人教课标版高中数学必修四《三角恒等变换》章末复习课-新版

《三角恒等变换》章末复习课
一．思维导图
22222
2sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan 1cos 2cos 21αβαβαβαβαβαβαβαβαβαααααααα
ααααα⎧⎪±=±⎪⎪
±=⎨⎪±⎪±=⎪⎩⎧⎪=⎪=-=-=-⎨⎪⎪=-⎩+=和差角公式倍角公式公式常用变形
三角恒等变换2cos 2sin 2tan tan (1tan tan )tan()sin 2cos 2sin 1cos tan 21cos sin 1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()2α
ααβαβαβαααααααβαβαβαβαβαβ⎧⎪⎪
⎪-=⎨⎪±=±±⎪⎪⎩
⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-===⎪+⎪⎩=++-=+--半角公式积化和差公式]1cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]
2sin sin 2sin cos 22sin sin 2cos sin 22cos cos 2cos cos 22cos cos 2sin sin 22αβαβαβαβαβαβθφθφθφθφθφθφθφθφθφθφθφθφ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎧
⎪⎪
⎪⎪⎨⎪=++-⎪⎪⎪=+--⎩+-⎧+=⎪⎪+-⎪-=⎪⎨
+-⎪+=⎪⎪+-⎪-=-⎩和差化积⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
二．例题讲解
例1．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 【知识点】 两角和差的正切公式，二倍角的正切公式． 【数学思想】整体构造的思想
【解题过程】tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β)tan β＝1
3>0．
而α∈(0，π)，故α∈(0，π
2)．
∵tan β＝－17，0<β<π，∴π2<β<π．∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝1
2>0， ∴－π<α－β<－π
2．∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)． ∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝
tan α＋tan(α－β)1－tan αtan(α－β)
＝1，∴2α－β＝－3π
4．
【思路点拨】将所求角用已知角构造，注意通过角的范围定三角函数值的符号．
【答案】2α－β＝－3π
4．
例2．已知函数1)6
sin(cos 4)(-+=π
x x x f ．
（1）求f (x )的最小正周期；
（2）求f (x )在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．
【知识点】 三角恒等变换，三角函数的周期、最值． 【数学思想】整体构造的思想
【解题过程】（1）∵1)6
sin(cos 4)(-+=π
x x x f ＝4cos x )cos 2
1sin 23(x x +－1＝3sin2x
＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin )6
2(π
+x ．∴f (x )的最小正周期为π．
（2）∵－π6≤x ≤π4，∴－π6≤2x ＋π6≤2π
3，故： 当2x ＋π6＝π2时，即x ＝π
6，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝－π6时，即x ＝－π
6，f (x )取得最小值－1．
【思路点拨】（1）将f (x )变形成三角函数的标准型进而求最小正周期为；（2）三角函数求最值．
【答案】（1）f (x )的最小正周期为π；（2）f (x )的最大值为2，最小值为－1． 例3．求函数y ＝sin x ＋sin 2x －cos x （x ∈R ）的值域． 【知识点】 三角恒等变换，二次函数和三角函数的值域． 【数学思想】换元的思想．
【解题过程】令sin x －cos x ＝t ，则由t ＝2sin )4
(π
-x 知t ∈[－2，2]，
又sin 2x ＝1－(sin x －cos x )2＝1－t 2．∴y ＝(sin x －cos x )＋sin 2x ＝t ＋1－t 2＝
2)2
1(--t ＋54． 当t ＝12时，y max ＝5
4；当t ＝－2时，y min ＝－2－1． ∴函数的值域为：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--4512，．
【思路点拨】将sin x －cos x 看作整体进行换元，将函数用sin x －cos x 表示，进而换元求值域．
【答案】函数的值域为：⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
--4512，． 三．章末检测题
第I 卷（选择题，共60分）
一．选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．cos 215°－sin 215°的值是（ ）
A ．12
B ．－12
C ．32
D ．－32 【知识点】 二倍角的余弦值．
【解题过程】cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝3
2． 【思路点拨】熟悉二倍角的余弦公式及其逆用． 【答案】C ．
2．已知，
，3
1tan 1
4tan =
=β
α则=+）（βαtan （ ） A ．711
B ．711
-
C ．713
D ．713
-
【知识点】两角和的正切公式．
【解题过程】由已知得11
7
1217tan tan 1tan tan tan 3tan -=-=-+=+=βαβαβαβ）（，
．
【思路点拨】明确两角和的正切公式． 【答案】B ．
3．若sin2α＝14，π4<α<π
2，则cos α－sin α的值是（ ）
A ．32
B ．－32
C ．34
D ．－34 【知识点】(cos α－sin α)2＝1－sin2α
【解题过程】(cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34．又∵π4<α<π
2，∴cos α<sin α， 故cos α－sin α＝－
34＝－32．
【思路点拨】观察所求式子和已知式子并找到两者的关系，建立方程求解，同时要考虑结果的符号． 【答案】B ．
4．函数x x x f cos sin +=）
（的最小正周期是（ ） A ．π4 B ．π
2 C ．π D ．2π 【知识点】三角恒等变换，三角函数的周期． 【数学思想】计算能力
【解题过程】∵）
（）（）（4
sin 24sin 2cos sin π
π+=+=
+=x x x x x f ， 又∵）（）（x f x f =+π，∴函数x x x f cos sin +=）（的最小正周期是π． 【思路点拨】先利用三角恒等变换化简函数，再求周期． 【答案】C ．
5．tan 19°＋tan 41°＋3tan 19°tan 41°的值为（ ）
A ．1
B ．3
3 C ．－ 3 D ． 3 【知识点】两角和的正切值得应用．
【解题过程】∵tan19°＋tan41°＝tan60°(1－tan19°tan41°)＝3－3tan19°tan41°， ∴原式＝ 3－3tan19°tan41°＋3tan19°＋tan41°＝3． 【思路点拨】掌握两角和差正切公式的变形应用． 【答案】D ．
6．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋1
2sin2θ等于（ ）
A ．－65
B ．－45
C ．45
D ．65 【知识点】利用三角恒等变换化简求值．
【解题过程】原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝6
5
．
【思路点拨】cos 2
θ＋1
2sin2θ＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ
再带值．
【答案】D ．
7．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形 【知识点】二倍角正弦的应用．
【解题过程】∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π
2．
【思路点拨】利用二倍角的余弦值化简方程，再确定角的关系进而得到三角形的特征. 【答案】D ．
8．要得到函数2sin 2y x =的图像，只需要将函数2cos 2y x x =-的图像（ ） A ．向右平移6
π
个单位 B ．向右平移12
π
个单位 C ．向左平移
6
π
个单位 D ．向左平移
12
π
个单位
【知识点】 三角恒等变换，三角函数图像的平移.
【解题过程】∵2cos 22sin 2cos cos 2sin
2sin 26
6
6
y x x x x x π
π
π
=-=-=-
（
）（），
∴将函数2cos 2y x x -的图像向左平移12
π
个单位可以得到函数2sin 2y x
=的图像．
【思路点拨】
利用三角恒等变换将函数2cos 2y x x -变形成
sin y A x ωϕ=+（）的形式，再利用函数图像平移解题．
【答案】D ．
9．
55sin 35sin 50sin 10sin +的值为（ ）
A ．14
B ．1
2 C ．2 D ．4 【知识点】三角恒等变换．
【解题过程】原式＝
270sin 2
120cos 70sin 2120cos sin30235cos 35sin 2030sin 2030sin ===++-
）（）（． 【思路点拨】观察式子形式并利用三角恒等变换合理变形，进而化简求值． 【答案】C ．
10．若1sin()6
3
πα-=,则2cos(2)3
πα+等于（ ）
A ．79
- B ．13
- C ．13
D ．79
【知识点】二倍角公式，互余角的正弦和余弦的关系．
【解题过程】2cos(2)23
πα+=22cos ()12sin ()13
6
ππαα+-=--=71219
9
⨯-=-
【思路点拨】先找两角的关系，再利用三角恒等变换化简求值． 【答案】A ．
11．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝
2425，则cos θ
2
的值为（ ） A ．335 B ．45 C ．±35 D ．±
4
5 【知识点】半角公式．
【解题过程】由sin(π－θ)＝2425，得sin θ＝2425．∵θ为第二象限的角，∴cos θ＝－7
25．
∴cos θ2＝± 1＋cos θ
2＝±
1－7252
＝±
35．
【思路点拨】先利用诱导公式化简sin(π－θ)，再根据半角公式求值． 【答案】C ．
12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝3
5，则cos α的值为（ ） A ．5665 B ．1665 C.5665或16
65 D ．以上都不对 【知识点】两角差的余弦值，三角函数给值求值. 【数学思想】整体构造的思想．
【解题过程】∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝5
13．∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝4
5．∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝35×
1213＋45×513＝56
65． 【思路点拨】观察角的关系，用已知两角构造所求角，再利用两角差的余弦值表示并求解，注意要准确判断角的范围进而确定结果的符号． 【答案】A ．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos(π
2＋2θ)的值为___________． 【知识点】诱导公式，二倍角公式． 【解题过程】∵sin θ＝1－cos 2θ＝223，∴cos(π
2
＋2θ)＝－sin2θ＝－2sin θ·cos θ＝－429．
【思路点拨】先利用诱导公式化简，再用二倍角公式变形求值. 【答案】－42
9．
14．
sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)
2cos α
＝___________．
【知识点】两角和的正余弦，特殊角的三角函数值． 【数学思想】计算能力
【解题过程】∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12．
【思路点拨】利用两角和的正弦和余弦将分子进行运算化简，进而达到整体化简求值的目的． 【答案】 12． 15．若
1＋tan α1－tan α
＝2012，则1
cos2α＋tan2α＝___________．
【数学思想】三角恒等变换，给值求值．
【解题过程】1
cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝
tan 2α＋1＋2tan α1－tan 2α＝(tan α＋1)21－tan 2α＝1＋tan α
1－tan α
＝2012．
【思路点拨】将所求式子通分，再利用二倍角公式变形，将所求式子构造成用已知式子表示的形式，从而达到求值的目的． 【答案】2012．
16．函数y ＝cos 2x cos π5－2sin x cos x sin 6π
5的递增区间是__________________． 【知识点】三角恒等变换，三角函数的单调性．
【数学思想】化归的思想．
【解题过程】y ＝cos2x cos π5－2sin x cos x sin 6π5＝cos2x cos π5＋sin2x sin π5＝cos(2x －π
5)，由－π＋2k π≤2x －π5≤2k π，得x ∈[－2π5＋k π，π
10＋k π]（k ∈Z ）即为单调递增区间． 【思路点拨】先利用三角恒等变换将函数变形成)cos(ϕω+=x y 的形式，再确定三角函数的单调递增区间．
【答案】[－2π5＋k π，π
10＋k π]（k ∈Z ）．
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知tan α＝2，tan β＝－1
3，其中0<α<
π
2，
π
2<β<π．求：
（1）tan(α－β)；（2）α＋β的值．【知识点】两角和与差的正切值
【解题过程】（1）∵tan α＝2，tan β＝－1
3，∴tan(α－β)＝
tan α－tan β
1＋tan αtan β
＝
2＋
1
3
1－
2
3
＝7．
（2）∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝
2－
1
3
1＋
2
3
＝1，且0<α<
π
2，
π
2<β<π，∴
π
2<α＋β<
3π
2．∴
α＋β＝5π4．
【思路点拨】（1）利用两角差的正切值求tan(α－β)；（2）利用两角和的正切值求tan(α＋β)，注意要确定α＋β的范围，进而确定α＋β的值．
【答案】（1）7；（2）5π4．
18．（12分）已知α、β为锐角，cos α＝4
5，tan(α－β)＝－
1
3，求cosβ的值．
【知识点】两角差的余弦值．【数学思想】整体构造的思想．
【解题过程】∵α是锐角，cos α＝4
5，∴sin α＝
3
5，tan α＝
3
4．∴tan β＝tan[α－(α
－β)]＝tan α－tan(α－β)
1＋tanαtan(α－β)＝
13
9．∵β是锐角，故cos β＝
910
50．
【思路点拨】观察已知角和所求角的关系，用已知角构造所求角，并将所求的式子变形，注意相关角的三角函数值需要根据角的范围定符号．
【答案】cosβ＝910 50．
19．（12分）已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin 2β，求证：2tan 2β＝tan α＋tan β．【知识点】两角差的正切公式，二倍角的正弦和正切公式．
【解题过程】证明：∵tan(α－β)＝sin2β，tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β
，sin2β＝
2sin βcos β＝
2sin βcos βsin 2β＋cos 2β＝2tan β1＋tan 2β，∴tan α－tan β1＋tan αtan β＝2tan β
1＋tan 2β
，整理得：tan α＝
3tan β＋tan 3β1－tan 2β．∴tan α＋tan β＝3tan β＋tan 3β＋tan β－tan 3β1－tan 2β＝2×2tan β1－tan 2β＝2tan 2β．
【思路点拨】将式子中可化简的两角差的正切、二倍角的正弦和正切利用公式变形，再将等式进行等价变形，从而达到证明的目的． 【答案】见解题过程．
20．（12分）已知函数()
1
2
f x =-.
（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；
（2）当0,2
x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，求()f x 的最大值，并求此时对应的x 的值.
【知识点】三角恒等变形，三角函数的周期、单调性和最值． 【数学思想】计算能力
【解题过程】（1）∵1()2f
x =
-21
sin cos 2
x x x =
+-
1cos 21222x x -=
+-sin(2)6
x π
=-，∴周期T π=, 因为cos 0x ≠，所以|,2Z x x k k π
π⎧
⎫
≠+∈⎨⎬⎩
⎭
， 当32[
2,
2622x k k π
π
πππ-
∈++],即5,,362
Z k x k x k k ππππππ++≠+∈剟时函数()f x 单
调递减；∴()f x 的单调递减区间为：5[,),(,]3226
Z k k k k k ππππ
ππππ++++∈（）
． （2）∵当5(0,),2(,)2666x x ππππ∈-∈-，1
sin(2)(,1]62
x π-∈-．
∴当3
x π
=
时，()f x 取最大值1．
【思路点拨】（1）化简函数解析式可得()sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，由正弦函数的图象和性质可求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）先求26x π-
的范围，可得sin 26x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
的取值范围，即可求()f x 的最大值，并求出此时对应的x 的值． 【答案】（1）T π=，递减区间为5[,),(,]3226Z k k k k k ππππππππ++++∈（）
； （2）当3x π
=时，函数()f x 的最大值为1．
21．（12分）已知函数f (x )＝2a sin x 2cos x 2＋sin 2x 2－cos 2x 2（a ∈R ）．
（1）当a ＝1时，求函数f (x )的最小正周期及图象的对称轴；
（2）当a ＝2时，在f (x )＝0的条件下，求cos 2x 1＋sin 2x
的值． 【知识点】三角恒等变形，二倍角公式，三角函数的周期、对称轴，给值求值．
【解题过程】f (x )＝a sin x －cos x ．
（1）当a ＝1时，f (x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，则函数f (x )的最小正周期为
2π．设x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋3π4(k ∈Z )．则函数f (x )的图象的对称轴是
x ＝k π＋3π4(k ∈Z )．
（2）当a ＝2，f (x )＝0时，有0＝2sin x －cos x ，则tan x ＝12，
∴原式＝cos 2x －sin 2x (cos x ＋sin x )2＝cos x －sin x cos x ＋sin x ＝1－tan x 1＋tan x ＝13
． 【思路点拨】（1）先利用三角恒等变换将三角函数变形成标准型，进而求其周期
和对称轴；（2）将a ＝2带入得到tan x ＝12，再利用二倍角公式化简所求式子并
变形成用tan x 表示，然后带值求解．
【答案】（1）f (x )的最小正周期为2π，f (x )的图象的对称轴是x ＝k π＋3π4(k ∈Z )；
（2）13．
22．（12分）已知1tan 42x π⎛⎫+=-
⎪⎝⎭
． （1）求tan 2x 的值；
（2）若x +，并求值． 【知识点】两角和的正切公式，二倍角的正切公式，三角恒等变换．
【数学思想】
【解题过程】（1）1tan 1tan()41tan 2
x x x π++==-Q ，解得：tan 3x =-． 222(3)2tan 3tan 241tan 1(3)
x x x -∴===---．
（2+1sin 1sin |cos ||cos |x x x x +-=+=+ ∵x 是第二象限的角，cos 0x ∴<∴上式1sin 1sin 2cos cos x x x x ++-==--． tan 3x =-Q ，由22sin cos 1x x +=及sin cos tan x x x =，
2211cos 10
1tan x x ∴==+，cos 0,cos x x <∴=
∴2cos x
-=+= 【思路点拨】（1）先利用两角和的正切值变形表达式，求tan 3x =-，再用二倍角的正切公式求tan 2x ；（2）利用三角恒等变换化简求值，注意三角函数值的符号．
【答案】（1）3
4；（2）．。