教材：《概率论与数理统计》刘国祥等

两两互不相容(互不相容)
Ai Aj ,i j,i, j 1,2,,n
A1 , A 2 , , A n , 两两互不相容(互不相容)
Ai Aj ,i j,i, j 1,2,
6.对立关系（余关系或逆关系）
(1)定义:若A 与B 满足
AB , AB
BA A
称A 与B 相互对立的,并且把B称为A 的对立
法buffon 英Pearson 英Pearson
总次数n
4040 12000 24000
出现正面次数μ
2048 6019 12012
μ/n
0.5069 0.5016 0.5005
从上表可知,随着试验次数的不断增加,出 现正面与反面的次数差不多，即出现正面与 反面的可能性大小一样,分别是1/2.这就是“掷 硬币”这一现象的内在规律性.
2.样本点与样本空间
●样本点: 试验的每一个可能发生的
结果称为一个样本点,记为.
●样本空间：随机试验的所有可能结果所 组成的集合称为样本空间，记为。
这里要说明的是： 样本点及样本空间只是特殊的元素与集合而已.
例1.1 T1: 掷一枚质地均 匀的硬币，观察其出现 正面还是反面。
例1.2 T2: 掷一枚质地均 匀的骰子，观察其出现 的点数。
§1.1 随机事件及其运算
一、随机试验与样本空间
概率论的研究对象是随机现象,而对随机现 象是通过试验来研究的.
1.随机试验
对某事物特征进行观察, 统称试验. 定义:若试验满足 1.可在相同的条件下重复进行；（可重复性） 2.试验的可能结果不止一个, 但事先能 明确所有可能发生的结果；（可知性） 3. 试验前不能预知出现哪种结果;（随机性）
如:E2: 掷一枚质地均匀的骰子，观察其出现 的点数。
F = “掷出的点数小于0”=
,而是由全体样本点组成集合,它
在一次试验中必然发生,把称为必然事件 同样,H= “掷出的点数小于10”=
三、事件的关系和运算 文氏图 ( Venn diagram )
A
W
随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算
B
(2):推广
A1, A2,, An
的和事件
n Ai
i1
A AB B
“ A1, A2,, An 至少有一个发生”
A1, A2,, An,
的和事件
Ai
“
A1, A2,, An,
i1
至少有一个发生”
4. 事件的交(积)
(1)定义:把“事件 A与 事件B 同时发生”的事 件称为A 与B 的积事 件,记为 A B 或AB
称此试验为简单随机试验，简称随机试验。 常用E或T来表示.
例1.1 E1: 掷一枚质地均匀的硬币，观察其出 现正面还是反面。
例1.2 E2: 掷一枚质地均匀的骰子，观察其出 现的点数。 例1.3 E3: 记录某电话台一小时内接到的电话呼 唤次数。
例1.4 E4: 在一批灯泡中任取一只，测试其寿命。
1. 事件的包含
(1)定义:若 事件 A 发生必然导致事件 B
发生,则称A 包含于B,记为 A B
(2)性质: A AB,BCAC
2. 事件的相等
W AB
A B A B, B A
3. 事件的并(和)
(1)定义:把“事件 A与事件B 至 少有一个发W生”
的事件,称为A 与B 的和事件,A记 AB或 A B
二.概率论的研究对象
概率论是从数量上研究随机现象及其规律 性的一门数学分支.
它是高等学校理工科专业的学生应该学好 的重要基础课程。它理论严谨, 应用广泛， 发展迅速，是与实际问题比较接近数学课程. 希望大家把握学习方法，认真学习，把这门 不易学好的课程学好.
第一章 随机事件及其概率
随机事件及其运算 概率的定义及古典概型 概率的加法公式 概率的乘法公式与事件的独立性 全概率公式与Bayes公式 n重贝努利概型
A B C
ABC ABC ABC ABC ABC ABC BC AC AB
ABC
A B C
例1.7 设一个工厂生产三个零件，记A=“第一个零 件为正品”， B=“第二个零件为正品”， C=“第三个 零件为正品”，试用事件A,B,C表示：
（1）没有一个零件为次品；
（2）只有A零件为次品；
例1.5：若A、B、C为三个随机事件，试用A、B、C的 运算关系表示下列事件：
（1）A发生，而B,C都不发生 （2）A，B都发生，而C不发生
ABC AB C
（3）A，B,C同时不发生
ABC
（4）A，B,C不同时发生
ABC
（5）A，B,C中恰有一个发生 ABC ABC ABC
（6）A，B,C中至少有一个发生
2. 随机现象:在一定的条件下, 现象的结果不止 一个,事先无法预言会出现哪一个结果的现 象. 如:A. 抛一枚质地均匀的硬币，掷出哪一面？
B. 抛一枚质地均匀的骰子,掷出哪一点？
从表面上看，随机现象无规律可循.但是如 果我们对随机现象进行大量试验，就可以发现 其规律性.历史上曾有两位数学家对“抛掷硬币” 的随机现象经过试验,统计出其规律性.
目前, 概率统计理论进入其他自然科学
领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领 领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经
济的稳定增长等问题 , 都大量采用《概率
统计方法》. 法国数学家拉普拉斯(Laplace) 说: “ 生活中最重要的问题 , 其中绝大多数 在实质上只是概率的问题.”
英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾
点”；C= “掷出的点数不大于3”. 2.事件可以理解为样本空间的子集合.
如：A=“掷出5点”=｛5｝ B=“掷出奇数点” =｛1，3，5｝ C= “掷出的点数不大于3”=｛1，2，3｝.
再如：D= ｛2，4，6｝ =“掷出偶数点”
例1.2 E2: 掷一枚质地均匀的骰子，观察 其出现的点数。
事件：A=“掷出5点”=｛5｝；
教材：《概率论与数理统计》刘国祥等
编，甘肃教育出版社 参考书：
1.《概率论与数理统计》魏宗舒等编 高等教育出版社
2.《概率论与数理统计》 盛骤等编 高等教育出版社
国内有关经典著作
1.《概率论基础及其应用》
王梓坤著 科学出版社 1976 年版
2.《数理统计引论》
陈希儒著 科学出版社 1981年版
国外有关经典著作
事件, B A
注:这里每次试验 A、 B中有且只有一个发生
(2)性质 A A, ,
7. 事件的差
(1)定义：把“事件 A 发
A
生，但 事件 B 不发生”的 事件，称为A 与B 的差事
A
A-B B
S
件，记为A－B
B
(2)性质
(a) A-B = AB (b) A -A
记号
A A B
A=B
A B C
例1.6：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，
以A、B、C分别表示 的运算关系表示下列事件：
A1“: 至少有一人命中目标”: A2“: 恰有一人命中目标”: A3“: 恰有两人命中目标”: A4“: 最多有一人命中目标”: A5“: 三人均命中目标”: A6“: 三人均未命中目标”:
得分问题
甲、乙两人各出同样的赌注，用掷 硬币作为博奕手段 . 每掷一次，若正面朝 上，甲得 1 分乙不得分. 反之，乙得1分， 甲不得分. 谁先得到规定分数就赢得全部
赌注. 当进行到甲还差 2分乙还差3分，就 分别达到规定分数时，发生了意外使赌局 不能进行下去，问如何公平分配赌注？
本学科的应用
概率统计理论与方法的应用几乎遍及 所有科学技术领域、工农业生产和国民经 济的各个部门中. 例如
6. 探讨太阳黑子的变化规律时,《时间 序列分析》方法非常有用;
7. 研究化学反应的时变率，要以《马尔 可夫过程》 来描述;
8. 生物学中研究 群体的增长问题时， 提出了生灭型《随机模型》，传染病流 行问题要用到多变量非线性《生灭过程》
9. 许多服务系统，如电话通信、船舶
装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、 水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都 可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知 识就是 《排队论》.
例1.3 T3: 记录某电话台 一小时内接到的电话呼 唤次数。
例1.4 T4: 在一批灯泡中 任取一只，测试某寿 命。
1 {正，反}
有限样本空间
2 {1,2,3,,6}
有限样本空间
3 {0,1,2,,}
可数的无限样本空间
4 {t | t 0}
不可数的无限样本空间
样 有限样本空间 本 空 间 无限样本空间
(AB)∪C＝(A∪C)(B∪C) 4、德摩根(De Morgan)律：
A B A B, AB A B
可推广 Ak Ak , Ak A k .
k
k
k
k
总结
一、随机试验与样本空间 二、随机事件及运算 三 、随机事件及运算法则
1. 气象、水文、地震预报、人口控制 及预测都与《概率论》紧密相关；
2. 产品的抽样验收，新研制的药品能 否在临床中应用，均要用到《假设检验》；
3. 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》 和《数据处理》；
4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其 发射都离不开《可靠性估计》;
5. 处理通信问题, 需要研究《信息论》；
（3）恰一个零件为次品；
（4）至少有一个零件为次品；
解（1） ABC
(2) ABC
(3) ABC ABC ABC (4) A B C
四.事件运算的运算法则
1、交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA 2、结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)
(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(A∪B)C＝(AC)∪(BC)
可数样本空间
不可数样本空间
注1：样本空间可以由数组成，也可以不是数组成； 注2：最简单的样本空间由两个样本点构成；
二、随机事件
定义：把试验的结果称为事件，常用大写字母 A，B，C¨¨¨来表示.
注：1.这里的结果既包含试验E的可能结果或试验的
更加复杂的结果. 如在例1.2的E2中： A=“掷出5点”； B=“掷出奇数
(2)(推广
Ω B AB
A
n
A1, A2 ,, An 的积事件 ——
Ai
i1
A1, A2 ,, An , 的积事件 ——
Ai
i1
5.互不相容关系 (互斥关系)
(1)定义:A 与B 互不相容
若A、 B不可能同时发生,即 A
B
AB=,称事件A 与B 互不相容
或互斥。
(2)推广
A1 , A 2 ,
, An
对概率论大加赞美：“ 概率论是生活真正 的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那 么我们就寸步难行, 无所作为.
引言
一.确定性现象与随机现象
1.确定性现象:在一定的条件下, 现象的结果只 有一个,事先可以预言其结果的现象.
如: A. 在标准大气压条件下，温度达到100℃ 的纯水,一定会沸腾；
B. 树上的苹果一旦成熟,一定会落到地上.
B=“掷出奇数点”=｛1，3，5｝；
C=“掷出的点数不大于3”=｛1，2 ,3 ｝。 例1.3 E3: 记录某电话台一小时内接到的电话呼
唤次数。
事件：A=“一小时内接到的10次呼唤”=｛10｝；
B=“一小时内接到的不少于100次呼唤”
=｛100 ， 101 ， 102 ， ¨¨¨｝。
注3:因为 ，用 表示不可能事件。
A B
A B AB
A
AB
A-B
概率论 样本空间、必然事件 不可能事件 基本事件，样本点 事件A 事件A发生必然导致B发生 事件A与B相等 事件“A，B至少有一个发 生” 事件“A，B同时发生” A的对立事件或逆事件 A,B事件互不相容(互斥) 事件“A发生,B不发生”
集合论
空间、全集 空集 全集中的元素 集合A是Ω的子集 集合A包含于B 集合A与B相等 集合A与B的并 集合A与B的交 集合A的余集 集合A与B交为空 集合A与B的差集
1.《概率论的分析理论》
P.- S.拉普拉斯著 1812年版
概率论的最早著作
2.《统计学数学方法》
H. 克拉默著 1946年版
数理统计最早著作
序言
概率论与数理统计 是研究什么的？
概率论的起源
概率论—— 其起源于博弈问题.
16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕 斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方 法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理 分配赌注问题” ( 即得分问题 ).