河南省信阳市2023-2024学年高三上学期第二次教学质量检测数学试卷

一、单选题

二、多选题

1. 已知集合

，集合，则

（ ）

A

．

B

．

C

．

D

．

2. 已知

的展开式中各项系数的和为

，则该展开式中的系数为（ ）

A

．

B

．

C

．D

．

3. 已知

，

，则

A ．或0B

．C

．D ．或0

4.

在

的展开式中，

的系数是( )

A ．4

B ．5

C ．－5

D ．－4

5.

（ ）

A

．B

．C

．D

．

6. 设复数

满足，则的虚部为（ ）

A

．

B

．

C

．

D ．2

7. 函数

的图像与函数

的图像的交点个数为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．0

8. 设

，

，O 为坐标原点，点P 满足

，若直线

上存在点Q

使得

，则实数k 的取值范围

为（ ）

A

．B

．C

．

D

．

9. 如图，

为圆锥

的底面圆的直径，点是圆上异于A ，C 的动点，

，

，则下列说法正确的是（

）

A ．平面

平面B ．与平面不可能垂直C ．直线

与平面

所成的角为

D

．

与是异面直线

10. 已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21

个不同的点

，

组成公差为

的等差数列，则（ ）

A ．该椭圆的焦距为6

B ．的最小值为2

C ．

的值可以为D ．

的值可以为

11.

已知函数，则下列结论正确的是（ ）

A ．函数

在上单调递减

河南省信阳市2023-2024学年高三上学期第二次教学质量检测数学试卷

三、填空题

四、填空题

五、填空题

B ．函数

的值域是

C ．若方程有5个解，则

的取值范围为D ．若函数

有3个不同的零点

，则

的取值范围为

12. 托勒密定理是数学奥赛中的常用定理，该定理指出：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.

如图，已知四边形

的四个顶点在同一个圆的圆周上，

，

，

，则四边形

的面积为

___________.

13. 已知点F

为双曲线

的右焦点，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ，若

（点O 为坐标原点）的面积为2，

双曲线的离心率

，则a 的取值范围为__________．

14. 在四面体

中，若底面的一个法向量为

，且，则顶点到底面的距离

为_____________．

15.

已知平面向量

满足，

,

,则的取值范围是_________________

；已知向量

是

单位向量，若

，且

，则

的取值范围是__________.

16. 用

表示不超过的最大整数，已知数列满足：

，，

.

若

，

，则

________

；若

，则

________.

17. 阅读下面题目及其解答过程．

．）求证：函数是偶函数；）求函数）因为函数的定义域是，都有又因为 ② ．所以函数是偶函数．时，，

在区间上单调递减．时， 时， 在区间 的单调递增区间是．

以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出正确的选项，并填写在相应的横线上（只需填写“A”或“B”）．

空格序号选项

六、解答题

七、解答题

八、解答题

九、解答题

①（A

）（B

）②（A

）（B

）③（A ）2（B

）④（A

）（B

）⑤

（A

）

（B

）

18. 对于数列

，

，的前n 项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以

使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：①为什么可以裂项相消？是因为此数列的第n ，n ＋1项有一定关系，即第n 项的后一部分与第n ＋1项的前一部分和为零

②不妨将

，

也转化成第n ，n ＋1

项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得

，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数

③将数列

，

表示成

形式，然后运用“裂项相消法”即可！

聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握．

(1)（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n 项和

；(2)（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”

求

的前n

项和

．

19. 图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N

，有一根旋杆将两个滑标连成一体，

，D 为旋

杆上的一点且在M ，N 两点之间，且.当滑标M 在滑槽EF 内做往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将笔尖放置于D 处可

画出椭圆，记该椭圆为

.如图2所示，设EF 与GH 交于点O ，以EF 所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系

.

(1)求椭圆的方程；

(2)以椭圆

的短轴为直径作圆

，已知直线l

与圆

相切，且与椭圆

交于A ，B 两点，记△OAB 的面积为S

，若

，求直线l 的斜率.

20.

平面直角坐标系

中，是双曲线

（，

）上一点，，分别是双曲线的左，右顶点，

直线

，

的斜率之积为3.

(1)求双曲线的渐近线方程；(2)设点关于轴的对称点为，直线

与直线交于点，过点作轴的垂线，垂足为

，求证：直线

与双曲线只有一个公共点.

21. 2022

年元旦节前夕，某瓷器公司计划向市场推出两种高档中国红瓷茶杯红色和红色，已知红色

和红色烧制成功率分别为80%和90%，烧制成功一个红色，盈利30元，否则亏损10

元；烧制成功一个红色，盈利80元，否则亏损20元.(1)设为烧制成功一个红色和烧制成功一个红色

所得利润的和，求随机变量的分布列和数学期望；(2)求烧制4

个红色所得的利润不少于80元的概率；

(3)公司将用户对中国红瓷器的喜欢程度分为“非常满意”（得分不低于85分)和“满意”（得分低于85分）两类，通过调查完成下表.问是否有95%的把握认为“居民对中国红瓷器的喜欢程度”与“年龄”有关？