ln 513x x x e e dx e -+ò=22220(1)241u u u du u u +×=++ò22222200442244u u du du u u +-=++òò 222001284du du u =-=+òò4p -．例28 计算220()xd tf x t dt dx-ò，其中()f x 连续．连续． 分析 要求积分上限函数的导数，要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，因此不能直接求导，必须先换必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．，然后再求导．解 由于由于220()xtf x t dt -ò=22201()2xf x t dt -ò．故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以，所以220()xtf x t dt -ò=201()()2x f u du -ò=201()2x f u du ò， 故22()xd tf x t dt dx -ò=21[()]2x d f u du dx ò=21()22f x x ×=2()xf x ．错误解答220()xd tf x t dt dx -ò22()(0)xf x x xf =-=． 错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xa d x f t dt f x dx¢F ==ò中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．导，而应先换元．例29 计算30sin x xdx pò．分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法． 解3sin x xdx pò30(cos )xd x p=-ò33[(cos )](cos )x x x dx p p=×---ò30cos 6xdx pp=-+ò326p=-． 例30 计算120ln(1)(3)x dx x +-ò． 分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-ò=101ln(1)()3x d x +-ò=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-×--+ò =101111ln 2()2413dx x x-++-ò11ln 2ln324=-． 例31 计算20sin x e xdx pò．分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法． 解 由于2sin x e xdx pò20sin x xde p =ò2200[sin ]cos x x e x e xdx p p=-ò220cos xe e xdx p p=-ò， （（1） 而2cos xe xdx pò20cos x xde p=ò220[cos ](sin )xx e x e x dx p p=-×-ò20sin 1xe xdx p=-ò， （（2） 将（将（22）式代入（）式代入（11）式可得）式可得2sin xe xdx pò220[sin 1]x e e xdx pp=--ò,故2sin xe xdx pò21(1)2e p=+．例32 计算1arcsin x xdx ò．分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解 10arcsin x xdx ò210arcsin ()2x xd =ò221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =×-ò 21021421x dx x p=--ò． （1）令sin x t =，则，则2121x dx x-ò2202sin sin 1sin t d t t p=-ò220sin cos cos ttdt t p=×ò220sin tdt p=ò201cos 22tdt p-==ò20sin 2[]24tt p-4p=． （2）将（将（22）式代入（）式代入（11）式中得）式中得1arcsin x xdx =ò8p ．例33 设()f x 在[0,]p 上具有二阶连续导数，()3f p ¢=且0[()()]cos 2f x f x xdx p¢¢+=ò，求(0)f ¢．分析分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．解 由于[()()]cos f x f x xdx p¢¢+ò00()sin cos ()f x d x xdf x pp¢=+òò[]0000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx pppp ¢¢¢=-++òò ()(0)2f f p ¢¢=--=．故 (0)f ¢=2()235f p ¢--=--=-． 例3434（（97研） 设函数()f x 连续，连续，10()()x f xt dt j =ò，且0()limxf x A x®=（A 为常数）， 求()x j ¢并讨论()x j ¢在0x =处的连续性．处的连续性．分析 求()x j ¢不能直接求，因为10()f xt dt ò中含有()x j 的自变量x ，需要通过换元将x从被积函数中分离出来，然后利用积分上限函数的求导法则，求出()x j ¢，最后用函数连续的定义来判定()x j ¢在0x =处的连续性．处的连续性．解 由0()lim x f x A x®=知0lim ()0x f x ®=，而()f x 连续，所以(0)0f =，(0)0j =． 当0x ¹时，令u xt =，0t =，0u =；1t =，u x =．1dt du x=，则，则()()xf u du x xj =ò，从而从而2()()()(0)xxf x f u dux x xj -¢=¹ò．又因为02()()(0)()limlimlim 022xx x xf u du x f x A x x x j j ®®®-===-ò，即(0)j ¢=2A．所以．所以()x j ¢=02()(),0,02xxf x f u du x x Ax ì-ï¹ïíï=ïîò． 由于由于022000()()()()lim ()limlim lim xxx x x x xf x f u duf u du f x x xx x j ®®®®-¢==-òò=(0)2A j ¢=． 从而知()x j ¢在0x =处连续．处连续．注 这是一道综合考查定积分换元法、这是一道综合考查定积分换元法、对积分上限函数求导、对积分上限函数求导、对积分上限函数求导、按定义求导数、按定义求导数、按定义求导数、讨论函数讨论函数在一点的连续性等知识点的综合题．而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误：在一点的连续性等知识点的综合题．而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误：（1）直接求出）直接求出02()()()xxf x f u du x xj -¢=ò， 而没有利用定义去求(0)j ¢，就得到结论(0)j ¢不存在或(0)j ¢无定义，从而得出()x j ¢在0x =处不连续的结论．处不连续的结论．（2）在求0lim ()x x j ®¢时，不是去拆成两项求极限，而是立即用洛必达法则，从而导致时，不是去拆成两项求极限，而是立即用洛必达法则，从而导致00()()()1lim ()lim ().22x x xf x f x f x x f x x j ®®¢+-¢¢== 又由0()limx f x A x®=用洛必达法则得到0lim ()x f x ®¢=A ，出现该错误的原因是由于使用洛必达法则需要有条件：()f x 在0x =的邻域内可导．的邻域内可导．但题设中仅有但题设中仅有()f x 连续的条件，连续的条件，因此上面出现因此上面出现的0lim ()x f x ®¢是否存在是不能确定的．是否存在是不能确定的．例3535（（00研） 设函数()f x 在[0,]p 上连续，且上连续，且()0f x dx p=ò，()cos 0f x xdx p=ò．试证在(0,)p 内至少存在两个不同的点12,x x 使得12()()0f f x x ==．分析 本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数0()()xF x f t dt =ò，找出()F x的三个零点，由已知条件易知(0)()0F F p ==，0x =，x p =为()F x 的两个零点，第三个零点的存在性是本题的难点．零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，另一种方法是利用函数的单调性，另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明用反证法证明()f x 在(0,)p 之间存在两个零点．之间存在两个零点．证法1 令0()(),0xF x f t dt x p =££ò，则有(0)0,()0F F p ==．又．又00()cos cos ()[cos ()]()sin f x xdx xdF x xF x F x xdx pppp ==+òòò 0()sin 0F x xdx p==ò，由积分中值定理知，必有(0,)x p Î，使得，使得()sin F x xdx pò=()sin (0)F x x p ×-．故()sin 0F x x =．又当(0,),sin 0x p x ι，故必有()0F x =．于是在区间[0,],[,]x x p 上对()F x 分别应用罗尔定理，知至少存在分别应用罗尔定理，知至少存在1(0,)x x Î，2(,)x x p Î， 使得使得12()()0F F x x ¢¢==，即12()()0f f x x ==．证法2 由已知条件0()0f x dx p=ò及积分中值定理知必有及积分中值定理知必有10()()(0)0f x dx f px p =-=ò，1(0,)x p Î，则有1()0f x =．若在(0,)p 内，()0f x =仅有一个根1x x =，由0()0f x dx p=ò知()f x 在1(0,)x 与1(,)x p 内异号，不妨设在1(0,)x 内()0f x >，在1(,)x p 内()0f x <，由，由()cos 0f x xdx p=ò，()0f x dx p=ò，以及cos x 在[0,]p 内单调减，可知：内单调减，可知： 100()(cos cos )f x x dx px =-ò=11110()(cos cos )()(cos cos )f x x dx f x x dx xpx x x -+-òò0>．由此得出矛盾．故()0f x =至少还有另一个实根2x ，12x x ¹且2(0,)x p Î使得使得12()()0.f f x x ==例36 计算2043dxx x +¥++ò．分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解 2043dx x x +¥++ò=20lim 43t t dx x x ®+¥++ò=0111lim ()213t t dx x x ®+¥-++ò =011lim [ln ]23t t x x ®+¥++=111lim (ln ln )233t t t ®+¥+-+=ln 32． 例37 计算322(1)2dx x x x+¥--ò．解322(1)2dx x x x+¥--ò223223sec tan 1sec sec tan (1)(1)1dxx d x x p pq qqq q q+¥=-=---òò233cos 12d pp q q ==-ò． 例38 计算42(2)(4)dx x x --ò．分析 该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当32(2)(4)dxx x --ò和43(2)(4)dx x x --ò均收敛时，原反常积分才是收敛的．均收敛时，原反常积分才是收敛的．解 由于由于32(2)(4)dx x x --ò=32lim (2)(4)aa dx x x +®--ò=322(3)lim 1(3)aa d x x +®---ò=32lim[arcsin(3)]a a x +®-=2p．43(2)(4)dx x x --ò=34lim (2)(4)bb dx x x -®--ò=324(3)lim 1(3)bb d x x -®---ò=34lim[arcsin(3)]b b x -®-=2p ．所以所以 42(2)(4)dx x x --ò22ppp =+=．例39 计算05(1)dx x x +¥+ò．分析 此题为混合型反常积分，积分上限为+¥，下限0为被积函数的瑕点．解 令x t =，则有，则有5(1)dx x x +¥+ò＝5222(1)tdt t t +¥+ò＝50222(1)dt t +¥+òò，再令tan t q =，于是可得，于是可得 522(1)dtt +¥+ò＝25022tan (tan 1)d pq q +ò＝2250sec sec d p q q qò＝230sec d pq q ò ＝320cos d p q q ò＝220(1sin )cos d pq q q -ò＝220(1sin )sin d pq q -ò＝3/201[sin sin ]3p q q -＝23．例40 计算214211x dx x-++ò． 解 由于由于221114222222111()11112()d x xx x dx dx xx x x x ---+-+==+++-òòò，可令1t x x=-，则当2x =-时，22t =-；当0x -®时，t ®+¥；当0x +®时，t ®-¥；当1x =时，0t =；故有；故有2114222211()()11112()2()d x d x x x x dx xx x xx----+=+++-+-òòò02222()22d t dtt t +¥--¥=+++òò 21(arctan )22p =+ ． 注 有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．例41 求由曲线12y x =，3y x =，2y =，1y =所围成的图形的面积．图形的面积．分析 若选x 为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5－1所示，此做法留给读者去完成．此做法留给读者去完成．下面选取以下面选取以y 为积分变量．变量．解 选取y 为积分变量，其变化范围为[1,2]y Î，则面积元素为素为dA =1|2|3y y dy -=1(2)3y y dy -． 于是所求面积为于是所求面积为211(2)3A y y dy =-ò=52．例42 抛物线22y x =把圆228x y +=分成两部分，求这两部分面积之比．两部分面积之比．解 抛物线22y x =与圆228x y +=的交点分别为(2,2)与(2,2)-，如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两个部分1A ，2A ，记它们的面积分别为1S ，2S ，则有，则有图5－21S =2222(8)2y y dy ---ò=24488cos 3d pp q q --ò=423p +，218S A p =-=463p -，于是，于是12S S =423463p p +-=3292p p +-． 2A 1A 12(2,2)-oxy22y x=228x y +=2-1-121-2-2x y =1y =3y x =o 1-3-321211-2-xy2y =图5－1342-例43 求心形线1cos r q =+与圆3cos r q =所围公共部分的面积．部分的面积．分析 心形线1cos r q =+与圆3cos r q =的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．可．解 求得心形线1cos r q =+与圆3cos r q =的交点为(,)r q =3(,)23p±，由图形的对称性得心形线1cos r q =+与圆3cos r q =所围公共部分的面积为所围公共部分的面积为图5－3A =223203112[(1cos )(3cos )]22d d ppp q q q q ++òò=54p ．例44 求曲线ln y x =在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成平面图形的面积最小（如图5－4所示）．所示）．分析 要求平面图形的面积的最小值，要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表必须先求出面积的表达式．解 设所求切线与曲线ln y x =相切于点(,ln )c c ，则切线方程为1ln ()y c x c c-=-．又切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成的平面图形的面积为所围成的平面图形的面积为图5－4A =621[()ln ln ]x c c x dx c -+-ò=44(1)4ln 46ln 62ln 2c c-++-+． 由于由于dA dc =2164c c -+=24(4)c c--， 令0dA dc =，解得驻点4c =．当4c <时0dA dc <，而当4c >时0dAdc>．故当4c =时，A 取得极小值．由于驻点唯一．故当4c =时，A 取得最小值．此时切线方程为：取得最小值．此时切线方程为：11ln 44y x =-+．例45 求圆域222()x y b a +-£（其中b a >）绕x 轴旋转而成的立体的体积．成的立体的体积．解 如图5－5所示，选取x 为积分变量，得上半圆周的方程为222y b a x =+-，下半圆周的方程为下半圆周的方程为221y b a x =--．图5－5则体积元素为则体积元素为(0,)b o()(0)x y b a b a +-=>>xy1xo y23121-45673ln y x=2x =6x =(,ln )c c 3p q =3cos r q=3211-xoy121-1cos r q=+dV =2221()y y dx p p -=224b a x dx p -．于是所求旋转体的体积为．于是所求旋转体的体积为V =224aa ba x dx p --ò=2208ab a x dx p -ò=284a b p p ×=222a b p ．注 可考虑选取y 为积分变量，请读者自行完成．为积分变量，请读者自行完成． 例4646（（03研） 过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D ．（1）求D 的面积A ；（2）求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V ． 分析 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A ，旋转体积可用大的立体体积减去小的立体体积进行图5－6计算，如图5－6所示．所示．解 （1）设切点横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点00(,ln )x x 处的切线方程是处的切线方程是0001ln ()y x x x x =+-．由该切线过原点知0ln 10x -=，从而0x e =，所以该切线的方程是1y x e=．从而D 的面积的面积1()12y e A e ey dy =-=-ò．（2）切线1y x e=与x 轴及直线x e =围成的三角形绕直线x e =旋转所得的旋转体积为旋转所得的旋转体积为2113V e p =，曲线ln y x =与x 轴及直线x e =围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体积为旋转所得的旋转体积为1222011()(2)22y V e e dy e e p p =-=-+-ò．因此，所求体积为因此，所求体积为212(5123)6V V V e e p =-=-+． 例47 有一立体以抛物线22y x =与直线2x =所围成的图形为底，而垂直于抛物线的轴的截面都是等边三角形，如图5－7所示．求其体积．其体积．解 选x 为积分变量且[0,2]x Î．过x 轴上坐标为x 的点作垂直于x 轴的平面，与立体相截的截面为等边三角形，其底边长为22x ，得等边三角形的面积为得等边三角形的面积为图5－7()A x =23(22)4x =23x ． 于是所求体积为于是所求体积为 V =2()A x dx ò=223xdx ò=43．xyzo22y x=2x =ln y x=ln y x=yxo12311y xe=例4848（（03研） 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k ，0k >），汽锤第一次击打进地下a （m ），根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r （01r <<）．问：．问：（1）汽锤打桩3次后，可将桩打进地下多深？次后，可将桩打进地下多深？（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米）表示长度单位米） 分析 本题属于变力作功问题，可用定积分来求．本题属于变力作功问题，可用定积分来求．解 （1）设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为n W （1n =，2， ）．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以，所以 12211022x k k W kxdx x a ===ò，2122222211()()22x x k kW kxdx x x x a ==-=-ò．由21W rW =得22221x x ra -=，即，即 222(1)x r a =+， 3222223323()[(1)]22x x k kW kxdx x x x r a ==-=-+ò．由2321W rW r W == 得22223(1)x r a r a -+=，即，即 2223(1)x r r a =++．从而汽锤击打3次后，可将桩打进地下231x a r r =++（m ）．（2）问题是要求lim n n x ®¥，为此先用归纳法证明：11n n x a r r +=+++ ．假设11n n x r r a -=+++ ，则，则12211()2n nx n n nx k Wkxdx x x +++==-ò2121[(1...)]2n n kx r r a -+=-+++．由2111...n n n n W rW r W r W +-====，得21221(1...)n n n x r r a r a -+-+++=．从而从而11n n x r r a +=+++ . 于是111lim lim 11n n n n r a x a r r++®¥®¥-==--．1r -1 5x-=5003roxyx dx+x(0,3)A(10,1)B。
定积分计算
第三章 一元积分学 第二节 定积分计算及其他一：定积分计算。
定积分与不定积分有密切联系（牛顿－莱布尼兹定理揭示了其联系）。
但两者是两个完全不同的概念，有着很大的区别，从最后结果上看前者是一个数值而后者是一簇函数，而且定积分有明显的几何、物理等方面的实际意义，其内容非常丰富。
我们首先要熟悉定积分的概念、性质、几何意义。
定积分的计算方法也可分为基本方法和特殊方法。
基本方法涉及牛－莱公式、换元法、分部法，其基本步骤和思路与不定积分有很多相似的地方，比如恒等变形、一些常用的凑微分、换元和分部积分的典型类型和原则。
但与不定积分有很多不同的地方，比如定积分的结果与积分表达式中所用的符号（积分变量）无关而不定积分的结果必须是一簇以原积分变量为自变量的函数；定积分在换元时除了要换积分表达式同时还要换积分上、下限，定积分换元一定要符合换元公式的条件（否则就可能得出错误的结果）；周期函数、分段函数、奇偶函数等函数的定积分有其自身的特点，等等。
例1． 求下列定积分 (1)dx x a x a a⎰+-0arctan (2)dx x xx ⎰-+++ππ221032cos 1)11(解(1)分析:思路一：被积函数中有比较复杂的因子xa xa +-arctan不好直接处理，可试一下将此因子换成一个变量：=t xa x a +-arctan。
思路二：被积函数可视为两类不同函数：幂函数10=x 和反三角函数xa xa +-arctan的积，可试一试分部法，按前面介绍的用分部法的原则应该是1与dx 结合凑出dx dv =。
思路三：将x a x a +-变形为xa x a +-22，那么容易想到作三角代换：t a x cos =．思路四：被积表达式中有x a xa +-，可试一试换元xa xa t +-=．事实上以上几种思路都可行，下面给出按前两种思路的解答过程。
方法一：令x a x a t +-=arctan ，则t a t t a x 2cos tan 1)tan 1(22=+-=，0=x 时4π=t ，a x =时0=t ⎰⎰⎰⎰+-=-==+-4040400402cos |2cos )2cos ()2cos (arctan ππππtdt a t at t a td t a td dx x a x a a2a = 方法二： ⎰⎰-++-=+-a a adx xa x x a x a x dx x a x a 022002|arctan arctan2|21)(4102202222a x a x a x a d aa =--=---=⎰（２）分析：首先可以看出积分区间是关于原点对称的区间，此时应先看一看被积函数有无奇偶性，本题中被积函数无奇偶性，但是是奇函数与偶函数的和。
定积分及其计算方法
π
4
4
0
2 +[−cos x−sin x] π 4
π
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例11. 选择一个常数 c , 使
解: 令 t = x +c, 则
=∫
b+c
a+c
t cos t dt
99
因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使 即
a +c = −(b+c) a +b c =− 2
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(03考研)
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f (2x −a) 存 , ∴ lim f (2x −a) = 0, 在 证: (1) Q lim x −a x→ + a x→ + a 由 f (x)在[a, b]上连续, 知 f (a) = 0. 又f ′(x) > 0 所以f (x) ， 在(a, b)内单调增, 因此
π
π
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n n n +L+ 2 2 ). 求极限 lim ( 2 + 2 2 n→ n +1 n + 2 ∞ n +n 练习: 练习: 1. 1 1 1 1 n π = dx= 解：原式 = lim ∑ 2 ∫0 2 n→ n i= 1+( i ) ∞ 4 1+ x 1 n
2 2 2 + 1 +L + 1 ). 2. 求极限 lim ( n→ ∞ n +1 n + n+ n 2 i i 1 n n 1 n n lim 提示： 提示 lim ∑2 ≤ 原式 ≤ n→∞n ∑2 n→ n +1 ∞ i= 1 i= 1
定积分求解方法总结
定积分求解方法总结
定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解曲线所围成的面积或者曲线下方
的区域的面积。
在求解定积分时，我们可以采用多种方法来得到准确的结果。
首先，最常用的方法是使用基本积分公式。
这些基本积分公式包括多项式函数、三角函数和指数函数的积分公式。
通过熟练掌握这些公式，我们可以将原函数转化为定积分的形式，并进行积分运算。
其次，我们可以利用换元法来求解定积分。
换元法是一种将变量变换为新的变
量的方法，从而简化积分运算的技巧。
通过选择适当的变换，我们可以将复杂的被积函数转化为简单的形式，从而更容易求解定积分。
另外，分部积分法也是解决定积分问题的一种常用方法。
当被积函数是乘积形
式时，我们可以通过分部积分法将问题转化为求解两个函数的积分的形式。
这种方法可以将原来的积分式子进行分解，从而得到更简单的形式，进而求解定积分。
还有一种方法是使用几何意义来理解定积分。
定积分可以看做是曲线下方区域
的面积，通过将区域划分为一系列无穷小的矩形，我们可以估计曲线下方的面积，并通过求和的方法得到准确的结果。
总之，求解定积分的方法有很多种，我们可以根据具体的问题选择合适的方法。
通过熟悉基本积分公式、掌握换元法、分部积分法以及理解几何意义，我们可以准确地求解各种形式的定积分。
这些方法不仅在理论上具有重要意义，也在实际问题的求解中起到关键的作用。
定积分的计算方法与应用
定积分的计算方法与应用定积分是微积分中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。
本文将介绍定积分的计算方法以及它在实际问题中的应用。
一、定积分的计算方法定积分是求解曲线下面的面积或者曲线上某一区间的长度的数学工具。
在计算定积分时，我们可以使用以下方法：1. 几何解法：当曲线形状较简单且易于几何分析时，可以采用几何解法。
例如，计算一个常数函数在给定区间上的定积分，可以直接计算该区间内的矩形面积。
2. 分割求和法：定积分可以通过将曲线分割为若干个小区间，在每个小区间内取样点，并计算每个小区间的面积或长度，再将这些结果求和得到近似解。
随着小区间的数量增加，这种方法的近似解将逐渐接近准确值。
3. 定积分的定义：根据数学定义，定积分可以通过极限求和的方式得到准确解。
该方法需要将曲线分割为无穷多个微小的小区间，并进行求和。
具体的计算步骤可以参照定积分的定义公式。
二、定积分在实际问题中的应用定积分作为一种数学工具，在许多实际问题的求解中起到了重要作用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何应用：定积分可以用于计算曲线下的面积，例如求解两条曲线之间的面积或计算曲线所围成的区域的面积。
这在建筑设计、地理测量等领域中有广泛应用。
2. 物理学应用：定积分可以用于计算物体的质量、质心、转动惯量等物理量。
例如，在力学中，通过计算质点沿某一曲线的运动轨迹所做的功，可以使用定积分求得。
3. 统计学应用：定积分可以应用于计算概率密度函数下的概率。
在统计学中，通过计算概率密度曲线下的面积，可以得到某一区间内事件发生的概率。
4. 经济学应用：定积分可以用于计算经济学中的消费总额、产出总额等指标。
例如，计算某一产品的总销售额可以通过对销售函数进行定积分得到。
5. 工程学应用：定积分可以应用于计算工程中的功耗、能量损失等问题。
例如，计算电路中的功耗可以通过对电流和电压的乘积进行定积分来求解。
在实际问题中，我们可以根据具体情况将问题转化为曲线的面积或长度的计算，然后应用定积分的方法进行求解。
定积分的计算方法
则F[ (t )] 是 f [ (t )] (t )的一个原函数, 从而
f [ ( t )] ( t )dt F [ ( t )]
由此可得
F [ ( )] F [ ( )] F (b) F (a )
b
a
f ( x )dx f [ (t )] (t )dt
证
b
a
f ( x )dx f [ (t )] (t )dt
设F(x)是ƒ(x)的一个原函数, 则
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
因为当 x ( t ) 时, 有 F ( x) F (t ) , 则有复合函数求导法 则, 有
d F [ ( t )] F [ ( t )] ( t ) f [ ( t )] ( t ) dt
§ 定积分的计算方法
一. 换元积分法 二. 分部积分法
由牛顿—莱布尼茨公式知: 计算定积分
b
a
f ( x )dx 的关键在
于求出ƒ(x)在[a, b]上的一个原函数F(x); 从而不定积分的换元 积分法和分部积分法在求定积分时仍适用. 本节讨论在一定 条件下, 如何利用换元积分法和分部积分法计算定积分.
1 2
2
1
1 ln 2 2
注 如果不明确写出新的变量, 则定积分的上、下限就不需要 变更. 如
1 x 1 1 2 2 ln 1 x dx d( x 1) 2 0 1 x2 0 2 2 1 x
1
1
1
0
1 ln 2 2
例4
计算 I 0 sin3 x sin5 xdx
定积分的求解方法及其应用
定积分的求解方法及其应用摘要：在数学分析这门课程里,定积分是最普遍而又重要的内容之一,同时也是数学研究中的重要工具,随着数学在生活中的广泛应用,定积分的相关解法和应用所蕴藏的巨大潜力越来越引起人们的关注.本论文从定积分的基本理论出发,系统阐述了牛顿莱布尼茨公式、换元法、分部积分法、凑微分法等几种常见的求解方法,并列举了相关的例子,更直观的了解求解定积分的方法的精髓.另外本文又介绍了定积分在数学、物理学和经济学当中的应用,实现了定积分在实际生活中的应用.通过这一系列的总结,可以进一步提升对定积分的认识,为以后的学习奠定了基础.关键词：定积分；求解方法；应用一、定积分的求解方法1.1 定积分概念定义1 不妨设在闭区间[m ,n ]中，不包含两个端点，共有1-k 个点,按照大小分别为m =0x <1x <2x <…<1-k x <k x =n ,这些点将闭区间[m ,n ]分割为大小不一的子区间，共有k 个，用i ∆表示这些子区间，即i ∆=[1-i x ,i x ],i =1,2, …,k 。
可以将k x x x ......,10点或[]n i xi x i i ......12,,1==∆-子区间视为分割了闭区间[m ,n ]，令集合=A {0x ,1x ,…,k x }或{1∆,2∆,…,k ∆}.定义2 假设函数g 的定义域为 [m ,n ]。
将区间[m ,n ]分割为k 个，得分割区间的集合=A {1∆,2∆,…,k ∆}，在区间i ∆上随意取点i ψ，即i ψ∈i ∆,i =1,2, …,k ，将该点函数值与自变量之差做乘积，累次相加得()iki ix g ∆∑=1ψ，该式是函数g 在定义域[m ,n ]上的积分和.定义3 假设函数g 的定义域为 [m ,n ]，S 是给定的实数。
假如总能找到某个的正数θ，以及任何正数σ，在定义域 [m ,n ]进行任意大小的分割A ，并且在分割出来的区间中随意选择一个点组成集合{i φ}，当A <θ时，存在σφ<-∆∑=S xg ni ii1)(，则函数g在定义域[m ,n ]上可积，即⎰=nmdx x g S )(。
定积分的求法1
定积分的求法陕西省西乡县第二中学:王仕林 邮编:723500定积分是新课标北师大版选修教材系列2-2中的内容之一,它是新课标新增加的内容.它与导数有密切的关系,在物理学中,物体作变速运动的位移,是运用定积分求值的主要方法.;因此,定积分计算是定积分这一章的重要环节.如何对定积分进行运算？下面笔者与大家共同探讨求定积分的常用方法。
一、定义法（*）求定积分的值： 例1：求 1231l i ms i n s i n s i n s i n n n n n n nn ππππ→∞-⎡⎤+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦分析：本题表面上看是一个求极限问题，实质上是求定积分的值。
原因是： 1231limsin sin sin sin n n n n n n n ππππ→∞-⎡⎤+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦=1231sin sin sin sin n n n n n n n n n πππππππππ-⎡⎤+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦ = 11sin ni i n n πππ=∑ 而1sin ni inn ππ=∑表示正弦曲线sin y x =在[]0,π上等分成n 个小区间；sin in n ππ表示每个小区间1,i i nn ππ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上矩形面积，当n →∞时，1s i n ni inn ππ=∑s i n 0x d x π→⎰，即11sin sin 0n i i xdx n n n πππ=→∑⎰ ∴ 123112l i ms i n s i n s i n s i n s i n 0n n x d x n n n nn πππππππ→∞-⎡⎤+++⋅⋅⋅+==⎢⎥⎣⎦⎰二、公式法求定积分的值：所谓公式即为微积分基本定理（()()()()bbf x dx F x dx F b F a a a '==-⎰⎰） （*）例2、求21()1x x e dx x+-⎰解：原式= /2221211ln ln |122x x x e x dx x e x ⎡⎤⎛⎫+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰ 2221112ln 21ln122e e ⎛⎫=⨯+--⨯+- ⎪⎝⎭=23ln 22e e +-- 三、性质法求定积分的值：所谓性质法，即定积分的和差性质（*），即（1）[]()()()()b b bf xg x dx f x dx g x dx a a a ±=±⎰⎰⎰（2）()()b bkf x dx k f x dx a a=⎰⎰（3）()()()b c b f x dx f x dx f x dx a a c =+⎰⎰⎰（4）若()f x 在[],a a -上是奇函数，则()0af x dx a=-⎰；若()f x 在[],a a -上是偶函数，则()2()0a a f x dx f x dx a =-⎰⎰例3、（1）求()22312x dx +-⎰的值。
经典定积分一例(2)
⎰⎰ ⎰1经典积分一题：1ln(1+ x )求值： I = ⎰0 x 2+1dx . π【解法一】令 x = tan t ，则dx = sec 2tdt ，于是 I = 4 ln(1+ tan t )dt .再令u =π- t ，则4 0 ⎡ ⎛ π ⎫⎤ π ⎛ 1- tan u ⎫ π2I = ⎰π ln ⎢1+ tan - u ⎪⎥(-du ) = ⎰4ln 1+⎪du = ⎰4 lndu4 ⎣⎝ 4⎭⎦ππ⎝ 1+ tan u ⎭1+ tan u= 4ln 2du - I 0 = ln 2 - I 4故2I = π ln 2 ， I = 4 ππln 2 . 8注 I = 4 ln(1+ tan t )dt 也可以采用如下方法计算.0 πsin t + cos tππ ⎛ π ⎫ πI = ⎰4 ln dt = ⎰4dt + ⎰4 ln cos - t ⎪dt - ⎰4 ln cos tdt0 cos t 0 π0 ⎝ 4 ⎭对上式第二个积分作变量代换u = - t ，得4π ⎛ π ⎫ π⎰4ln cos - t ⎪dt = ⎰4 ln cos udu 0 ⎝ 4 ⎭π π π π 故 I = ⎰4dt + ⎰4ln cos udu - ⎰4ln cos tdt = ln 2 .0 0 0 8【解法二】令 x =1- u，则dx =- 2du ，1+ u(1+ u )2ln ⎛1+ 1- u ⎫⎪ I = 2 ⎝ 1+ u ⎭ ⋅ 1du = 1 ln 2 - ln(1+ u ) du⎰⎛ 1- u ⎫21+1+ u ⎪ (1+ u )2 ⎰0 1+ u 2 = ln 2 ⋅ ⎝ 1 du ⎭ - 1 ln(1+ u ) du = π ln 2 - I故 I =πln 2 .8⎰01+ u21⎰1+ u 24【解法三】 I = ⎰ln(1+ x )d arctan x= [arctan x ln(1+ x )]1 - 1 arctan x dx⎰1+ x⎰0⎰ ⎰ ⎰ 11 π1arctan x= ln 2 - 4 1+ xt 1 arctan x dx . 1 π tdt 1 π tdt令 x = tan ，则 ⎰ dx = ⎰2= ⎰22 0 1+ x 4 0 cos 2 t + 2 sint cos t 2 2 2 0 1+ cos t + sin tπ πtdt π π du π udu 令t = - u ，则 ⎰2= ⎰2 -⎰2 ， 2 0 1+ cos t + sin t 2 0 1+ cos u + sin u 0 1+ cos u + sin uπtdt π π du故 2= 01+ cos t + sin t 2.4 01+ cos u + sin uuπdu1dv再令v = tan ，则⎰2= ⎰ = ln 2 ，20 1+ cos u + sin u 0 1+ v1arctan xπ πudu π从而⎰1+ x π dx =π 2= 8 01+ cos u + sin u πln 2 ， 8所以 I = ln 2 - 4 ln 2 = 8 ln 2 .81 x【解法四】因为ln(1+ x ) = ⎰0 1+ xydy ，所以I = 1 dx 1 x1 1x dy dy dx⎰01+ x2⎰0 1+ xy⎰0⎰0(1+ x2)(1+ xy )= ⎰1⎡1ln 2 +π y - ln(1+ y )⎤dy = π ln 2 - I故 I = 01+ y πln 2 .8⎢⎣ 24⎦⎥41ln(1+ αx ) 【解法五】令 I (α) =dx ，则 I = I (1), I (0) = 0 ，且 I (α) 满足对α 的求导条件，⎰1+ x 2故 I '(α) =1xdx = 1 ⎡- ln(1+ α) + 1 ln 2 + π α⎤ .⎰0(1+ x2)(1+ αx )上式对α 从 0 到 1 积分，得1+ α2 ⎢⎣24 ⎥⎦11ln(1+ α) ⎡1 π ⎤I (1) - I (0) = -dα + ln 2 ⋅ arctan α + ln(1+ α2 )⎰1+ α2π⎢⎣ 28⎥⎦0所以 I = I (1) =2 ==πln 2 . 8ln 2 -I (1) ，43 245 2 4 5 2 3 ⎝ 4 3 46 8 yln(1+ xy )【解法六】令 I ( y ) =dx ，则I = I (1), I (0) = 0 ，且 I ( y ) 满足对 y 的求导条件， ⎰'ln(1+ y 2)1+ x 2yxln(1+ y 2 )y arctan y于是 I ( y ) =1+ y 2+ ⎰(1+ x 2 )(1+ xy ) dx = 2(1+ y 2 ) +1+ y 2.上式两边从 0 到 y 积分，得I ( y ) = 1 ⎡⎰y ln(1+ t 2)d arctan t + ⎰y arctan td ln(1+ t 2 )⎤ = 1 ln(1+ y 2 ) ⋅ arctan y2 ⎢⎣ 0 0 1 ln(1+ x ) π⎦⎥ 2 所以 I = ⎰0 x 2+1 dx = I (1) = ln 2 . 8【解法七】由ln(1+ x ) ，1 1+ x2 的幂级数展开式知ln(1+ x ) = x - 1 x 2 + 1 x 3 - 1x 4 + (-1 < x ≤ 1) （1）2 3 411+ x 2= 1- x 2 + x 4 - x 6 + x 8 + (-1 < x < 1) （2） 故由幂级数乘法法则知ln(1+ x ) = x - 1x 2- ⎛1- 1 ⎫x 3 + ⎛ 1 - 1 ⎫x 4 +⎛- 1 + 1⎫x 5 - ，1+ x 2⎪ ⎪ 2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 1 ⎪ ⎝ ⎭上式两边对 x 从 0 到 1 积分，得1ln(1+ x ) dx = 1 - 1 ⨯ 1 - ⎛1- 1 ⎫ ⨯ 1 + ⎛ 1 - 1 ⎫ ⨯ 1 +⎛- 1 + 1 ⎫ ⨯ 1 -⎰0 x 2+12 2 3⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎭ ⎝ ⎭ 5 ⎝ ⎭= ⎛1 - 1 + 1 - 1 + ⎫⎛- 1 + 1 - 1+ ⎫⎪1 ⎪ ⎝ ⎭⎝ 3 5 7 ⎭由arctan x = x - x 3 + x 5 5 - x 7 7 + (-1 < x ≤ 1) 知π = 1- 1 + 1 - 1+ , 4 3 5 71 1 1再由（1）知1 ln(1+ x ) ln2 = 1- π+ - 2 3 4 + ， 故 ⎰0 x 2 +1 dx = ln 2 .8 3 63。
定积分的例题分析及解法
定积分的例题分析及解法本章的基本内容是定积分的概念、计算和应用 一、定积分的概念1．定积分是下列和式的极限xi i f dx x f i nba∆∑==→⎰)(lim )(10ξλ其中{}xi ni ∆=≤≤1max λ因此，定积分是一个数，它依赖于被积函数)(x f 和积分区间〔a,b 〕 定积分与积分变量用什么字母无关：⎰⎰=babadt t f dx x f )()(定积分的几何意义是曲边梯形的面积（当被积函数0)(≥x f 时）。
2．定积分的性质 （1）线性性质[]⎰⎰⎰+=+bab abadx x g k dx x f k dx x g k x f k)()()()(2121（2） ⎰⎰⎰=-=aaabba dx x f dx x f dx x f 0)(,)()( （3） ⎰⎰⎰+=bccaba dx x f dx x f dx x f )()()(（4）若),()(x g x f ≥则⎰⎰≥babadx x g dx x f )()(（5）积分中值定理：设)(x f 在〔a,b 〕上连续，则在〔a,b 〕上至少存在一点ξ，使下式成立),()()(a b f dx x ba-=⎰ξ其中].[b a ∈ξ。
（6）估值定理：若)(x f 在〔a,b 〕上可积，且M x f m ≤≤)(，则有不等式⎰-≤≤-baa b M dx x f a b m )()()(（7）若函数)(x f 在〔a,b 〕上连续，则有⎰=xa x f dt t f dxd )()( 3．广义积分。
二、定积分的计算 1．牛顿—莱布尼茨公式：⎰-=baa Fb F dx x f )()()(2．换元法：注意，在换元的同时不要忘记换积分限 3．分部积分法：⎰⎰-=babab a x du x x x u x d x u )()()()()()(υυυ4．定积分的近似计算：梯形，抛物线法。
三、定积分的应用基本方法是：（1）代公式；（2）微元法1．平面图形的面积（1）直角坐标系。
定积分的还原积分法和分部积分法.
解 1 xexdx 1 xd（ex）
0
0
= xex 10
1 xexdx
0
e (e 1) 1
例10 求
x cos xdx
0
解
x cos xdx
xd (sin x) x sin x
sin xdx
0 cos x
2
0
0
0
0
0
可见，定积分的分部积分法，本质上是利用不定积分的
0
20
20
1 2
e x2
1
0
1 2
(1
e1 )
可见，这种计算法对应于不定积分的第一类换元法，即凑微分法.
例6 证明：在关于原点对称的区间[-a,a]上，y=f(x)
a
为奇函数时，a f (x)dx 0
证 由定积分的性质3，有
a f (x)dx 0 f (x)dx a f (x)dx，
2
________________________ ..
二、计算下列定积分：
1、 2 sin cos3 d ； 2、 3 dx ；
0
1 x2 1 x2
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甘泉．关于两个定积分的解法【Ｊ］．陕西广播电视大学学报，２・黎一蔫７＝帮缸
这样我们就得到第一个积分的解。１
２了专≯２（号）。
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（责任编辑温武）
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关于两个定积分的解法
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贾炳会．试论实验教学的优势及其技术人员的角色作用［Ｊ］．陕西广播电视大学学报，２００ｌ，（２）． 学发挥出应有的教学优势呢？在这里，我们不妨用物理实验课举例说明。 大家知道。力学是物理专业的基础课之一，而力学实验是这门课程不可缺少的重要组成部分。在长期的 实验教学中，我们发现，教给学生知识内容结果并不很重要，重要的是让师生们通过其学会了“导生制”教学方 法，而实验技术人员的角色作用似乎只有一个，即让学生尽快进入“导生学习”的学习角色情境中。 就力学实验来讲，它主要包括基本操作和实验数据处理，其中，基本操作是一种动手能力很强的实验，它 是以后学生做热学实验、光学实验、电学实验的基础，如果基本操作不好，就会严重影响学生以后的学习。 为了能够使学生很好地完成基本操作，我们在教学中，经常有意识地指导学生早来晚走，上课不离开实验 室。协助教师安装和调试仪器，掌握有关使用方法，通过指导学生自己动手实验，发现问题，解决问题，尤其是 对于那些才上实验课的新生，我们鼓励学生，使其打破不爱动手的习惯和顾虑，要求他们养成仔细、认真、严谨 的操作习惯，告戒他们差之毫厘、谬以千里，科学来不得半点马虎，并且示范演示给他们看。结果，在这种学习 过程中，学生们不仅学会了知识，而且感受更为深切的是学会了科学严谨的学习态度，仔细认真的学习风气， 养成了注重动手的学习习惯。这也就从另一个角度，论证了教育学中对实验课的定性，即：实验教学是科学验 证和科学探讨的过程，是传授科学的过程。如何搞好实验，本身就是一门科学，只有用科学的态度对待科学， 才能真正学到科学。 我们认为，实验技术人员在教学中的最核心的角色作用，就是这种“导师”作用。他的一言一行，都时刻影 响着学生，教育着学生。因此，在具体的教学过程中，应时刻注意以下几点： １．为了保证实验课的顺利进行和教学效果的圆满，每次实验课，都要认真准备，严谨施教，精益求精，用 科学的精神感化学生，用科学的作用影响学生，用科学的知识武装学生。特别值得注意的是，自己在上课前一 定要严格检验实验仪器，并根据实验内容自己先认真做一遍，测出数据，计算出结果，做到心中有数。在实验 过程中，要注意引导学生保持桌面干净，仪器整齐。做完实验后，要引导学生把所有的仪器全部检查一遍，检 查一下电源插头、插座是否完好无损，给电炉全部换上新的电炉丝，清点仪器数目，清擦所有仪器。只有这样 言传身教，才能使学生学到严谨的学风。 ２．具体实验中，尽量多给学生动手的机会，学生们能解决的问题，一定要让他们自己解决，实在解决不了 的，也应以商量、探讨的口气，与学生们共同研究，找到解决的的方法，尤其是要启发学生，多动脑，勤发现，找 到新的解决问题的方法。况且，这种平易近人的教学方法，有助于提高学生们的学习自信心，促进他们解决更 为复杂的问题。 ３．在教学过程中。应妥善处理“教师角色”与“学生角色”的关系。作为一个实验技术人员，他的职责是协 助教师工作；作为一个教师，他又担负着指导学生的职责。因此，在“教师角色”和“学生角色”之问，他有一项 重要的任务，就是适当的时候，要促进角色转换，让自己当学生，让学生当教师，让学生去串讲，讲解实验环节、
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 甘泉 西安工业学院数理系,陕西,西安,710032 陕西广播电视大学学报 SHAANXI RTVU JOURNAL 2001,3(2)
本文链接：/Periodical_sxgbdsdxxb200102027.aspx
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