洛阳市高中三年级统一考试.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
洛阳市2015-2016学年高中三年级统一考试
数学试卷（文A）
2015.12
本试卷共150分．考试时间120分钟．
第I卷（选择题，共60分）
生意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卷上．
2.考试结束，将答题卷交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合A＝{x｜x2＜2－x｝，B =｛x｜一1＜x＜2｝，则AUB＝
A．（一1，1） B.（一2，2） C.（一1，2） D.（一2，1）
【考点】集合的运算
【试题解析】
因为A＝{x｜x2＜2－x｝={-2<x<1}，B =｛x｜一1＜x＜2｝，
所以AUB＝{X|-2<x<2}．
【答案】B
2.设i是虚数单位，则复数(1)(1)
i i
i
+-
的虚部为
A.一2
B.一2i
C. 2
D. 2i
【考点】复数乘除和乘方
【试题解析】
=所以其虚部为：-2．
【答案】A
3.已知向量a＝（sinθ, cosθ），b＝(2,，－1），若a b
⊥，则cos 2θ+ Sin 2θ＝
A、－1
5
B、
1
5
C、
3
5
D、
7
5
【考点】倍角公式同角三角函数的基本关系式
【试题解析】 因为，所以
又
所以cos 2θ+ Sin 2θ＝。

【答案】D
4．在区间［一2，2］上随机取两个实数a ，b ，则“ab ＞1”是“｜a ｜＋｜b ｜＞2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 【考点】充分条件与必要条件 【试题解析】
若“ab ＞1”则“｜a ｜＋｜b ｜＞2”成立，反过来不成立，如a=-2，b=1． 故答案为：A 【答案】A
5.设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若a l ＋8a 4＝0，则
4
3
S S ＝ A.、－
53 B 、157 C.56 D.1514
【考点】等比数列
【试题解析】 等比数列
中，因为al ＋8a4＝0，所以
所以
【答案】C
6.已知抛物线2
y =2px （p>0)的焦点F 到准线的距离为2，若抛物线上一点P 满足
2,||3P F F M P F ==，则点M 的坐标为
A ．（
12，22）或（12，－22） B.（12，2）或（1
2
，－2） C （22，12）或（22，－12） D.（2，12）或（2，－1
2
）
【考点】平面向量坐标运算抛物线
【试题解析】 由题知：p=2，所以
=4x ．因为|PF|=3，所以
，
设M（x，y），F(1，0)，所以由得：，
解得，即。

【答案】B
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．48
B．54
C．56
D．58
【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】
所以该几何体为：一个四棱柱削去一个三棱锥。

V=
【答案】D
8．设x，y满足约束条件，若｜4x＋6｜≤m恒成立，则实数m的取值范围是
A．（0，4］B．（0，52］C．［52，＋co）D．［36，＋co）
【考点】线性规划
【试题解析】
作可行域：
A(4，6)，B(0，-6)，C(0，2)。

Z=4x+6y在A点取得最大值，在B点取得最小值。

所以，即
【答案】C
9．执行如图所示程序框图，当输入x［一1，4］时，输出x属于
A．［0，1］
B．［0，2］
C．［－1，1］
D．［1，4］
【考点】算法和程序框图
【试题解析】
由程序框图知：
，所以，所以输出x属于：［0，2］．
【答案】B
10．已知双曲线
22
22
1(0,0)
4
x y
a b
a b
-=>>的右焦点为F，若点A（一2a，b）与点F关于双曲线的
一条渐近线对称，则该双曲线的离心率为
A．3B．2C．3D．2
【考点】双曲线
【试题解析】
由题知：F(c，0)，渐近线方程为：
，
若点A（一2a，b）与点F(c，0)关于对称，
则有：
所以
【答案】D
11．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为
A．22B．23C．4 D．25
【考点】空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】
实际上长为的棱即为长方体的体对角线，射影分别为长方体的面对角线。

设长方体的棱长分别为：x，y，z．
所以
所以a+b=8．
又8+2ab，所以
【答案】C
12．规定：''()('())'f x f x =，例如，2
(),'()2,''()2f x x f x x f x === 设g （x ）＝lnx ，函数h （x ）＝m ''g （x ）十'g （x ）一3
π
，下列结论正确的是 A ．当m ∈2(,)3
+∞时，函数h （x ）无零点 B ．当m ∈2(,)3
-∞时，函数h （x ）恰有一个零点 C ．当m ∈2[0,]3时，函数h （x ）恰有两个零点
D ．当m ∈22
(,)33
-时，函数h （x ）恰有三个零点
【考点】导数的综合运用 【试题解析】
因为g （x ）＝lnx ，所以
所以，（x>0） 令即分子为0，所以
（x>0）．
令
当m
时，y=m 与
无交点，
故h （x ）无零点。

【答案】A
第
II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：共20分．
13．若点（2，1）在y ＝x
a （a ＞0，且a ≠l ）关于y ＝x 对称的图象上，则a ＝ ． 【考点】对数与对数函数 【试题解析】
y ＝（a ＞0，且
l ）关于y ＝x 对称的函数是：，
所以
【答案】2
14．若四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝BC ＝AD ＝5，AC ＝BD ＝2，则四面体的 外接球的表面积为
【考点】空间几何体的表面积与体积 【试题解析】
由题知：外接球的球心为AC 、BD 中点连线的中点。

取AC 中点为E ，BD 中点为F ，EF 的中点为H ，
，
所以R=DG=所以S=
【答案】
15．已知△ABC 中，
，则
||PE ＝
【考点】平面向量的几何运算 【试题解析】 因为
所以
所以，
所以=
【答案】
16．已知函数11
()()221
x
f x x =-
+，则方程2(1)(21)f x f x x -=-+的所有实 根构成的集合的元素个数为 【考点】函数综合 【试题解析】
因为f(1)=f(-1)=，所以x=0时，
；
又令
，则
，则x=1或x=2．
所以方程的实根为：0，1，2．
即方程的实根构成的集合为{0，1，2}。

【答案】3
三、解答题：（本大题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分） 函数
的最大值为3，最小值为－1，其图象
两条对称轴之间的最短距离为
2π，且f （2
π
）＝1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）＝的单调递减区间．
【考点】三角函数的图像与性质
【试题解析】
（1）由题知：A+m=3，-A+m=-1，解得：A=2，m=1．
因为图象两条对称轴之间的最短距离为，所以
所以
又因为f（）＝1，所以
函数f（x）的解析式为：
（2）
由
得：
所以函数g(x)的单调递减区间为。

【答案】见解析
18．（本小题满分12分）
已知数列{}
n
a中，·
（1）证明是等差数列，并求数列{}
n
a的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为S n，已知存在正整数m，使得
恒成立，求m的最小值．
【考点】倒序相加，错位相减，裂项抵消求和数列的概念与通项公式
【试题解析】
（1）因为
所以
所以是以1为首项，以为公差的等差数列。

所以
，
所以
又由题知：所以
（2）由（1）知：
，
因为。

所以
所以
<
故当恒成立时，m的最小值为3【答案】见解析
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P一ABCD中，PC＝AD＝CD＝1
2
AB＝2，
AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求三梭锥N一AMC的体积．
【考点】空间几何体的表面积与体积垂直 【试题解析】
(1)证明：连接AC ，在直角梯形中，
所以
又PC ⊥平面ABCD ，
又
平面PAC ．
（2）N 为PB 的中点。

因为M 为PA 的中点，N 为PB 的中点， 所以
所以M ，N ，C ，D 四点共面，
所以点N 为过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 交点。

因为BC
平面PAC ，N 为PB 的中点，
所以N 到平面PAC 的距离 又
所以
【答案】见解析
20．（本小题12分）
已知点N （1，3），若椭圆22
3x y λ+=上存在两点A 、B ，使得AN NB =，且线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点． （1）求直线AB 的方程；
（2）是否存在λ，使得A 、B 、C 、D 四点共圆？若存在，写出圆的方程，若不存在，说明理由．
【考点】圆锥曲线综合椭圆 【试题解析】 （1）设A
，
有
，
两式相减得：3+=0
所以=-。

因为N(1，3)是AB的中点，所以
所以直线AB的方程为：
即
（2）因为CD垂直平分AB，
所以直线CD的方程为：即，代入椭圆方程得：
又设
CD的中点为M
则是方程的根，
所以
所以
|CD|=||=
将直线AB的方程代入椭圆方程得：
|AB|=||=。

因为N在椭圆内，所以
因为当时，>，所以|AB|<|CD|，
假设存在使A，B，C，D四点共圆，则CD为直径，M为圆心。

点M到直线AB的距离为：。

所以==
故当时，A，B，C，D均在以M为圆心，以CD为直径的圆上，
所以圆的方程为：
【答案】见解析
21．（本小题满分12分）
已知函数f（x）=（m＋x）lnx在（1，f（1））处的切线与直线y=2x一4平行．（1）求f（x）在区间［e，+∞）上的最小值；
（2）若对任意x∈（0，1），都有1
()220
f x x
a
+-<成立，求实数a的取值范围．
考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，用2B铅笔在答魔卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．
【考点】导数的综合运用
【试题解析】
（1）因为f（x）=（m＋x）lnx，所以f’(x)=
，
因为函数f（x）=（m＋x）lnx在（1，f（1））处的切线与直线y=2x一4平行，
所以f’(1)=1+m=2，所以m=1．
此时f（x）=（1＋x）lnx，f’(x)=
当时，f’(x)>0，
所以f(x)在［e，）上单调递增，
所以
（2）由题知：对任意的x（0，1），都有成立，
即成立，因为x（0，1），所以，
所以当a<0时，，不合题意；
当a>0时，成立。

设h(x)=恒成立，
h’(x)=，令g(x)=，
若a在（0，1）上单调递增，
又h(1)=0，所以h(x)<0．
若a>1，
故存在，
所以对任意的，
所以h(x)在上单调递减，又h(1)=0，
所以，不合题意。

综上，实数a的取值范围是（0，1）
【答案】见解析
22．（本小题满分10分）
选修4一1：几何证明选讲
如图，圆O的直径AB＝10，P是AB延长线上一点，BP＝2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AB的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．
（1）求证：∠PEC＝∠PDF；
（2）求PE·PF的值．
【考点】圆相似三角形
【试题解析】
（1）证明：连接BC，则
所以B，P，E，C四点共圆，
所以
又A，B，C，D四点共圆，所以
所以
（2）因为
所以F，E，C，D四点共圆，
所以
又
【答案】见解析
23．（本小题满分10分）
选修4一4：坐标系与参数方程
在直角坐标xoy系中，直线l经过点P（一1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为26cos10
ρρθ
-+=．
（l）写出直线l的参数方程，若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；
（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．
【考点】参数和普通方程互化极坐标方程
【试题解析】
(1)将极坐标方程化为直角坐标方程：
直线l的参数方程为（t为参数），
将其代入，整理得：，
因为直线与曲线有公共点，所以，
所以
或，
因为
所以a的取值范围是：
（2）曲线C的直角方程可以化为：
其参数方程为：（为参数）
因为M（x，y）为曲线C上任意一点，
所以x＋y
所以x＋y的取值范围是
【答案】见解析
24．（本小题满分10分）
选修4一5：不等式选讲
设关于x的不等式|x一2|＜a（a R
∈）的解集为A，且．
≥+恒成立，且a∈N，求a的值；
（1）对于任意的x∈R，｜x一1｜＋｜x一3｜2a a
（2）若a十b=1，求的最小值，并指出取得最小值时a的值．
【考点】不等式证明
【试题解析】
（1）因为
所以
|，
解得：
又｜x一1｜＋｜x一3｜，
所以，解得：，又a N
所以a=1．
（2）因为 a十b=1，
所以
当且仅当即时等号成立。

因为
所以的最小值为，且取得最小值时a的值为。

【答案】见解析。