福建省厦门六中2012届高三12月月考试题数学理

厦门六中2012届高三12月份月考 数学（理科）试卷 2011.12
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1. 设集合A=01x x
x ⎧⎫
≥⎨⎬-⎩⎭
, B=[]1,0, 那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 命题：（1）∀x R ∈,1
2
0x -> （2）∀*x N ∈,2(1)0x -> （3）∃ x R ∈, lg 1x < （4）若011:>-x p ，则01
1
:≤-⌝x p ， （5）x ∃∈R ，sin 1x ≥
其中真命题个数是 A ．1 B. 2 C ． 3 D. 4
3 已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线2
23y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于 Ａ 3
Ｂ 2
Ｃ 1
Ｄ 2-
4. 已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直。

l 与C 交于A,B 两点，AB =12，P 为C 的准线上一点，则
∆ABP 的面积为
（A ）18 （B ）24 （C ）36 （D ）48 5. 设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若36S S ＝13，则612
S
S ＝ A ．
310 B ．13 C ．18 D ．1
9
6．曲线e x
y -=在点01x e ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
Ａ．21e 2 Ｂ．1e Ｃ．2
e Ｄ．2e
7. 已知α∈(2
π
-，0)，55)23sin(=--πα，
则()απ--sin =
A.
55 B. 552 C.55- D. 5
5
2-
8．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的
面积中，最大的是
A ．8 B
． C ．10 D
．9. 如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫
⎪⎝⎭
，0中心对称，那么||ϕ的最小值为 （A ）
6π （B ）4π （C ）3π (D) 2
π
10．已知函数2
()1,()43,x f x e g x x x =-=-+- 若有()(),f a g b = 则b 的取值范围为
A
．[22+ B
．(22+ C ．[1,3] D ．(1,3)
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
11．设函数(1)()
()x x a f x x ++=
为奇函数，则a = ******** ．
12. 函数21
()ln ln 2f x x x
=+-的减区间是 ********
13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，
则该双曲线的离心率为 ******** ． 14．已知1
sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，3παπ<<，则求sin 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭
= ********
15. 已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆C 所
截得的弦长为l 垂直的直线方程为_********__.
三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 16．（本小题满分13分）数列11{}3,(,)2n n n a a a a y x +==+中已知点在直线上，
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若3,.n
n n n n b a =⋅求数列{b }的前n 项和T
17 （本小题满分13分）
已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛
⎫⎛⎫=+
+--∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
R ，（其中0ω>） （I ）求函数()f x 的值域； （II ）若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+， 的图象与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数()y f x x =∈R ，的单调
增区间
18. （本题满分13分）A 处一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12 n mile 的海面C 处有一走私船正以10 n mile/h 的速度沿东偏南15°方向逃窜.缉私艇的速度为14 n mile/h ，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追，求追击所需的时间和α角的正弦值.
19．（本小题共13分） 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC
,60,90PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=，点D 、E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成角的大小的余弦值； （Ⅲ）是否存在点E ，使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由.
20．（本题14分）如图，椭圆长轴端点为B A ,，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点,
且1=⋅1=． （1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于Q P ,两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为PQM ∆的垂心？若存在，求出直线l 的方程;若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分14分） 已知函数()x f x e x =-（e 是自然对数的底数） （1）求()f x 的最小值；
（2）不等式()f x ax >的解集为P , 若12,,2M x
x M P ⎧⎫
=≤≤≠∅⎨⎬⎩⎭
且
求实数a 的取值范围； （3）已知()*
,n
n n N S f x dx ∈=⎰且，是否存在等差数列{}n
a 和首项为()1f 公比大于0的等比数列{}n
b ，
使数列{}n n a b +的前n 项和等于n S
厦门六中2011—2012学年高三数学理科卷答题卷
一、选择题：（共10小
题，每小题5分，满分50分）
—
—
—
—
—
19.（本题满分13分）
解：
解：
解：
ACBCA DDCAB
11. 1- 12. （0, 1） 13. 3 14. 6
2
4+- 15. 03=-+y x 16．解：（I ）
1(,)2n n a a y x +=+点在直线上。

112,2n n n n a a a a ++∴=+-=即 ………………2分
{}n a ∴数列是以3为首项，以2为公差的等差数， ………………3分
32(1)21n a n n ∴=+-=+ ………………5分
（II ）
3,(21)3n n n n n b a b n =⋅∴=+⋅
密封线内不要答题————————————————————————————————
231335373(21)3(21)3n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ ① …………6分
23133353(21)3(21)3n n n T n n +∴=⨯+⨯+
+-⋅++⋅ ② …………7分 由①—②得
2312332(333)(21)3n n n T n +-=⨯+++
+-+⋅ … …9分
119(13)
92(21)313
n n n -+-=+⨯-+⋅-123n n +=-⋅ ………………12分
13n n T n +∴=⋅ ………………13分
17. 解：（1）)1(cos cos 2
1sin 23cos 21sin 23)(+--++=
x x x x x x f ωωωωω 1)cos 21sin 23(2--=x x ωω1)6
πsin(2--=x ω——————5分
由1-≤)6πsin(-x ω≤, 得3-≤2)6
π
sin(-x ω1-≤1
可知函数)(x f 的值域为[-3,1] ———— 8分
（2）由题设条件及三角函数图象和性质可知，)(x f y =的周期为ω又由π,＞0，
得π2
π2=，即得.2=ω————10分
于是有1)2π2sin(2)(--=x x f ，再由2π2-πk ≤6π2-x ≤2
π
2+πk )(Z ∈k ，
解得6π-πk ≤x ≤3
π
+πk )(Z ∈k
所以)(x f y =的单调增区间为[6π-πk ，3
π
+πk ])(Z ∈k ················ 13分
18. 解：设A ，C 分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x 小时后在B 处追上，则有AB=14x,BC=10x,∠ACB=120°.
————2分
在三角形ABC 中，由余弦定理得：所以（14x ）2=122+(10x)2
-240xcos 120°. 即06542
=--x x ，解得：x=2,或4
3
-=x （舍去）————7分 又AB=28，BC=20，所以由正弦定理得：
sin12020sin120sin 28BC AB α︒︒∙===
所以所需时间为2小时，sin α=————12分
答：追击所需要的时间是2小时，且sin α=————13分
19.解：（Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC . 又90BCA ︒
∠=，∴AC ⊥BC . 又A AC PA = ∴BC ⊥平面PAC .————3分
（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ， ∴1
2
DE BC =，
又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，————5分 ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA=A B ，
∴△ABP 为等腰直角三角形，∴
AD AB =
， ∴在Rt △ABC 中，60ABC ︒
∠=，∴12
BC AB =.
∴在Rt △ADE 中，sin 24
DE BC DAE AD AD ∠===，
∴AD 与平面PAC 所成的角的大小的余弦值
4
.————8分 （Ⅲ）∵AE//BC ，又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ， 又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ， ∴∠AEP 为二面角A DE P --的平面角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴90PAC ︒
∠=.
∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时90AEP ︒
∠=， 故存在点E 使得二面角A DE P --是直二面角.————13分
【解法2】如图，以A 为原煤点建立空间直角坐标系A xyz -， ————1分
设PA a =，由已知可得 ()()10,0,0,,,0,0,,0,0,0,222A B a a C a P a ⎛⎫⎛⎫-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. （Ⅰ）∵()10,0,,,0,02AP a BC a ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
， ∴0BC AP ⋅=，∴BC ⊥AP .
又∵90BCA ︒
∠=，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC . ————3分
（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴E 为PC 的中点，
∴111,,,422D a a E a ⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， ∴又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵13131,,,0,,422AD a a a AE a ⎛⎫⎛⎫
=-
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴14
cos 4
AD AE DAE AD AE
⋅∠=
=
⋅.————7分
∴AD 与平面PAC 所成的角的大小的余弦值
4
.————8分 20. 解：（1）如图建系，设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>,则1c =
又∵1=⋅即 22
()()1a c a c a c +⋅-==-
∴2
2a = 故椭圆方程为2212
x y += ……5分 （2）假设存在直线l 交椭圆于Q P ,两点，且F 恰为PQM ∆的垂心，则设
1122(,),(,)P x y Q x y ，∵(0,1),(1,0)M F ，故1=PQ k ， ……7分
于是设直线l 为 y x m =+，由22
22
y x m x y =+⎧⎨+=⎩得22
34220x mx m ++-= …9分 ∵12210(1)(1)MP FQ x x y y ⋅==-+- 又(1,2)i i y x m i =+=
得1221(1)()(1)0x x x m x m -+++-= 即2
12122()(1)0x x x x m m m ++-+-= 由韦达定理得222242(1)033m m m m m -⋅--+-= 解得43m =-或1m =（舍） 经检验43
m =-符合条件 (13)
分，所以直线34
:-
=x y l ………14分 21. 解：（Ⅰ）()()1,00x
f x e f x x ''=-==由，解得
当0x
时，()
0f x '； 当0x
时，()0f x '
故()()f x -∞+∞在，连续，故()()min 01f x f ==————3分
（Ⅱ）M
P ≠∅，
即不等式()f x ax 在区间1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
有解()
f x ax 可化为()1x
a x e +，1x
e a
x
-只需在区间1,22
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦有解————4分
令()()max 11,,22x e g x x a g x x ⎡⎤
=-∈⎢⎥⎣⎦
,即————5分
()
()2
1x x e g x x -'=
故()g x 在区间1,22
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
递减，在区间[]1,2递增
()()()()22max 11111,21,2,212222g g e g g g x g e ⎛⎫⎛⎫
==-∴===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
且
所以，实数a 的取值范围为21,12e ⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
—————8分
（Ⅲ）设存在公差为d 首项等于()1f 的等差数列{}n a
和公比q 大于0的等比数列{}n b ，使得数列{}n n a b +的前n 项和等于n S
()()()2101111111
,11
2
1121
1,, 2 1222
n x n x n n n n S f x dx e n b f e n a b S e a n a b S S e e --==-==--∴+==--=-≥+=-=--
⎰故又
故()()()()221
31122
2,31521122
d e q e e n d e q e e ⎧++-=--⎪⎪=⎨⎪++-=--⎪⎩-，有
即()()111d e q e e +-=-- ①， ()()222112d e q e e +-=-- ②
②-①×2得22
22q q e e -=-， ; 2q e q e ==-解得或（舍去）
故q e =，1d =-，此时，()121
,12
x n n n a b e e --=-
=-数列{}n n a b +的的前n 项和等于 ()()()()112211111
121212n x
n x n b q e e n a a n n e S q e ---++=-+=-+-=-- 故存在满足题意的等差数列{}n a 金额等比数列{}n b ，
使得数列{}n n a b +的前n 项和等于n S ——14分。