宜宾市2020年新高考高一数学下学期期末联考试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若63,43,6
c b B π
===，则ABC ∆
A ．无解
B ．有一解
C ．有两解
D ．解的个数无法确定
2．如图，E 是平行四边形ABCD 的边AD 的中点，设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12AC a AB a AE =+，则10S =（ ）
A ．25
B ．
65
2
C ．252
-
D ．55
3．点()
1,2,3A 是空间直角坐标系O xyz -中的一点，过点A 作平面yOz 的垂线，垂足为B ，则点B 的坐标为（ ） A ．（1，0，0）
B ．()
0,2,3
C ．()
1,0,3
D ．()
1,2,0
4．如图，'''A B C ∆是ABC ∆的直观图，其中'''',''//A B A C A B x =轴，''//A C y 轴，那么ABC ∆是（ ）
A ．等腰三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．直角三角形
5．己知函数()2*
21,12x x n n f x n N x x x -+-⎛⎫=∈≠ ⎪++⎝⎭
的最小值为n a ，
最大值为n b ，若()()11n n n c a b =--，则数列{}n c 是（ ） A ．公差不为0的等差数列 B ．公比不为1的等比数列 C ．常数数列
D ．以上都不对
6．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表
根据上表可得回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元
B ．65.5万元
C ．67.7万元
D ．72.0万元
7．甲.乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度.跑步速度均相同，则（ ） A ．甲先到教室 B ．乙先到教室 C ．两人同时到教室
D ．谁先到教室不确定
8．过正方形ABCD 的顶点A ，作PA ⊥平面ABCD ，若PA BA =，则平面ABP 和平面CDP 所成的锐二面角的大小是
A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
9． 下列函数中，图象的一部分如图所示的是 （ ）
A ．sin 6y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
B ．sin 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C ．cos 43y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
D ．cos 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
10．下列命题中正确的是（ ） A ．OA OB AB -= B ．0AB BA += C ．00AB ⋅=
D ．AB BC DC AD +-=
11．已知等差数列{}n a 中，12a =，932a =，则357a a a ++的值为（ ） A ．51
B ．34
C ．64
D ．512
12．不等式220ax bx +-≥的解集为1
{|2}4
x x -≤≤-，则实数,a b 的值为（ ） A ．8,10a b =-=- B ．1,9a b =-= C ．4,9a b =-=- D ．1,2a b =-=
二、填空题：本题共4小题
13．已知sin 2sin αα=，0,
2a π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，则tan α=________． 14．函数2sin cos y x x =-的最大值为 ．
15．已知数列{}n a 的前n 项和2
21n S n n =++，则61a a +=___________．
16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(3)cos cos b c A a C -=，则cos A =____ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图所示，某海轮以30海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30，海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C 点，求P ，C 间的距离．
18． 已知圆C 过点()1,0A 和()3,0B ，且圆心在直线y x =上. （Ⅰ）求圆C 的标准方程；
（Ⅱ）求直线l ：3410x y -+=被圆C 截得的弦长.
19．（6分）如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11BB C C 是边长为2的菱形，160B BC ∠=︒，且1AB B C ⊥.
(1)求证: 1ABB ABC ∠=∠；
(2)若AB AC =，当二面角1B AB C --为直二面角时，求三棱锥1A BB C -的体积. 20．（6分）已知集合{}|44A x a x a =-+<<+，{|1B x x =≤-或}5x >. （1）若1a =，求A B ；
（2）若A
B R =，求a 的取值范围.
21．（6分）已知向量(sin ,cos ),(3cos ,cos ),()a x x b x x f x a b ===⋅
（1）求函数()f x a b =⋅的单调递减区间；
（2）在ABC 中，3sin BC B C =
=，若()1f A =，求ABC 的周长.
22．（8分）已知圆C 过点(1,4),(3,2)M N ,且圆心在直线430x y -=上． （1）求圆C 的方程；
（2）平面上有两点(2,0),(2,0)A B -，点P 是圆C 上的动点，求2
2
||||AP BP +的最小值；
（3）若Q 是x 轴上的动点，,QR QS 分别切圆C 于,R S 两点，试问：直线RS 是否恒过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
求得sin c B =b c <，即可判定ABC 有两解，得到答案. 【详解】
由题意，因为1
sin 2
c B ==b =b c <，所以ABC 有两解. 【点睛】
本题主要考查了三角形解的个数的判定，以及正弦定理的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】
根据向量的加法和平面向量定理，得到1a 和2a 的值，从而得到等差数列{}n a 的公差，根据等差数列求和公式，得到答案. 【详解】
因为E 是平行四边形ABCD 的边AD 的中点， 所以2AC AB AD AB AE =+=+，
因为12AC a AB a AE =+，所以11a =，22a =，
所以等差数列{}n a 的公差1d =， 所以101109
10552
S a d ⨯=+=. 故选：D. 【点睛】
本题考查向量的加法和平面向量定理，等差数列求和公式，属于简单题. 3．B 【解析】 【分析】
根据空间直角坐标系的坐标关系,即可求得点B 的坐标. 【详解】
空间直角坐标系O xyz -中点(A
过点A 作平面yOz 的垂线,垂足为B ,可知(B 故选:B 【点睛】
本题考查了空间直角坐标系及坐标关系,属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】
利用斜二测画法中平行于坐标轴的直线，平行关系不变这个原则得出ABC ∆的形状． 【详解】
在斜二测画法中，平行于坐标轴的直线，平行关系不变，
则在原图形中，//AB x 轴，//AC y 轴，所以，AB AC ⊥，因此，ABC ∆是直角三角形， 故选D ． 【点睛】
本题考查斜二测直观图还原，解题时要注意直观图的还原原则，并注意各线段长度的变化，考查分析能力，属于基础题． 5．C 【解析】 【分析】
先根据判别式法求出()f x 的取值范围,进而求得n a 和n b 的关系,再展开算出n c 分析即可. 【详解】
设22
1
x x n
y x x -+=++,则222(1)(1)(1)0x x y x x n y x y x y n ++=-+⇒-+++-=, 因为1
2
n x -≠
,故1y ≠,故二次函数2(1)4(1)()0y y y n ∆=+---≥,整理得 23(46)410y n y n -++-≤,故n a 与n b 为方程23(46)410y n y n -++-=的两根,所以
()()46414
111()1333
n n n n n n n n n c a b a b a b +-=--=-++=-
+=-为常数. 故选C. 【点睛】
本题主要考查判别式法求分式函数范围的问题,再根据二次函数的韦达定理进行求解分析即可. 6．B 【解析】
∵ 3.5,42x y ==， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程ˆy
bx a =+中的b 为9.4 ∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，
∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5， 故选B ． 7．B 【解析】 【分析】
设两人步行，跑步的速度分别为12,V V ，（12V V <）．图书馆到教室的路程为2S ，再分别表示甲乙的时间，作商比较即可. 【详解】
设两人步行、跑步的速度分别为12,V V ，（12V V <）．图书馆到教室的路程为2S ． 则甲所用的时间为：112
s s
t v v =
+． 乙所用的时间2t ，满足
121
2t v +22212t v s =，解得212
4s t v v =+．
则12t t ＝()1212124s v v v v v v s ++⨯＝()21212
1212
444v v v v v v v v +>
＝1．∴12t t >．故乙先到教室． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了路程与速度、时间的关系、基本不等式的性质，属于基础题．
8．B
【解析】
法一：建立如图(1)所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1＝(0,1,0)，n2＝(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为12
12
n n
n n
＝
2
2
，故所求的二面角的大小是45°.
法二：将其补成正方体．如图(2)，不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ 所成的二面角，其大小为45°.
9．D
【解析】
【分析】
【详解】
设图中对应三角函数最小正周期为T，从图象看出，T=
1264
πππ
+=，
所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin2x向左平移了个单位，
即sin2()
6
y x
π
=+=sin(2)cos(2)cos(2)
3236
x x x
ππππ
+=-++=-，选D.
10．D
【解析】
【分析】
根据向量的加减法的几何意义以及向量数乘的定义即可判断．
【详解】
OA OB BA
-=，0
AB BA
+=，00
AB
⋅=，AB BC DC AC CD AD
+-=+=，故选D．
【点睛】
本题主要考查向量的加减法的几何意义以及向量数乘的定义的应用．
11．A
【解析】
【分析】
根据等差数列性质;若m n p q
+=+，则
m n p q
a a a a
+=+即可。

因为{}n a 为等差数列，所以193752a a a a a +=+=，35751a a a ++=，所以选择A 【点睛】
本题主要考查了等差数列比较重要的一个性质；在等差数列中若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，属于基础题。

12．C 【解析】 【分析】 【详解】
不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4
x x -≤≤-，
1
2,4
∴--为方程220ax bx +-=的两根，
则根据根与系数关系可得112
2(),(2)()44b a a -+-=--⋅-=-，
4,9a b ∴=-=-.
故选C.
考点：一元二次不等式；根与系数关系. 二、填空题：本题共4小题
13【解析】 【分析】
由二倍角求得α，则tanα可求． 【详解】
由sin2α=sinα，得2sinαcosα=sinα， ∵0,
2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
, ∴sinα≠0,则12cos α=,即3
πα=. ∴tan α=
. 【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查公式的灵活应用，属于基础题.
14
略 15．17 【解析】 【分析】
根据所给n S 的通项公式，代入求得1a ，并由665a S S =-代入求得6a .即可求得61a a +的值. 【详解】
数列{}n a 的前n 项和3
21n S n n =++，
则11214S =++=，
而26626149S =+⨯+=，2
5525136S =+⨯+=，
所以665493613a S S =-=-=， 则6141317a a +=+=， 故答案为：17. 【点睛】
本题考查了数列前n 项和通项公式的应用，递推法求数列的项，属于基础题.
16．
3
【解析】 【分析】
利用正弦定理将边角关系式中的边都化成角，再结合两角和差公式进行整理，从而得到cos A . 【详解】
(
)
3cos cos b c A a C -=
由正弦定理可得：
)
sin cos cos sin cos sin cos B C A B A C A A C -=-=
()cos sin cos cos sin sin sin B A A C A C A C B =+=+=
()0,B π∈ sin 0B ∴≠ cos 3
A ∴=
本题正确结果：3
【点睛】
本题考查李用正弦定理进行边角关系式的化简问题，属于常规题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17
． 【解析】 【分析】
在ABP △中，利用正弦定理可求得BP 的长，在直角三角形BPC △中，利用勾股定理，可求P 、C 间的距离． 【详解】
在ABP △中，40
302060
AB =⨯
=，30APB ∠=︒，120BAP ∠=︒， 由正弦定理知 sin sin AB BP
BPA BAP
=∠∠
得20 12
∴BP =.
在BPC △中，80
304060
BC =⨯
=， 又90PBC ∠=︒，
∴
PC ==
=
∴可得P 、
C 间距离为 【点睛】
本题的考点是解三角形的实际应用，主要考查将实际问题转化为数学问题，可把条件和问题放到三角形中，利用正弦定理及勾股定理求解．
18．（Ⅰ）22(2)(2)5x y -+-=（
Ⅱ 【解析】 【分析】
（Ⅰ）设出圆心坐标和圆的标准方程，将点带入求出结果即可； （Ⅱ）利用圆心到直线的距离和圆的半径解直角三角形求得弦长. 【详解】
解：（Ⅰ）由题意可设圆心坐标为(),a a ，则圆的标准方程为()()2
2
2x a y a r -+-=，
∴122
322
((a r a r ⎧+=⎨+=⎩ 解得2
2
5a r =⎧⎨=⎩
故圆C 的标准方程为()()2
2
225x y -+-=.
（Ⅱ）圆心()2,2到直线:3410l x y -+=的距离15
d =
， ∴2
2
2
143122555r d ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭
直线l 被圆C 截得的弦长为4315
. 【点睛】
本题考查了圆的方程，以及直线与圆相交求弦长的知识，属于基础题. 19．（1）见解析（2）2
【解析】 【分析】
（1）利用直线与平面垂直的判定，结合三角形全等判定，得到1AC AB =，再次结合三角形全等，即可．（2）法一：建立坐标系，分别计算1ABB ABC 与的法向量，结合两向量夹角为直角，计算出λ的值，然后结合
111
3
A B
B
C BB C V OA S -∆=⨯⨯，即可．法二：设出OA=x,用x 分别表示AB,BD,A
D ，结合AB AD BD =+，建立
方程，计算x ，结合111
3
A B
B
C BB C V OA S -∆=⨯⨯，即可．
【详解】
（1）连结1BC ，交1B C 于点O ，连结OA ，
因为侧面11BB C C 是菱形，所以11B C BC ⊥， 又因为1AB B C ⊥，1AB BC B ⋂=， 所以1B C ⊥平面1ABC ，
而OA ⊂平面1ABC ，所以1B C OA ⊥， 因为1OC OB =，所以1AC AB =，
而1BC BB =，所以1ABC ABB ∆≅∆，1ABB ABC ∠=∠.
（2）因为1AB AC =，1OB OC =，所以1AO BC ⊥，（法一）以O 为坐标原点，
OB 所以直线为x 轴，
1OB 所以直线为y 轴，OA 所以直线为z 轴建立
如图所示空间直角坐标系，设OA λ=， 则()0,0,0O ，(
)
3,0,0B
，()10,1,0B ，
()0,0,A λ，()0,1,0C -，
所以()
13,1,0BB =-，()3,1,0BC =--，(
)
3,0,AB λ=
-，
设平面1ABB 的法向量()1111,,n x y z =，所以111130,
30.x y x z λ⎧-+=⎪⎨
-=⎪⎩ 令11x =，则13y =，13
z λ=，取131,3,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
， 设平面1ABB 的法向量()2
222,,n x y z =，所以222230,
30.x y x z λ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 令21x =，则23y =-，23
z λ=，取231,3,n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
， 依题意得122
3
130n n λ⋅=-+
=，解得62
λ=
. 所以1
11162
3332
A B
B
C BB C V OA S -∆=⨯⨯=⨯⨯=
. （法二）过C 作CD AB ⊥，连结1B D ，
由（1）知1ABC ABB ∆≅∆，所以1B D AB ⊥且1CD B D =，
所以1B DC ∠是二面角1B AB C --的平面角，依题意得190B DC ∠=︒，12B C =，
所以1CD B D ==
设OA x =，则22
11AB x =+，AD =
，
又由AB BD ==
所以由AB AD BD =+=x =
，
所以111133A BB C BB C V OA S -∆=⨯⨯==
. 【点睛】
本道题考查了直线与平面垂直判定，考查了利用空间向量解决二面角问题，难度较难． 20．（1）A∩B ＝{x|﹣1＜x≤﹣1}（2）（1，1]． 【解析】 【分析】
（1）首先确定A 、B ，然后根据交集定义求出即可；
（2）由A ∪B ＝R ，得41
45a a -+≤-⎧⎨+⎩
＞，得1＜a≤1．
【详解】
B ＝{x|x≤﹣1或x ＞5}，
（1）若a ＝1，则A ＝{x|﹣1＜x ＜5}， ∴A∩B ＝{x|﹣1＜x≤﹣1}； （2）∵A ∪B ＝R ， ∴4145
a a -+≤-⎧⎨
+⎩＞，
∴1＜a≤1，
∴实数a 的取值范围为（1，1]． 【点睛】
本题考查了交集及其运算，考查了并集运算的应用，是基础题．
21． (1)2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
; (2)4+【解析】 【分析】
(1)根据向量的数量积公式、二倍角公式及辅助角公式将()f x a b =⋅化简为1
()sin(2)6
2
f x x π
=++
，然后利用三角函数的性质，即可求得()f x 的单调减区间； (2)由(1)及()1f A =可求得3
A π
=，由sin 3sin B C =可得3b c =，再结合余弦定理即可求得,b c ，进而可
得ABC ∆的周长. 【详解】
解：(1)
2111()3sin cos cos 2cos sin(2)22262
f x a b x x x x x x π=⋅=+=
++=++ 32222
6
2
k x k π
π
π
ππ∴
+≤+
≤
+ 422223363
k x k k x k ππππππππ∴+≤≤+⇒+≤≤+ 所以函数()f x a b =⋅的单调递减区间为：2,
,63k k k Z π
π
ππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
(2)
()1f A =，11
()sin(2)1sin(2)6262f A A A ππ∴=++=⇒+=，
又因在ABC ∆中，1302666
A A ππππ∴<<⇒<+<，, 52663
A A πππ∴+=⇒=,
设ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，
又
sin 3sin ,3B C b c =∴=，且BC a == 2
2
2
2cos a b c bc A =+-，222
1
792312
c c c c ∴=+-⨯⨯
⇒=，则3b =，
所以ABC ∆的周长为4【点睛】
本题考查平面向量的数量积公式，三角函数的二倍角公式、辅助角公式和三角函数的性质，以及利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查理解辨析能力及求解运算能力，属于中档题.
22．（1）22
(3)(4)4x y -+-=；（2）26；（3）直线RS 恒过定点()3,3．证明见解析
【解析】 【分析】 （1）设圆心4
(,
)3
C a a ，根据则CM CN =，求得3a =和圆的半径，即可得到圆的方程； （2）设(,)P x y ，化简得2
2
AP BP +2
2||8PO =+，根据圆的性质，即可求解；
（3）设(,0)Q t ，圆D 方程2
2
(3)430x y t x y t +-+-+=，根据两圆相交弦的性质，求得相交弦的方程，进而可判定直线RS 恒过定点．
【详解】
（1）由题意知，圆心C 在直线430x y -=上，设圆心为4
(,)3
C a a ， 又因为圆C 过点(1,4),(3,2)M N ,
则CM CN ==3a =，
所以圆心C 为(3,4)，半径2r CM ==， 所以圆C 方程为2
2
(3)(4)4x y -+-=．
（2）设(,)P x y ，则()2
2222222()8AP BP x y x y +=++=++2
2||8PO =+，
又由222min ||
()(52)9PO OC r =-=-=，
所以2
2
min (||)18826AP BP +=+=， 即2
2
||||AP BP +的最小值为26．
（3）设(,0)Q t ，则以CQ 为直径的圆圆心为3(
,2)2t D +，半径为12CQ =， 则圆D 方程为222
3(3)16()(2)24
t t x y +-+-+-=
， 整理得2
2
(3)430x y t x y t +-+-+=，
直线RS 为圆C 与圆D 的相交弦2222
(3)430
(3)(4)4x y t x y t x y ⎧+-+-+=⎨-+-=⎩
， 两式相减，可得得RS 直线方程(3)43210t x y t -++-=， 即(3)34210x t x y -++-=，
令3034210x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得3
3x y =⎧⎨=⎩
，即直线RS 恒过定点()3,3．
【点睛】
本题主要考查了圆的综合应用，其中解答中涉及到圆的标准方程的求解，圆的最值问题的求解，以及两圆的相交弦方程的求解及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知两点()23M ，-，2()3N -，-，直线l 过点1(1
)P ，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）
A ．3
44k -
B ．344
k - C ．3
44
k - D ．3
4
k
或4k ≤- 2．定义运算,:,a a b
a b b a b
≤⎧⊗⊗=⎨>⎩，设()()()F x f x g x =⊗，若()sin f x x =，()cos g x x =，R x ∈，
则()F x 的值域为（ ） A ．[]1,1-
B ．2,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦ C ．21,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
D ．21,2⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
3．在△ABC 中，sinA:sinB:sinC=4:3:2，则cosA 的值是（ ） A ．14
-
B ．
14
C ．23
-
D ．
23
4．已知1
cos(75)3
α+=，则sin(15)α-值为 A ．13
-
B ．
13
C ．
22
D ．22
-
5．已知向量()1,a m =，()2,5b =，若//a b ，则m =（ ） A ．1
B ．52
-
C ．25
-
D ．
52
6．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的图像如图所示，则ω和ϕ分别是（ ）
A ．=2,=
3
π
ωϕ
B ．=1=
6
π
ωϕ，
C ．=2=
6
π
ωϕ，
D ．=1=
3
π
ωϕ，
7． “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（ ）
A ．493
B ．383
C ．183
D ．123
8．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．
13
B ．
32
C ．
34
D ．3
9．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1BC 所成角的大小为（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，636S =，则8a =（ ） A ．21
B ．15
C ．12
D ．9
11．在递增的等比数列中，，
是方程
的两个根，则数列的公比
A ．2
B ．
C ．
D ．或2
12．函数2y 34
x x =
--+ ）
A ．(41)--，
B ．(41)-，
C ．(11)-，
D ．(11]
-，
二、填空题：本题共4小题 13．cos50(tan10
3)_______________。

14．已知向量a 、b 满足：3a =，4b =，41a b +=，则a b -=_________. 15．已知54x >
，函数14245
y x x =-+-的最小值为__________． 16．已知向量,,1,2a b a b ==，且210a b +=，则a b ⋅=___________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．若函数()f x 满足()32
f x f x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
且()44f x f x x R ππ⎛⎫⎛⎫
+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则称函数()f x 为“M 函数”．
（1）试判断()4
sin
3
f x x =是否为“M 函数”，并说明理由； （2）函数()f x 为“M 函数”，且当,4x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()sin f x x =，求()y f x =的解析式，并写出在30,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；
（3）在(2)的条件下，当()3,22k x k N πππ⎡⎤
∈-
+∈⎢⎥⎣⎦
时，关于x 的方程()(f x a a =为常数)有解，记该方程所有解的和为()S k ，求()S k ．
18．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，π
3
BAD ∠=
，PAD △是等边三角形，F 为AD 的中点，PA BF ⊥.
（Ⅰ）求证：PB AD ⊥；
（Ⅱ）若3CB CE =，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ?若存在，求CG 的长. 19．（6分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是棱长为2的正方形，侧面PAD 为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PC 的中点．
（1）求证：EF ‖平面PAD ； （2）求二面角P EC D --的正切值．
20．（6分）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90DAB ∠=，24AB DC ==，3AD =，记
AB a =，AD b =.
（1）用a ，b 表示AC 和BD ； （2）求AC BD ⋅的值.
21．（6分）如图所示，在平行四边形ABCD 中，若8AB =，5AD =，3CP PD =.
（1）若3
BAD π
∠=
，求||AP 的值；
（2）若2AP BP ⋅=，求AB AD ⋅的值.
22．（8分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 是边长为4的菱形，BC ⊥平面11ACC A ，
2CB =，点1A 在底面ABC 上的射影D 为棱AC 的中点，点A 在平面1A CB 内的射影为E
()1证明：E 为1A C 的中点：
()2求三棱锥11A B C C -的体积
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
作出示意图，再结合两点间的斜率公式，即可求得答案. 【详解】
31421PM k --=
=--，213
314
PN k --==--， 又
直线l 过点1(1
)P ，且与线段MN 相交，作图如下：
则由图可知，直线l 的斜率k 的取值范围是：3
4
k 或4k ≤﹣． 故选：D 【点睛】
本题借直线与线段的交点问题，考查两点间的斜率公式，考查理解辨析能力，属于中档题. 2．C 【解析】 【分析】 【详解】
由题意()()()sin ,sin cos cos ,sin cos x x x
F x f x g x x x x
≤⎧=⊗=⎨
>⎩，
由于sin y x =与cos y x =都是周期函数，且最小正周期都是2π，
故只须在一个周期[0,2]π上考虑函数的值域即可， 分别画出sin y x =与cos y x =的图象，如图所示， 观察图象可得：()F x 的值域为2
[1,
]2
-，故选C.
3．A 【解析】 【分析】 由正弦定理sin sin sin a b c
A B C
==可得::4:3:2a b c =，再结合余弦定理求解即可. 【详解】
解：因为在△ABC 中，sinA:sinB:sinC=4:3:2， 由正弦定理
sin sin sin a b c
A B C
==可得::4:3:2a b c =， 不妨令4,3,2,0a t b t c t t ===>，
由余弦定理可得22294161
cos 22324
b c a A bc +-+-===-⨯⨯，
故选：A. 【点睛】
本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了运算能力，属基础题. 4．B 【解析】 【分析】
利用三角函数的诱导公式，得到sin(15)cos(75)αα-=+，即可求解. 【详解】
由题意，可得1
sin(15)cos[90(15)]cos(75)3
ααα-=-=-=+， 故选B. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．D 【解析】 【分析】
由共线向量的坐标表示可得出关于实数m 的方程，解出即可. 【详解】
向量()1,a m =，()2,5b =，且//a b ，25m ∴=，解得52
m =. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用共线向量的坐标表示求参数的值，解题时要熟悉共线向量坐标之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】
通过识别图像，先求A ，再求周期T ，将,16
π⎛⎫
⎪⎝⎭代入求ϕ即可
【详解】
由图可知：1A =，
2222362T ππππ
T πωω=-=⇒==⇒=，将,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入()()sin 2f x A x =+ϕ得
1sin 2266k ⎛⎫
=⨯+⇒=+ ⎪⎝⎭
ππϕϕπ，又2πφ<，6πϕ∴=，故=2=6πωϕ，
故选C 【点睛】
本题考查通过三角函数识图求解解析式，属于基础题 7．C 【解析】 【分析】
根据题意将四进制数转化为十进制数即可. 【详解】
根据题干知满四进一,则表示四进制数,将四进制数转化为十进制数,得到3224+34+14+3=183.⨯⨯⨯ 故答案为:C. 【点睛】
本题以数学文化为载体，考查了进位制等基础知识，注意运用四进制转化为十进制数，考查运算能力，属
于基础题． 8．B 【解析】 【分析】
先由三视图判断该几何体为底面是直角三角形的直三棱柱，由棱柱的体积公式即可求出结果. 【详解】
据三视图分析知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，且三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1和3，三棱柱的高为3，所以该几何体的体积13
13322
V =⨯⨯⨯=. 【点睛】
本题主要考查几何体的三视图，由三视图求几何体的体积，属于基础题型. 9．C 【解析】 【分析】
连接11A C 、1A B ，可证四边形11AC CA 为平行四边形，得11//A C AC ，得11AC C ∠（或补角）就是异面直线AC 与1BC 所成角，由正方体的性质即可得到答案． 【详解】
连接11A C 、1A B ，如下图：
在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A A C C 且11A A C C =；
∴四边形11AC CA 为平行四边形，则11//A C AC ； ∴11AC C ∠（或补角）就是异面直线AC 与1BC 所成角；
又
在正方体1111ABCD A B C D -中，1111AC A B C B ==，11A C B ∆为等边三角形，
∴113
AC C π
∠=
，即异面直线AC 与1BC 所成角的大小为
3
π； 故答案选C 【点睛】
本题考查正方体中异面直线所成角的大小，属于基础题． 10．B 【解析】
依题意有11339
61536
a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1a 1,d 2，所以81715a a d =+=.
11．A 【解析】 【分析】 先解方程求出，
，然后根据等比数列满足
，求出q 。

【详解】
，是方程
的两个根，
解得
或
等比数列
是
递增的，且，则.
【点睛】
本题考查等比数列任意两项的关系，易错点是数列为递增数列，那么又。

12．C 【解析】
要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1
{41
x x >--<<，所以1 1.x -<<
故选C
二、填空题：本题共4小题 13．1- 【解析】 【分析】
本题首先可根据同角三角函数关系式化简得出
cos50
sin10
cos10cos 0
31，然后根据两角差的正弦公
式化简得出sin 2cos5050
cos10
，最后根据二倍角公式以及三角函数诱导公式即可得出结果。

【详解】
sin10cos50
cos50(tan103)cos50(
3)
sin10
cos10cos10
3cos10
2cos5010
2cos sin 501
2cos5050
sin10cos10cos102cos10
63
c si os10
n 2
sin 9010
2cos5050
sin100cos101cos10
cos10
cos10
cos10
sin ，
故答案为1- 【点睛】
本题考查根据三角函数相关公式进行化简求值，考查到的公式有sin tan cos A
A A
=
、cos sin si cos n sin A B A B A B 、sin 2cos sin 2A A A 以及sin 90
cos A A ，考查化归与
转化思想，是中档题。

14．3. 【解析】 【分析】
将等式41a b +=两边平方得出a b ⋅的值，再利用()
2
a b a b -=-结合平面向量的数量积运算律可
得出结果. 【详解】
()
2
2
22
22222232441a b a b a a b b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅+=+⋅+=，
8a b ∴⋅=，
()
2
22
22
22233a b a b a a b b a a b b ∴-=
-=-⋅+=
-⋅+=-=，
因此，3a b -=，故答案为3. 【点睛】
本题考查利用平面向量数量积来计算平面向量的模，在计算时，一般将平面向量的模平方，利用平面向量数量积的运算律来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题. 15．5 【解析】 【分析】
变形后利用基本不等式可得最小值． 【详解】 ∵5
x 4
>
，∴ 4x-5>0,
∴
11
42453354545
y x x x x =+
=-++≥=--﹣
当且仅当14545x x -=-时，取等号，即3
2
x = 时，有最小值5 【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，凑出可利用基本不等式的形式是解决问题的关键，使用基本不等式时要注意“一正二定三相等”的法则． 16．
1
2
【解析】 【分析】
把210a b +=平方，将1,2a b ==代入，化简即可得结果. 【详解】
因为1,2a b ==， 所以222448410a b a a b b a b +=
+⋅+=+⋅=，
12a b ∴⋅=
，故答案为12
. 【点睛】
本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是
cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，
cos a b a b
θ= （此
时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b
⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)
求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）不是“M 函数”；（2）,42ππ⎡
⎤⎢⎥⎣⎦，3,
2ππ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦；（3）()()
()
()
2
2
2341,(01)2
23341,42341,12k k a a S k k k a k k a πππ⎧++≤<=⎪
⎪⎪⎪=++=⎨
⎪⎪++<<⎪
⎪⎩
. 【解析】 【分析】
()1由不满足()4
4f x f x x R π
π⎛⎫
⎛⎫
+≠-∈ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭
，得()4sin 3f x x =不是“M 函数”，
()2可得函数()f x 的周期32T π=，()()2f x f x x R π⎛⎫
=
-∈ ⎪⎝⎭
， ①当3
3
,2
42x k k ππππ⎡⎤∈+
+⎢⎥⎣⎦时，()33sin 22f x f x k x k ππ⎛⎫⎛
⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ ②当33,2224x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时，()33cos 222f x f x k x k πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
在30,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间：,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
()3由()2可得函数()f x 在,2ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的图象，根据图象可得：
①当02
a ≤<
或1时，()(f x a a =为常数)有2个解，其和为2π
②当2
a =
时，()(f x a a =为常数)有3个解，其和为34π．
③1a <<时，()(f x a a =为常数)有4个解，其和为π 即可得当()3,22k x k N πππ⎡⎤
∈-+∈⎢⎥⎣⎦
时，记关于x 的方程()(f x a a =为常数)所有解的和为()S k ， 【详解】
()()4
1sin
3
f x x =不是“M 函数”． 44sin sin 43433f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
44sin sin 43433f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()44f x f x x R ππ⎛⎫⎛⎫
∴+≠-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
()4
sin
3
f x x ∴=不是“M 函数”． ()2函数()f x 满足()32f x f x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的周期32T π=
()44f x f x x R ππ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2f x f x x R π⎛⎫
∴=-∈ ⎪⎝⎭
， ①当33,242x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()33sin 22f x f x k x k ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ ②当33,2224x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时，()33cos 222f x f x k x k πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
()33
3,22224333,2242cos x k k x k f x sin x k k x k ππππππππππ⎧⎛⎫⎛⎫--≤≤+ ⎪ ⎪⎪⎪⎝
⎭⎝⎭∴=⎨⎛⎫⎛⎫
⎪-+≤≤+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，
在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间：,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦； ()3由()2可得函数()f x 在,2π
π⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦
上的图象为：
①当2
02
a ≤<
或1时，()(f x a a =为常数)有2个解，其和为2π.
②当2
2
a =
时，()(f x a a =为常数)有3个解，其和为34π．
③2
1a <<时，()(f x a a =为常数)有4个解，其和为π ∴当()3,
22k x k N πππ⎡⎤
∈-+∈⎢⎥⎣⎦
时，记关于x 的方程()(f x a a =为常数)所有解的和为()S k ， 则()()
()
()
2
22
2341,(01)2232341,423411k k a a S k k k a k k a πππ⎧++≤<=⎪⎪⎪⎪
=++=⎨⎪
⎪++<<⎪
⎪⎩
． 【点睛】
本题考查了三角函数的图象、性质，考查了三角恒等变形，及三角函数型方程问题，属于难题． 18．（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）210
CG =【解析】 【分析】
（Ⅰ）连接PF ,根据三角形性质可得PF AD ⊥,由底面菱形的线段角度关系可证明BF AD ⊥,即证明
AD ⊥平面PBF ,从而证明PB AD ⊥.
（Ⅱ）易证平面ABCD ⊥平面PAD ,连接CF 交DE 于点H ,过H 作HG
PF 交PC 于G ,即可证明
GH ⊥平面ABCD ,在三角形
【详解】
（Ⅰ）证明：连接PF ,PAD △是等边三角形,F 为AD 的中点,所以PF AD ⊥； 又底面ABCD 是菱形,π3
BAD ∠=, 所以BF AD ⊥,PF BF F ⋂=,
所以AD ⊥平面PBF ,
PB ⊂平面PBF ,所以PB AD ⊥.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BF AD ⊥,BF PA ⊥,AD PA A ⋂= 所以BF ⊥平面PAD ,又BF ⊂平面ABCD 即平面ABCD ⊥平面PAD 平面ABCD
平面PAD AD =,又PF AD ⊥,所以PF ⊥平面ABCD
连接CF 交DE 于点H ,过H 作HG PF 交PC 于G ,如下图所示:
所以GH ⊥平面ABCD ,又GH ⊂平面DEG 所以平面DEG ⊥平面ABCD
因为3CB CE =,所以23CG CH CE GP HF DF ===,即25
CG CP = 在等边三角形PAD △中,可得22213PF =-=
在菱形ABCD 中,由余弦定理可得222cos CF DF DC DF DC ADC =+-⨯⨯∠
14212cos1207=+-⨯⨯=
在Rt PFC △中,可得223710PC PF CF =
+=+= 所以22105CG CP =
= 【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的判定方法,平面与平面垂直的判定及性质的应用,余弦定理在解三角形中的用法,属于中档题.
19． (1)见证明；(2)
153 【解析】
【分析】
（1）取PD 中点G ，可证EFGA 是平行四边形，从而EF AG ， 得证线面平行；
（2）取AD 中点O ，连结PO ，可得PO ⊥面ABCD ，连OB 交CE 于M ，可证PMO ∠是二面角P EC D --的平面角，再在PMO ∆中求解即得．
【详解】
（1）证明：取PD 中点G ，连结GF AG 、
GF 为PDC △的中位线，//GF CD ∴且12
GF CD =， 又//AE CD 且12
AE CD =，//GF AE ∴且GF AE =， ∴EFGA 是平行四边形，则EF
AG ，
又EF ⊄面PAD ，AG ⊂面PAD ，
EF ∴∥面PAD ；
（2）解：取AD 中点O ，连结PO ，
∵面PAD ⊥面ABCD ，PAD △为正三角形，
PO ∴⊥面ABCD ，且PO =，
连OB 交CE 于M ，可得Rt EBC Rt OAB ≌，
MEB AOB ∴∠=∠，则90MEB MBE ∠+∠=︒，即OM EC ⊥．
连PM ，又PO EC ⊥，
可得EC ⊥平面POM ，则PM EC ⊥，
即PMO ∠是二面角P EC D --的平面角，
在Rt EBC 中，BE BC BM OM OB BM CE ⋅===-=
∴tan 3PO PMO OM ∠=
=，即二面角P EC D --的正切值为3
． 【点睛】 本题考查线面平行证明，考查求二面角．求二面角的步骤是一作二证三计算．即先作出二面角的平面角，然后证明此角是要求的二面角的平面角，最后在三角形中计算．
20．（1）12AC a b =+，BD b a =-；（2）1 【解析】
【分析】
（1）根据向量的线性运算可直接求解得到结果；
（2）将所求数量积转化为()12a b b a ⎛⎫+⋅-
⎪⎝⎭，根据数量积运算性质求得结果. 【详解】
（1）2AB DC = 12DC AB ∴=
1122AC AD DC AD AB a b ∴=+=+=+，BD AD AB b a =-=- （2）由（1）得：()
22111981222AC BD a b b a b a a b ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅=-=
⎪⎝⎭ 【点睛】 本题考查利用基底表示向量、平面向量数量积的求解问题；关键是能够熟练掌握平面向量的线性运算和数量积运算的性质.
21．（1）||39AP =；（2）22
【解析】
【分析】
（1）易得AP AD DP =+，3BAD π
∠=，再由22AP AP =即可得解； （2）由2AP BP ⋅=可得出()()2AP BP AD DP BC CP ⋅=++=，再由3CP PD =，可得：
13244AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，即22132216AD AB AD AB -⋅-=，即可得到AB AD ⋅的值. 【详解】
（1）由向量的加法法则得：AP AD DP =+，3BAD π∠=
， 22222222()2()2AP AD DP AD AD DP DP AP AD DP AD AD DP DP
=+=+⋅+==+=+⋅+2215252cos
22525243932π=+⨯⨯⨯+=+⨯⨯⨯+=， 因为22AP AP =，所以||39AP = （2）()()2AP BP AD DP BC CP ⋅=++=，∴13244AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫+
-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴22132216AD AB AD AB -
⋅-=，即1325642216AB AD -⋅-⨯=，∴22AB AD ⋅=. 【点睛】
本题平面向量的应用，考查向量的加法法则，考查向量数量积的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
22．（1）详见解析（2 【解析】
【分析】
（1）先证平面1A BC ⊥平面11ACC A ，说明AE ⊆平面11ACC A 且1AE A C ⊥，根据菱形的性质即可说明E 为1A C 的中点．
（2）根据1111A B C C A B BC B ABC V V V ---==，即求出1B ABC V -即可．
【详解】
（1）证明：因为BC ⊥面11ACC A ，BC ⊆平面1A BC ，
所以平面1A BC ⊥平面11ACC A ；交线为1A C 过A 作1AE A C ⊥，则AE ⊥平面1A CB ，又11ACC A 是菱形，1AA AC =，所以E 为1A C 的中点
（2）由题意1A D ⊥平面1,23
ABC A D =11111183242332A B C C A B BC B ABC V V V ---===••••=【点睛】
本题考查面面垂直的性质定理，利用等体积转换法求三棱锥的体积，属于基础题．。