浙江省9+1联盟2016-2017学年高一(下)期中数学试卷

2016-2017学年浙江省9+1联盟高一（下）期中数学答案
满分：150分；考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（4分）已知集合A={1，2，5}，N={x|x≤2}，则M∩N等于（）A．{1}B．{5}C．{1，2}D．{2，5}
【分析】直接求解交集即可．
【解答】解：集合A={1，2，5}，N={x|x≤2}，则M∩N=（1，2}．
故选：C．
2．（4分）已知、是两个不共线向量，设=，=λ，=2+，若A，B，C三点共线，则实数λ的值等于（）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据向量的共线性质即可求出．
【解答】解：∵=，=λ，=2+，
∴=﹣=λ﹣，=﹣=+，
∵A，B，C三点共线，
不妨设=μ，
∴λ﹣=μ（+），
∴，
解得λ=﹣1，
故选：C．
3．（4分）满足A=60°，a=2，b=4的△ABC的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用正弦定理求出B，判断三角形的个数即可．
【解答】解：由正弦定理得，即，解得sinB=1，
∴B=90°，
∴△ABC是直角三角形，C=30°．
故符合条件的三角形只有1个．
故选：B．
4．（4分）若数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a7等于（）
A．2 B．C．﹣1 D．2018
【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解即可．
【解答】解：数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a2==，
a3==﹣1
a4==2
a5==，
a6==﹣1．
a7==2．
故选：A．
5．（4分）函数f（x）=cosx+|cosx|，x∈R是（）
A．最小正周期是π
B．区间[0，2]上的增函数
C．图象关于点（kπ，0）（k∈Z）对称
D．周期函数且图象有无数条对称轴
【分析】化简函数f（x），根据函数的图象与性质判断四个选项是否正确即可．【解答】解：函数f（x）=cosx+|cosx|
=
，，，，，，
，
∴f（x）是周期函数，且最小正周期为2π，A错误；
∵2＞，∴x∈[0，2]时，f（x）不是增函数，B错误；
f（x）的图象不关于点（kπ，0）（k∈Z）对称，C错误；
f（x）是周期函数且图象有无数条对称轴为x=kπ，k∈Z，D正确．
故选：D．
6．（4分）已知等比数列{a n}的公比是q，首项a1＜0，前n项和为S n，设a1，a4，a3﹣a1成等差数列，若S k＜5S k﹣4，则正整数k的最大值是（）
A．4 B．5 C．14 D．15
【分析】运用等差数列的中项的性质，结合等比数列的定义，可得公比，再由等比数列的求和公式，以及不等式的解法，即可得到所求最大值．
【解答】解：若a1，a4，a3﹣a1成等差数列，
可得2a4=a1+a3﹣a1=a3，
即有公比q==，
由S k＜5S k
﹣4
，可得＜5•，
由a1＜0，化简可得1﹣＞5﹣，
即为2k＜，可得正整数k的最大值为k为4．
故选：A．
7．（4分）已知函数f（x）满足f（x）=﹣f（x﹣1），则函数f（x）的图象不可能发生的情形是（）
A． B．C．
D．
【分析】根据图象变换规律即可得出答案．
【解答】解：∵f（x）=﹣f（x﹣1），
∴f（x）的图象向右平移一个单位后，再沿x轴对折后与原图重合，
显然C不符合题意．
故选：C．
8．（4分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a3=b3=a，a6=b6=b，若a＞b，则下列正确的是（）
A．若ab＞0，则a4＞b4 B．若a4＞b4，则ab＞0
C．若ab＜0，则（a4﹣b4）（a5﹣b5）＜0 D．若（a4﹣b4）（a5﹣b5）＜0，则ab＜0
【分析】利用a3=b3=a，a6=b6=b，求出公差、公比，利用数列的通项和三元均值不等式，通过取特殊值，即可得出结论．
【解答】解：设数列{a n}，{b n}的公差、公比分别是d，q，则
∵a3=b3=a，a6=b6=b，
∴a+3d=b，aq3=b，
∴d=，q=，
即有a4﹣b4=a+d﹣aq=﹣a•，
a5﹣b5=a+2d﹣aq2=﹣a•，
当a，b＞0时，有＞••，即a4＞b4，
若a，b＜0，则a4＜b4，
当a，b＞0时，有＞••，即a5＞b5，
若a，b＜0，则a5＜b5，
当ab＜0时，可取a=8，b=﹣1，
计算a4=5，b4=﹣4，a5=2，b5=2，
即有a4＞b4，a5=b5，
故A，B，C均错，D正确．
故选：D．
9．（4分）将函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象向右平移2个单位得到函数g（x）的图象，则（）
A．存在实数x0，使得g（x0）=1 B．当x1＜x2时，必有g（x1）＜g（x2）C．g（2）的取值与实数a有关D．函数g（f（x））的图象必过定点
【分析】根据函数平移以及变化规律，求得g（x）的解析式，再逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：将函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象向右平移2个单位得到函数g（x）=a x﹣2 +1的图象，
由于a x﹣2 ＞0，故不存在实数x0，使得g（x0）=1，故排除A；
由于a的范围不能进一步确定，故不能判断g（x）=a x﹣2 +1的单调性，故排除B；由于g（2）=2，它的取值与实数a无关，故排除C；
由于g[f（x）]=a[f（x）﹣2]+1，故当x=0时，f（x）=2，g[f（x）]=a0+1=2，故D正确，
故选：D．
10．（4分）平面内三个向量（i=1，2，3）满足⊥，|﹣|=1（规定=），则（）
A．（•）min=0 B．（•）min=﹣1
C．（•）max=D．（•）max=
【分析】由题意可知三向量起点在圆上，终点组成边长为1的等边三角形，建立坐标系，设起点坐标，表示出各向量的数量积，利用三角恒等变换求出最值即可得出结论．
【解答】解：设，，=，
∵|﹣|=1，∴△ABC是边长为1的等边三角形，
∵，∴M在以AB为直径的圆上，
以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面坐标系，则A（﹣，0），B（，0），C（0，），
设M（cosα，sinα），
则=（﹣﹣cosα，﹣sinα），=（cosα，﹣sinα），=（﹣cosα，﹣sinα），
∴=cosα（+cosα）+sinα（sinα﹣）=+（cosα﹣sinα）=+cos （α+），
∴的最大值为=，最小值为﹣=﹣．
由图形的对称性可知的最大值为，最小值为﹣．
又=0，
∴（）max=，（）min=﹣．
故选：C．
二、填空题：本大题共7小题，多空每题6分，单空每题4分，共36分）. 11．（6分）lg2+lg5=1，log42+=2．
【分析】根据对数和指数幂的运算性质计算即可．
【解答】解：lg2+lg5=lg10=1，log42+2=+3×=2，
故答案为：1，2．
12．（6分）角α终边过点（﹣1，），则tanα=﹣，cos2α=﹣．【分析】根据角α的终边过点（﹣1，），可先求出tanα，cosα的值，进而由二倍角公式可得答案．
【解答】解：设角α终边过点P（﹣1，），则tanα==﹣，
则|OP|=，
则cosα==﹣，
则cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣，
故答案为：﹣，﹣．
13．（6分）已知sin（θ﹣）=，则sin（θ+）=﹣，cos（θ﹣）=．【分析】由条件利用诱导公式化简所给的式子三角函数式，可得结果．
【解答】解：∵sin（θ﹣）=，则sin（θ+）=sin[π+（θ﹣）]=﹣sin（θ﹣）=﹣；cos（θ﹣）=cos[（θ﹣）﹣]=cos[﹣（θ﹣）]=sin（θ﹣）=，
故答案为：﹣；．
14．（4分）正项等比数列{a n}中，公比q≠1，=a11，则k=21．【分析】由等比数列的通项公式得a1×a2×…×a k=，再由a1×a21=a2×a20=a3×a19=…=a10×a12=，能求出k的值．
【解答】解：∵正项等比数列{a n}中，公比q≠1，=a11，
∴a1×a2×…×a k=，
∵a1×a21=a2×a20=a3×a19=…=a10×a12=，
∴k=21．
故答案为：21．
15．（4分）如图，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为2﹣．
【分析】利用扇形的面积公式求出S
扇形ADE 及S
阴影BCD
，结合图形计算即可．
【解答】解：设AB=1，∠EAD=α，
∵S
扇形ADE
=S阴影BCD，
∴则由题意可得：×12×α=12﹣，
∴解得：α=2﹣．
故答案为：2﹣．
16．（6分）数列{a n}、{b n}满足a1=1，且a n+1、1+a n是函数f（x）=x2﹣b n x+a n的两个零点，则a2=，当b n＞时，n的最大值为5．
【分析】利用根与系数的关系得出{a n}的递推公式，从而得出a n，b n的通项公式，在解不等式得出n的值．
【解答】解：∵a n
+1
、1+a n是函数f（x）=x2﹣b n x+a n的两个零点，
∴a n
+1（1+a n）=a n，即a n
+1
=，
∴﹣=1，又a1=1，
∴{}是以1为首项，以1为公差的等差数列．∴=n，即a n=，∴a2=，
又由根与系数的关系得：b n=a n+1+（1+a n）=+1，
令+1＞，得n2﹣5n﹣3＜0，解得＜n＜，
又n∈N，故n的最大值为5．
故答案为：，5．
17．（4分）等差数列{a n}满足a12+a2n+12=1，则a n+12+a3n+12的取值范围是，．
【分析】利用等差数列的性质、基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵a12+a2n
+12=1，∴可设a
1
=sinθ，a2n+1=cosθ，θ∈[0，2π）．公差为d．
∴cosθ=sinθ+2nd．可得nd=．
∴
a n+12+a3n+12=+
=+
=+2cos2θ﹣sin2θ
=+cos2θ﹣sin2θ
=﹣sin（2θ﹣φ）∈，．
故答案为：，．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
18．（14分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a1=8，S10=﹣10．
（Ⅰ）求a n，S n；
（Ⅱ）设T n=|a1|+|a2|+…+|a n|，求T n．
【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，由a1=8，S10=﹣10．利用求和公式与通项公式即可得出．
（II）由a n=10﹣2n≥0，解得n≤5．可得n≤5时，T n=S n．n≥6时，T n=2S5﹣S n．
【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=8，S10=﹣10．∴=﹣10，解得d=﹣2．
∴a n=8﹣2（n﹣1）=10﹣2n．
S n==﹣n2+9n．
（II）由a n=10﹣2n≥0，解得n≤5．
∴n≤5时，T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=a1+a2+…+a n=S n=﹣n2+9n．
n≥6时，T n=S5﹣a6﹣…﹣a n=2S5﹣S n=2×（﹣52+9×5）﹣（﹣n2+9n）=n2﹣9n+40．
∴T n=，
，
（n∈N*）．
19．（15分）如图，已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），点A，B 分别是f（x）的图象与y轴、x轴的交点，C，D分别是f（x）的图象上横坐标为、的两点，CD∥x轴，A，B，D共线．
（Ⅰ）求ω，φ的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k+sin2x在区间[，]上恰有唯一实根，求实数k的取值范围．
【分析】（Ⅰ）根据题意，求出B点的横坐标，线段CD中点坐标，再求出f（x）的最小正周期T，从而求出ω的值，再根据f（0）与f（）互为相反数求出φ的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式，把f（x）=k+sin2x化为k=sin（2x+）
﹣sin2x=cos（2x+），设g（x）=cos（2x+），x∈[，]，画出函数g（x）在x∈[，]上的图象，结合图形求出y=k与g（x）恰有唯一交点时实数k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，点A与点D关于点B对称，
∴B点的横坐标为=；
又点C与点D关于直线x==对称，
∴f（x）的最小正周期T满足=﹣=，
解得T=π，即ω==2；
又f（0）=sinφ，
f（）=sin（2×+φ）=sin（+φ）=﹣sin（+φ）=﹣sinφ，且0＜φ＜π，∴φ=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）=sin（2x+），
∴f（x）=k+sin2x为sin（2x+）=k+sin2x，
∴k=sin（2x+）﹣sin2x=﹣sin2x+cos2x=cos（2x+），
设g（x）=cos（2x+），x∈[，]，
则2x∈[，π]，2x+∈[，]，
画出函数g（x）在x∈[，]上的图象，如图所示；
根据题意，y=k与g（x）恰有唯一交点，
∴实数k应满足﹣＜k≤或k=﹣1．
20．（15分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，=．（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）若a=，△ABC在BC边上的中线长为1，求△ABC的周长．
【分析】（I）由=，利用正弦定理可得：=，化简再利用余弦定理即可得出．
（II）设∠ADB=α．在△ABD与△ACD中，由余弦定理可得：﹣cosα，b2=﹣×cos（π﹣α），可得b2+c2=．又b2+c2﹣3=bc，联立解得b+c即可得出．
【解答】解：（I）由=，利用正弦定理可得：=，化为：b2+c2﹣a2=bc．
由余弦定理可得：cosA==，A∈（0，π）．
∴A=．
（II）设∠ADB=α．
在△ABD与△ACD中，由余弦定理可得：﹣cosα，
b2=﹣×cos（π﹣α），
∴b2+c2=2+=．
又b2+c2﹣3=bc，
联立解得b+c=2．
∴△ABC的周长为2+．
21．（15分）如图，梯形ABCD，||=2，∠CDA=，=2，E为AB中点，=λ（0≤λ≤1）．
（Ⅰ）当λ=，用向量，表示的向量；
（Ⅱ）若||=t（t为大于零的常数），求||的最小值并指出相应的实数λ的值．
【分析】（I）过C作CF∥AB，交AD于F，则F为AD中点，用，表示出，，，利用三角形法则即可得出结论；
（II）根据（I）得出的表达式，两边平方得出关于λ的二次函数，根据二次函数的性质求出最值．
【解答】解：（I）过C作CF∥AB，交AD于F，
则四边形ABCF是平行四边形，F是AD的中点，
∴===﹣=﹣，
λ=时，，
∴==++﹣=+．
（II）∵=λ，∴=（1﹣λ），
∴==（1﹣λ）++﹣=（）+，
∵=2tcos60°=t，=t2，=4，
∴2=（）2t2++（）t=[（）t+]2+，
∴当（﹣λ）t=﹣时即λ=+时，2取得最小值．
∴的最小值为，此时λ=+．
22．（15分）数列{a n}满足：a1=2，当n∈N*，n＞1时，a2+a3+…+a n=4（a n﹣1﹣1）．
﹣2a n}为常数列；
（Ⅰ）求a2，a3，并证明，数列{a n
+1
（Ⅱ）设c n=，若对任意n∈N*，2a＜c1+c2+…+c n＜10a恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）根据题意，分别令n=2，3求出a2，a3，并猜想即，并用
﹣2a n}为常数列，
数学归纳法证明，即可证明数列{a n
+1
（Ⅱ）利用放缩法可得≤c1+c2+…+c n＜，即可求出a的范围
【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}满足：a1=2，当n∈N*，n＞1时，a2+a3+…+a n=4（a n
﹣1），
﹣1
∴a2=4（a1﹣1）=4（2﹣1）=4，
a2+a3=4（a2﹣1），即4+a3=4（4﹣1）=12，解得a3=8．
由此猜想{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，即，
用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1=2，成立．
②假设当n=k时，等式成立，即a2+a3+…+a k=4（a k﹣1﹣1），
∴22+23+…+2k=4（2k﹣1﹣1），
当n=k+1时，a2+a3+…+a k+a k
+1
=4（2k﹣1﹣1）+2k+1
=2k+1﹣4+2k+1
=4（2k﹣1）=4（a k﹣1），成立，
由①②，得，
∴a n
+1
﹣2a n=2n+1﹣2•2n=0，
∴数列{a n
+1
﹣2a n}为常数列．
（Ⅱ）∵c n==，
当n=1时，c1=，c n=≤，
∴c1+c2+…+c n＜+++…+=+=+（1﹣）＜+=，∴=c1＜c1+c2+…+c n＜，
∵对任意n∈N*，2a＜c1+c2+…+c n＜10a恒成立，
∴＜
，
解得≤a＜，
故实数a的取值范围为[，）．。