2023年江苏省苏州市姑苏区重点中学中考数学一模试卷(含解析)

2023年江苏省苏州市姑苏区重点中学中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下面几个数中最大的是( )
A. π
B. 3
C. 1−π
D. −π2
2. 若a=1，则a=( )
A. −1
B. 1
C. ±1
D. 0
3. 近日从国家统计局获悉，2022年，苏州全体居民人均可支配收入首边突破7万元大关，达到70819元，则数据70819用科学记数法表示为( )
A. 7.0819×103
B. 0.70819×105
C. 7.0819×104
D. 70.819×103
4. 抛一枚质地均匀的硬币：连续抛4次，硬币落地时都是正面朝上，如果第5次抛抛掷这枚硬币，那么正面朝上的概率为( )
A. 1
4B. 1
5
C. 4
5
D. 1
2
5. 已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其底面圆半径为1，则该圆锥母线长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6. 关于x的方程(x−1)(x−2)−m2=0的根的情况是( )
A. 有一正一负两个不相等的实数根
B. 有两个正的不相等实数根
C. 至多有一个正的实数根
D. 至少有一个正的实数根
7. 如图，直线y=kx+4分别交坐标轴于点C、D，x轴上一点A关于直线CD的对称点A′坐标
为(13
3
,4)，则k的值为( )
A. −3
5B. −2 C. −2
3
D. −3
4
8.
如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1
个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相
等，并且图中线段a的长度为10−2，则这块地砖的面积为
( )
A. 50
B. 40
C. 30
D. 20
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. −3的相反数是．
10. 因式分解：a2−2a=．
11. 下列一组数据5，6，5，6，4，4的平均数是______ ．
12. 方程组{x−2y=2
2x+y=4的解是______ ．
13. 已知正六边形的内切圆半径为3，则它的周长为______ ．
14. 已知点P是半径为4的⊙O上一点，平面上一点Q到点P的距离为2，则线段OQ的长度a的范围为______ ．
15. 如图，O、B两点是线段AC的三等分点，以AB为直径作⊙O，点E为⊙O上一点，连接C E，交⊙O于点D，连接BD，若点D恰为线段CE中点，则tan∠ABD为______ ．
16.
将Rt△ABC
如图，
已知Rt△ABC的两条直角边AC=4，BC=3，
绕着直角边AC中点G旋转，得到△DEF，若△DEF的锐角顶点D
恰好落在△ABC 的斜边AB 上，斜边DE 与AC 交于点H ，则CH = ______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题5.0分)
计算：| 2−1|−(π+1)0+ (−3)2．
18. (本小题5.0分)
解不等式组{
1−x >32x −5≥0．19. (本小题6.0分)
先化简再求值：(1+1x−2)⋅x 2−4x−1，其中x =
3−2．
20. (本小题6.0分)
小明将三张正面分别印有“范”、“文”、“正”字样的卡片(卡片的颜色、形状、大小、质地都相同)背面朝上、洗匀．
(1)若从中任意抽取1张，抽得卡片上的字样恰好为“文”的概率是______ ．
(2)若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片字样不同的概率.(请用树状图或列表的方法求解)
21. (本小题6.0分)
2023年苏州文博会于4月17日至4月28日在苏州国际博览中心举行，我校气象兴趣小组的同学们想估计一下苏州今年4月份日平均气温情况.他们收集了苏州市近五年来4月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)这60天的日平均气温的中位数为______ ；众数为______ ；
(2)若日平均气温在18℃至21℃的范围内(包括18℃和21℃)为“舒适温度”，请估计苏州今年4月份日平均气温为“舒适温度”的天数．
22. (本小题6.0分)
如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，EA //FB ，EC //FD ，AB =CD .求证：EF //AD ．
23. (本小题8.0分)
如图，从灯塔C 处观测轮船A 、B 的位置，测得轮船A 在灯塔C 北偏西α的方向，轮船B 在灯塔C
北偏东β的方向，且AC =2 2海里，BC = 10海里，已知cosα= 22、sinβ=3
1010
，求A 、B 两艘轮船之间的距离.(结果保留根号)
24. (本小题8.0分)
如图，以x 轴上长为1的线段AB 为宽作矩形ABCD ，矩形长AD 、BC 交直线y =−x +3于点F 、E ，反比例函数y =k x
(x >0)的图象正好经过点F 、E ．
(1)线段EF 长为______ ；
(2)求k 值．
25. (本小题10.0分)
我们给出定义：如果三角形存在两个内角α与β满足2a+β=90°，那么我们称这样的三角形
为“准互余三角形”.已知△ABC为“准互余三角形”，并且∠A>∠B>∠C．
(1)如图①，若∠B=60°且AB=3，求边BC的长；
(2)如图②，∠B>45°，以边AC为直径作⊙O，交BC于点D，若BD=2，BC=7，试求⊙O 的面积．
26. (本小题10.0分)
如图，二次函数的图象分别交x轴于点A(−1,0)、点B(m,0)，交y轴于点C(0,m)(其中m>1)，连接AC、BC，点D为△ABC的外心，连接AD、BD、CD．
(1)这条抛物线的表达式为______ (用m的代数式表示)；
(2)若△CDB的面积为5
，请求出m的值；
2
(3)在(2)的条件下，连接OD，在直线BC上是否存在一点P，使得以点B、D、P为顶点的三角
形和△AOD相似，若存在，求出点P的纵坐标，若不存在，请说明理由．
27. (本小题12.0分)
如图①，点E为矩形ABCD中较短边AB上一任意点，连接DE，在AD上方以DE为边作正方形D EFG，分别连接CE、CF、CG，F与BC交于点H，若△ECD的面积y1与BE的长度x的函数关系的图象如图②中直线的一部分，正方形DEFG的面积y2与BE的长度x的函数关系的图象如图
②中抛物线的一部分．
(1)①矩形ABCD的面积=______ ；
②求出矩形ABCD的周长；
(2)E、C、G三点能否共线，若能，求出此时x的值，若不能，请说明理由；
(3)连接FB，令△BFE的面积为S1，△CEF的面积为S2，当x为间值时，S1
取得最大值？此时∠
S2
FCB和∠CGD是否相等？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵3<π<4，
∴−4<−π<−3，9<π2<16，
∴−3<1−π<−2，−16<−π2<−9，
∴π>3>1−π>−π2，
∴所给的几个数中最大的是π．
故选：A．
首先比较出π、1−π、−π2的取值范围，然后根据有理数大小比较的方法判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都
小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】B
【解析】解：∵a=1，
∴a=12=1．
故选：B．
根据a=(a)2，求出a的值即可．
此题主要考查了算术平方根的含义和求法，解答此题的关键是要明确：a=(a)2．
3.【答案】C
【解析】解：70819=7.0819×104．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
会【解析】解：∵概率是频率(多个)的波动稳定值，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率m
n 稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，
∴抛掷硬币4次的结果不是事件的概率，
∵抛掷一枚质地均匀的硬币只有两种情况：正面朝上或反面朝上，
∴硬币正面朝上的概率都是1
．
2
故选：D．
直接利用概率的意义分析得出答案．
此题考查了概率的意义以及概率公式，明确概率的意义以及概率的计算方法是解答的关键．5.【答案】B
【解析】解：设该圆锥母线长为l，
，
根据题意得2π×1=180×π×l
180
解得l=2，
即该圆锥母线长为2．
故选：B．
设该圆锥母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2π×1=180×π×l
，然后解方程即可．
180
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
6.【答案】D
【解析】解：方程整理得：x2−3x+2−m2=0，
∵Δ=9−4(2−m2)=4m2+1>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵方程的两个根和为3>0，
∴至少有一个正的实数根，
故选：D．
方程整理后，表示出根的判别式，然后根据根与系数的关系判断即可．
此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．7.【答案】C
【解析】解：连接AA′，交CD于点P，连接AD、A′D、A′
C，
∵直线y=kx+4分别交坐标轴于点C、D，
∴D(0,4)，
∵点A′坐标为(13
3
,4)，
∴A′D//AC，
∴A′D=13
3
，OD=4，∠A′DP=∠ACP，
由题意可知，AD=A′D，AC=A′C，CD垂直平分AA′，
∴PA=PA′，
∵∠A′PD=∠APC，
∴△A′PD≌△APC(ASA)，
∴A′D=AC，
∴四边形ADA′C是菱形，
∵AD=AC=13
3
，
∴OA=AD2−OD2=5
3
，
∴OC=OA+AC=5
3+13
3
=6，
∴C(6,0)，
∵直线y=kx+4分别交坐标轴于点C、D，
∴6k+4=0，
解得k=−2
3
．
故选：C．
连接AA′，交CD于点P，连接AD、A′D、A′C，与A′、D的坐标可知A′D//AC，即可得到A′D=13
3
，OD=4，∠A′DP=∠ACP，与对称的性质得到AD=A′D，AC=A′C，CD垂直平分AA′，证得△A′P
D≌△APC(ASA)，即可证得四边形ADA′C是菱形，得到AD=AC=13
3
，利用勾股定理求得OA，即可求得点C的坐标，利用待定系数法即可求得k的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化−对称，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，待定系数法求一次函数的解析式，求得点C的坐标是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，
根据题意易知，点O为正方形ABCD，EFGH的中心，
∴S△E O F=1
4
S正方形E F G H，即S正方形E F G H=4S△E O F，
S正方形A B C D=5S正方形E F G H，
∵S五边形A M F E P=S正方形E F G H，
∴S五边形A M F E P=4S△E O F，
∵S五边形A M F E P=1
4
S正方形A B C D−S△E O F，
∴1
4
S正方形A B C D=5S△E O F，
设正方形ABCD的边长为2x，则OF=OE=x−a，
∴1 4⋅2x⋅2x=5
2
(x−a)2，
解得：x=(5±10)a
3
，
∵a=10−2，
∴x=10或710−20
3
，
∵710−20
3
<a=10−2，
∴x=10，
∴S正方形A B C D=210×210=40．
故选：B．
如图，根据题意易知，点O为正方形ABCD，EFGH的中心，利用图中的面积关系最终可推出1
4
⋅2x⋅2 S正方形A B C D=5S△E O F，设正方形ABCD的边长为2x，则OF=OE=x−a，以此可得方程1
4 (x−a)2，借此方程，再将a的值代入即可求解．
x=5
2
本题主要考查全等图形、正方形的性质、二次根式的应用、一元二次方程的应用，利用已知条件，得到各部分图形之间的面积关系列出方程是解题关键．
9.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号.一个正数的相反数是
负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号.根据此解答即可．
【解答】
解：−(−3)=3，
故−3的相反数是3．
故答案为：3．
10.【答案】a(a−2)
【解析】
解：a2−2a=a(a−2)．
故答案为：a(a−2)．
【分析】本题考查提公因式法−因式分解，较为简单，找准公因式是解题的关键．
先确定公因式是a，然后提取公因式即可．
11.【答案】5
=5．
【解析】解：这组数据的平均数为5+6+5+6+4+4
6
故答案为：5．
求出这组数据的和，再除以6即可．
本题考查了算术平均数，掌握算术平均数的定义是解答本题的关键．
12.【答案】{x=2
y=0
【解析】解：{x−2y=2①
2x+y=4②，
①+②×2得：5x=10，
解得：x=2，
将x=2代入①得2−2y=2，
解得：y=0，
则方程组的解为{x=2
y=0，
故答案为：{x=2
y=0．
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13.【答案】12
【解析】解：如图，连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长等于正六边形的半径，设正六边形的半径为a，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=a，
=3，解得a=2，
∴OG=OA⋅sin60°=a×3
2
∴它的周长=6a=12．
故答案为：12．
根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．
此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形及特殊角的三角函数值，根据已知得出六边形ABCDE F是边长等于正六边形的半径是解题关键．
14.【答案】2≤a≤6
【解析】解：如图，当点Q 在圆外且O ，Q ，P 三点共线时，线段OQ 的长度的最大，最大值为4+2=6；
当点Q 在圆内且O ，Q ，P 三点共线时，线段OQ 的长度的最小，最小值为4−2=2，
所以，线段OQ 的长度a 的范围为2≤a ≤6．故答案为：2≤a ≤6．
如图，当点Q 在圆外且O ，Q ，P 三点共线时，线段OQ 的长度的最大，当点Q 在圆内且O ，Q ，P 三点共线时，线段OQ 的长度的最小，据此得到结论．
本题考查了点与圆的位置关系，正确的作出图形是解题的关键．
15.【答案】 15
【解析】解：连接OE 、AD ，如图，设⊙O 的半径为r ，
∵O 、B 两点是线段AC 的三等分点， ∴OB =CB ，
∵点D 恰为线段CE 中点，∴BD 为△OCE 的中位线，∴BD =1
2OE =12
r ，∵AB 为直径，∴∠ADB =90°，
在Rt △ABD 中，AD = AB 2−BD 2= (2r )2−(1
2r )2=
152
r ，∴tan ∠ABD =AD
BD
=
15
2r 12
r = 15．
故答案为： 15．
连接OE 、AD ，如图，设⊙O 的半径为r ，先证明BD 为△OCE 的中位线，则BD =1
2
r ，再根据圆周角定理得到∠ADB =90°，再利用勾股定理计算出AD =
15
2
r ，然后根据正切的定义求解．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
16.【答案】28
39
【解析】解：连接CD，
∵AC=4，BC=3，
由勾股定理得，AC=5，
∵点G为AC的中点，
∴AG=CG，
∵△DEF的锐角顶点D恰好落在△ABC的斜边AB上，∴AG=DG，
∴∠A=∠ADG，∠GCD=∠GDC，
∴∠ADC=1
2
×180°=90°，
∵cosA=AD
AC =AC
AB
，
∴AD
4=4
5
，
∴AD=16
5
，
∵∠AHD=∠DHG，∠HDG=∠HAD，∴△HDG∽△HAD，
∴DG AD =DH
HA
=HG
HD
=
2
16
5
=5
8
，
设GH=5x，则DH=8x，AH=5x+2，
∴8x 5x+2=5
8
，
解得x=10
39
，
经检验，x=10
39
是方程的解，
∴AH=5x+2=128
39
，
∴CH=AC−AH=4−128
39=28
39
，
故答案为：28
39
．
连接CD，根据AG=GD=CG，可说明∠ADC=90°，从而求出AD的长，再利用△HDG∽△HAD，
得DG
AD =DH
HA
=HG
HD
=
2
16
5
=5
8
，设GH=5x，则DH=8x，AH=5x+2，进而得出x的值．
本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，证明△HDG∽△HAD 是解决问题的关键．
17.【答案】解：|2−1|−(π+1)0+(−3)2
=2−1−1+3
=2+1．
【解析】首先计算零指数幂、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解：{1−x>3①
2x−5≥0②，
解不等式①得：x<−2，
解不等式②得：x≥2.5，
∴原不等式组无解．
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19.【答案】解：原式=x−2+1
x−2⋅(x+2)(x−2)
x−1
=x+2，
当x=3−2时，
原式=3−2+2=3．
【解析】先计算括号内的，再算乘法，最后约分即可化简原式，将x的值代入可得答案．本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】1
3
【解析】解：(1)若从中任意抽取1张，抽得卡片上的字样恰好为“文”的概率是1
3
，
故答案为：1
3
；
(2)将三张正面分别印有“范”、“文”、“正”字样的卡片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片字样不同的结果有6种，
∴两次抽取的卡片字样不同的概率为6
9=2
3
．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片字样不同的结果有6种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】19.519
【解析】解：(1)这60天的日平均气温的中位数为19+20
2
=19.5，
众数为19，
故答案为：19.5，19；
(2)∵12+13+9+6
60
×30=20(天)，
∴估计苏州今年4月份日平均气温为“舒适温度”的天数大约为20天．
(1)根据中位数和众数的概念求解即可；
(2)用样本中气温在18℃～21℃的范围内的天数所占比例乘以4月份的天数即可．
本题主要考查众数和中位数、加权平均数、样本估计总体，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
22.【答案】证明：∵EA//BF，EC//FD，
∴∠A=∠FBD，∠ACE=∠D，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
即AC=BD，
在△AEC和△BFD中，
{∠A=∠F B D
A C=
B D
，
∠A C E=∠D
∴△AEC≌△BFD(ASA)，
∴EC=FD，
∵EC//FD，
∴四边形EFDC为平行四边形，
∴EF//CD，
∴EF//AD．
【解析】由平行线的性质得∠A=∠FBD，∠ACE=∠D，再证AC=BD，然后证△AEC≌△BFD(AS A)，然后利用平行四边形的判定与性质即可得出结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
23.【答案】解：过点A、B分别作东西方向的垂线于点
E、D，作BF⊥AE于点F，
∴AE//CH//BD，
∴∠CAE=∠ACH=α，∠CBD=∠BCH=β，
则四边形FEDB为矩形，
∴EF=BD，FB=ED，
在Rt△AEC中，∠CAE=α，
∵cosα=2
，
2
∴α=45°，
∵AC=22海里，
AC=2(海里)，
∴AE=CE=2
2
在Rt△BCD中，∠CBD=β，BC=10海里，
×10=3(海里)，
∴CD=sinβ⋅BC=310
10
由勾股定理得，BC2=BD2+CD2，即(10)2=BD2+32，
解得，BD=1，
∴AF=AE−EF=1(海里)，BF=EC+CD=2+3=5(海里)，
则AB=AF2+BF2=12+52=26(海里)，
答：A，B两艘轮船之间的距离为26海里．
【解析】过点A、B分别作东西方向的垂线于点E、D，作BF⊥AE于点F，根据等腰直角三角形的性质分别求出AE、CE，根据正切的定义分别求出BD、CD，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24.【答案】2
【解析】解：(1)∵点F、E在直线y=−x+3图象上，
∴设F(m,−m+3)，则E(m+1,−(m+1)+3)，即(m+1,−m+2)
∴EF=(m+1−m)2+(−m+2+m−3)2=2．
故答案为：2；
(2)∵反比例函数y=k
(x>0)的图象正好经过点F、E，
x
∴k=m(−m+3)=(m+1)(−m+2)，
解得m=1，
∴k=m(−m+3)=1×2=2．
(1)表示出E、F的坐标，然后利用勾股定理即可求得EF的长度；
(2)根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=m(−m+3)=(m+1)(−m+2)，解得即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，求线段的长度，正确表示出点的坐标是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵∠BAC>∠B>∠ACB，△ABC为“准互余三角形”，
∴2∠C+∠B=90°，
即2∠ACB+60°=90°，
∴∠ACB=15°，
过A点作AH⊥BC于H点，
过C点作CD⊥AB于D点，
如图①，
在Rt△ABH中，∵BH=1
2
AB=3
，
2
∴AH=3BH=3
，
2
∵∠BCD=90°−∠B=30°，
∴CA平分∠BCD，
∴AD=AH=3
，
2
∴BD=3+3
，
2
在Rt△BCD中，∵∠BCD=30°，
∴BC=2BD=23+3；
(2)延长BA交⊙O于E点，连接CE、AD，如图②，
∵AC为直径，
∴∠AEC=∠ADC=90°，
∵∠B>45°，△ABC为“准互余三角形”，
∴2∠ACB+∠B=90°，
∵∠B+∠BCE=90°，
∴∠ACB=∠ACE，
即CA平分∠BCE，
∴AE=AD，
∵BD =2，BC =7，∴CD =5，∵∠CAE =∠CAD ，∴CE =CD =5，
在Rt △BCE 中，BE = BC 2−CE 2= 72−52=2 6，设AE =x ，则AB =2 6−x ，AD =x ，在Rt △ABD 中，∵BD 2+AD 2=AB 2，∴22+x 2=(2 6−x )2，解得x =5
6
6
，
在Rt △
ACD 中，AC 2=
52
+(5 66)2=
1756，∴⊙O 的面积=π×14
AC 2=
175
24
π. 【解析】(1)利用新定义计算出∠ACB =15°，过A 点作AH ⊥BC 于H 点，过C 点作CD ⊥AB 于D 点，如图①，先计算出BH =
3
2，则AH = 3BH =32
，再证明∠BCD =30°，CA 平分∠BCD ，根据角平
分线的性质得到AD =AH =32
，所以BD = 3+32
，然后在Rt △BCD 中利用含30度直角三角形三边的关系得到BC 的长；
(2)延长BA 交⊙O 于E 点，连接CE 、AD ，如图②，利用圆周角定理得到AC 为直径，再利用新定义计算出∠ACB =∠ACE ，即CA 平分∠BCE ，所以AE =AD ，接着证明∠CAE =∠CAD 得到CE =CD =5，于是利用勾股定理可计算出BE =2 6，设AE =x ，则AB =2 6−x ，AD =x ，在Rt △ABD 中
得到22+x 2=(2 6−x )2，解方程得到AD =5
6
6
，然后在Rt △ACD 中利用勾股定理计算出AC ，从
而得到⊙O 的面积．
本题考查了圆周角定理：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了角平分线的性质和勾股定理．
26.【答案】y =−x 2+(m−1)x +m
【解析】解：(1)设抛物线的表达式为y =a (x +1)(x−m )，将C (0,m )代入得：m =−ma ，∵m >1，∴a =−1，
∴y =−(x +1)(x−m )=−x 2+(m−1)x +m ；∴抛物线的表达式为y =−x 2+(m−1)x +m ；故答案为：y =−x 2+(m−1)x +m ；
(2)连接OD 并延长交BC 于E ，过D 作DH ⊥OB 于H ，如图：
∵B (m ,0)，C (0,m )，
∴OB =OC =m ，△BOC 是等腰直角三角形，∴O 在线段BC 的中垂线上，∵D 为△ABC 的外心，∴BD =CD ，
∴D 在线段BC 的中垂线上，∴直线OE 是线段BC 的中垂线，
∴BE =CE ，OE ⊥BC ，B 与C 关于直线OE 对称，
∴△BOE ，△ODH 是等腰直角三角形，S △B D E =1
2
S △B C D =
54
，∴OH =DH ，
∴D 的横坐标与纵坐标相等，∴直线OE 解析式为y =x ，∵D 为△ABC 的外心，∴AD =BD ，∴H 是AB 的中点，∵A (−1,0)、B (m ,0)，∴H (m−12,0)，即OH =m−1
2
，∴D (
m−12,m−1
2
)，∵S △B D E =S △B O E −S △B O D =1
2
S △B O C −S △B O D ，
∴
54
=12×12m 2−1
2m ⋅m−12，解得m = 5；
(3)在直线BC 上存在一点P ，使得以点B 、D 、P 为顶点的三角形和△AOD 相似，理由如下：由(2)知∠DOB =45°=∠CBO ，m = 5，∴B ( 5,0)，C (0, 5)
∴直线BC 解析式为y =−x + 5，∠DAO +∠ADO =∠DBO +∠DBC =45°，∵AD =BD ，∴∠DAO =∠DBO ，∴∠ADO =∠DBC ，
要使以点B 、D 、P 为顶点的三角形和△AOD 相似，只需AD BD =DO PB 或AD PB =DO
BD
且P 在射线BC 上，当
AD BD =DO
PB
时，如图：
设P (t ,−t + 5)，t < 5，
∵A (−1,0)，B (
5,0)，D (
5−12,
5
−12
)，
∴AD = 3，BD = 3，DO =
10−
22
，PB = (t − 5)2+(t −
5)2= 2( 5−t )，
∴
3
3=
10−
2
2 2( 5−t )
，解得t =
5+1
2
，∴−t + 5=
5
−12
，
∴P 的纵坐标为
5−1
2
；当
AD PB =DO
BD
时，如图：
同理可得
3
2(
5−t )
=
10− 22
3
，
解得t =
5−3
4
，∴−t + 5=3
5
+34
，
∴P 的纵坐标为3 5+3
4
；
综上所述，P 的纵坐标为
5−12
或3 5+3
4．
(1)设抛物线的表达式为y =a (x +1)(x−m )，将C (0,m )代入可求出抛物线的表达式为y =−x 2+(m−1)x +m ；
(2)连接OD 并延长交BC 于E ，过D 作DH ⊥OB 于H ，由B (m ,0)，C (0,m )，D 为△ABC 的外心，可得直线OE 是线段BC 的中垂线，即可得△BOE ，△ODH 是等腰直角三角形，S △B D E =1
2
S △B C D =
54
，从而知直线OE 解析式为y =x ，由A (−1,0)、B (m ,0)，得H (m−12,0)，即OH =m−1
2
，故D (
m−12,m−1
2
)，可得
54
=12×12m 2−1
2m ⋅m−12，即可解得m =
5；
(3)由(2)知∠DOB =45°=∠CBO ，m = 5，得直线BC 解析式为y =−x + 5，∠ADO =∠DBC ，要使以点B 、D 、P 为顶点的三角形和△AOD 相似，只需
AD BD =DO PB 或AD PB =DO BD 且P 在射线BC 上，当AD
BD
=DO
PB
时，设P (t ,−t + 5)，t <
5，
3
3=
10−
22 2( 5−t )
，可得P 的纵坐标为 5
−12；当AD PB =DO BD 时，同理可得P 的纵坐标为3 5+3
4
．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，三角形外心，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
27.【答案】12
【解析】解：(1)①由图②知，△ECD的面积为6，
∴1
CD⋅AD=6，
2
∴CD⋅AD=12，
∴矩形ABCD的面积为12；
故答案为：12；
②由图②知，正方形DEFG的面积最大为25，此时边DE最大，E与B重合，
∴AB2+AD2=25，
由矩形ABCD，结合①可知AB⋅AD=CD⋅AD=12，
∴AB+AD=AB2+AD2+2A B⋅A D=25+2×12=7，
∴矩形ABCD的周长为14；
(2)E、C、G三点不能共线，理由如下：
由(1)知AB+AD=7，AB⋅AD=12，
∴AB=3，AD=4(AB为矩形ABCD的较短边，AB=4，AD=3已舍去)，
以A为原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系，过G作GK⊥CD交DC延长线于K，如图：
∵∠KDG=90°−∠EDC=∠EDA，∠K=90°=∠EAD，DE=DG，
∴△DKG≌△DAE(AAS)，
∴DK=AD=4，KG=AE，
设AE=m，则KG=m，
∴E(0,m)，G(4+m,4)，
x+m，
∴直线EG函数表达式为y=4−m
4+m
×4+m，
若C(4,3)在直线EG上，则3=4−m
4+m
变形整理得：m 2−3m +4=0，∵Δ=(−3)2−4×4=−7<0，∴C (4,3)不可能满足y =
4−m
4+m
x +m ，∴C 不可能在直线EG 上，故E 、C 、G 三点不能共线；(3)过F 作FT ⊥y 轴于T ，FW ⊥BC 于W ，如图：
∵∠TEF =90°−∠AED =∠ADE ，∠ETF =90°=∠EAD ，EF =ED ，∴△EFT≌△DEA (AAS )，∴TF =AE ，TE =AD =4，∵BE =x ，
∴AE =AB−BE =3−x =TF ，∵BH //TF ，∴
BH TF =BE TE 即BH
3−x
=x 4，∴BH =−x 2
4+3
4
x ，
∴CH =4−BH =x 2
4
−34
x +4，
∴S 1=1
2BE ⋅TF =12x ⋅(3−x )=−12x 2+32x ，S 2=12CH ⋅TE =12(x 24−34
x +4)×4=x 2
2
−32
x +2，
∴S 1S 2=−12
x 2+32x x 22
−32
x +2
=−1+4x 2−3x +4，
当x 2−3x +4最小时，
4x 2−3x
+4
最大，从而S
1S 2
最大，
∵x 2−3x +4=(x−32
)2+74
，
∴当x =3
2时，x 2−3x +4最小为7
4，此时S
1S 2
取得最大值，
∴BE =32
，
∴AE =TF =3−32
=32
，TB =TE−BE =4−32
=52
，∴BW =TF =32
，FW =TB =52
，∴CW =BC−BW =4−32
=52
，∴CW =FW ，
∴△CFW 是等腰直角三角形，∴∠FCB =45°，∵∠EGD =45°，∴∠FCB =∠EGD ，由(2)知C 不在EG 上，∴∠CGD ≠∠FCB ．
∴当x =3
2时，S
1S 2
取得最大值，此时∠FCB 与∠CGD 不相等．
(1)①由图②知△ECD 的面积为6，即12
CD ⋅AD =6，可得矩形ABCD 的面积为12；
②由图②知，正方形DEFG 的面积最大为25，此时边DE 最大，E 与B 重合，可得AB 2+AD 2=25，结合AB ⋅AD =CD ⋅AD =12，可得AB +AD = AB 2+AD 2+2A B ⋅A D =7，故矩形ABCD 的周长为14；
(2)由(1)知AB +AD =7，AB ⋅AD =12，得AB =3，AD =4，以A 为原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，过G 作GK ⊥CD 交DC 延长线于K ，证明△DKG≌△DAE (AAS )，得DK =AD =4，KG =AE ，设AE =m ，则KG =m ，可得直线EG 函数表达式为y =
4−m 4+m x +m ，将C (4,3)代入得3=4−m
4+m
×4+m ，变形得：m 2−3m +4=0，由Δ=(−3)2−4×4=−7<0，知C (4,3)不可能满足y =4−m
4+m
x +m ，从而可得C 不可能在直线EG 上，故E 、C 、G 三点不能共线；
(3)过F 作FT ⊥y 轴于T ，FW ⊥BC 于W ，证明△EFT≌△DEA (AAS )，得TF =AE ，TE =AD =4，
有AE =AB−BE =3−x =TF ，可求出BH =−x 24+34x ，即可得S 1S 2=−12
x 2+32x x 22
−32
x +2
=−1+4x 2−3x +4，当
x 2−3x +4最小时，
4x 2−3x
+4最大，从而S 1S 2最大，故当x =32时，x 2−3x +4最小为74，此时S
1S 2
取得最大值，根据BE =3
2
，可证△CFW 是等腰直角三角形，∠FCB =45°，由(2)知C 不在EG 上，即得∠CG D ≠∠FCB ．
本题考查二次函数综合应用，涉及正方形性质，全等三角形判定与性质，一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．。