2020届湖南湖北四校高三下学期4月学情调研联考数学(理)试题(解析版)

2020届湖南湖北四校高三下学期4月学情调研联考数学（理）
试题
一、单选题
1．已知集合{|04}P x R x =∈≤≤，{|||3}Q x R x =∈<，则P Q =U （ ） A ．[3,4] B ．(3,)-+∞ C ．(,4]-∞ D ．(3,4]-
【答案】D
【解析】化简集合Q,根据集合的并集运算即可. 【详解】
由题意得，[0,4]P =，(3,3)Q =-， ∴(3,4]P Q ⋃=-，故选D. 【点睛】
本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题. 2．x ，y 互为共轭复数，且()2
3i 46i x y xy +-=-则x y +=（ ）
A ．2
B ．1
C ．
D ．4
【答案】C
【解析】利用待定系数法求解，设复数i x a b =+，则其共轭复数i y a b =-，然后将x ，y 代入()2
3i 46i x y xy +-=-中化简，可求出,a b 的值，从而可求出复数x ，y 的模. 【详解】
设i x a b =+，i y a b =-，代入得()()
2
22
23i 46i a a b -+=-，
所以()2
24a =，()
22
36a b +=，解得1=a ，1=b ，所以x y +=故选：C 【点睛】
此题考查复数和其共轭复数，复数的运算，复数的模，属于基础题.
3．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角
为30°，若向弦图内随机抛掷200 1.732），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）
A．20 B．27 C．54 D．64【答案】B
【解析】设大正方体的边长为x，从而求得小正方体的边长为
31
22
x x
-，设落在小
正方形内的米粒数大约为N，利用概率模拟列方程即可求解。

【详解】
设大正方体的边长为x，则小正方体的边长为
31
2
x x
-，
设落在小正方形内的米粒数大约为N，
则
2
2
31
2
200
x x
N
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭=，解得：27
N≈
故选：B
【点睛】
本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。

4．如图所示，在ABC
∆中，点D在线段BC上，且3
BD DC
=，若AD AB AC
λμ
=+
u u u v u u u v u u u v
，则
λ
μ
=（）
A．
1
2
B．
1
3
C．2 D．
2
3
【答案】B
【解析】分析：从A点开始沿着三角形的边转到D，则把要求的向量表示成两个向量的和，把BD
u u u r
写成BC
uuu r
的实数倍，从而得到AD
u u u r13
44
AB AC
=+
u u u r u u u r
，从而确定出
13
,
44
λμ
==，最后求得结果.
详解：34AD AB BD AB BC =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 3()4AB AC AB =+-u u u v u u u v u u u v 1344
AB AC =+u u u
r u u u r ，
所以13
,44
λμ=
=，从而求得13λμ=，故选B.
点睛：该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，求得结果.
5．已知定义在R 上的函数||
()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，
()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
【答案】B
【解析】根据f （x ）为偶函数便可求出m ＝0，从而f （x ）＝2x ﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断. 【详解】
解：∵f （x ）为偶函数； ∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m |＝|x ﹣m |； （﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；
∴f （x ）＝2x ﹣1；
∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ． 故选B ． 【点睛】
本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．
6．如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且
图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（ ）
A ．23
B ．22
C ．6
D ．2
【答案】B
【解析】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -，分别计算4个面的面积，即可得到结果. 【详解】
由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -，
故1AC =，2PA =，5BC PC ==22AB =3PB =
∴1
2112
ABC PAC S S ∆∆==
⨯⨯=， 1222222
PAB S ∆=⨯⨯=，1
23262PBC S ∆=⨯=
∴该多面体的侧面最大面积为22 故选：B ． 【点睛】
本题考查由三视图还原几何体，考查三角形面积的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.
7．已知双曲线22
22C :1(0,b 0)x y a a b
-=>>的左、右焦点分别为()10F c
－，，()20F c ，，点N 的坐标为23c,2b a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足
24MF MN b >+，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )
A ．13,53⎛⎫
⎪
⎪⎝ B ．(5,13)
C ．131,(5,)⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
U
D ．(1,5)(13,)+∞U
【答案】C
【解析】首先根据双曲线的定义，212MF MF a =+，转化为124MF MN a b ++>，即()
1min
24MF MN
a b ++>，根据数形结合可知，当点1,,M F N 三点共线时，
1MF MN +最小，转化为不等式23242b a b a
+>，最后求离心率的范围.
【详解】
由已知可得212MF MF a -=，若2||4MF MN b +>，
即
1|||24MF MN a b ++>‖，左支上的点M 均满足2||4MF MN b +>， 如图所示，当点M 位于H 点时，1||MF MN +最小，
故23242b a b a +>，即22348b a ab +>, 223840,(2)(23)0b ab a a b a b ∴-+>∴-->,
23a b ∴>或222,49a b a b <∴>或22224,913a b c a <∴<或2213
5,1c c a a >∴<
<或5,c
a >∴双曲线C 的离心率的取值范围为131,(5,)3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
U .
【点睛】
本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是
根据几何关系分析
1|||MF MN +‖的最小值，转化为,a b 的代数关系，最后求c
a
的范围.
8．已知在关于x ，y 的不等式组0010x y a x y y +-≤⎧⎪
-≥⎨⎪+≥⎩
，(其中0a >)所表示的平面区域内，存
在点()00,P x y ，满足()()2
2
00331x y -+-=，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(],3-∞
B ．)
62,⎡++∞
⎣
C ．(
,62⎤-∞+⎦
D ．)
62,⎡-+∞⎣
【答案】D
【解析】先由条件画出可行域，而()()2
2
00331x y -+-=表示可行域中的点()
00,P x y 到点(3,3)的距离的平方等于1，由图可知只需点,22a a A ⎛⎫
⎪⎝⎭
到(3,3)的距离的平方小于等于1即可，从而求出a 的取值范围. 【详解】
由条件可得可行域，如图所示，
由0
y x x y a =⎧⎨+-=⎩，得,22a a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭.
因为直线0x y a +-=与直线y x =垂直，所以只需圆心到A 的距离小于等于1满足题意即可，
即22
33122a a ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得6262a ≤≤，
当62a ≥a 的取值范围)
62,⎡+∞⎣ 故选：D 【点睛】
此题考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此题的关键，综合性较强，属于中档题.
9．设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3
cos cos 5
a B
b A
c -=，则()tan A B -的最大值为
A
．
B ．
34
C ．
32
D
【答案】B
【解析】3cos cos 5
a B
b A
c Q -=
∴由正弦定理，得3
5
sinAcosB sinBcosA sinC -=
， C A B sinC sin A B π=-+⇒=+Q （）（）
，， ∴3
5
sinAcosB sinBcosA sinAcosB cosAsinB -=+（），
整理，得4sinAcosB sinBcosA =，同除以cosAcosB ， 得4tanA tanB = ， 由此可得
233
1
1144tanA tanB tanB
tan A B tanAtanB tan B
tanB tanB
（），--=
==
+++ A B Q 、 是三角形内角，且tan A 与tanB 同号，
A B ∴、 都是锐角，即00tanA tanB ＞，＞，
144tanB tanB +≥=Q
3
3
144tan A B tanB tanB
-=
≤+（），
当且仅当14tanB tanB =，即
12tanB = 时，tan A B -（）
的最大值为3
4
． 故选B ．
10．已知函数2
2()2sin cos sin (0)24x f x x x ωπωωω⎛⎫=⋅-->
⎪⎝⎭在区间25,56ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ） A ．30,5
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．15,
22⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C ．13,24
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．13,25
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】D
【解析】将函数()f x 用三角恒等变换化简成正弦型函数，根据整体代换与正弦函数的性质，结合已知建立ω的不等量关系，即可求解. 【详解】
22()2sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫
=⋅-- ⎪⎝⎭
2sin [1cos()]sin sin 2x x x x π
ωωωω=⋅+--=，
Q ()f x 在区间25,56ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上是增函数，
2
50,56x ωπωωπω>-≤≤，53,06
2
5
π
πωω∴≤
∴<≤
. 当22(),()2
2k x k k Z x k Z π
ππωπωω
=
+∈=
+∈时，()f x 取得最大值， 而()f x 在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，
222π
πωπππ
ωω
⎧≤⎪⎪∴⎨⎪+>⎪⎩，解得15
22ω≤<，
综上，
13
25
ω≤≤. 故选:D. 【点睛】
本题考查三角函数恒等变换、正弦函数的性质，整体代换是解题的关键，属于中档题. 11．已知抛物线C ：24y x =和直线l ：10x y -+=，F 是C 的焦点，P 是l 上一点，过P 作抛物线C 的一条切线与y 轴交于Q ，则PQF ∆外接圆面积的最小值为（ ）
A ．
2
π B
．
2
C
D ．2π
【答案】A
【解析】设出过点P 的切线方程，将切线方程与抛物线方程联立，即可得到切线斜率，进而得到点Q 坐标，利用斜率乘积为-1可判断出PQF ∆为直角三角形，外接圆的圆心即为斜边的中点，即可求出圆的半径，从而得到圆的面积，即可得到最值. 【详解】
将直线l 与抛物线联立2410
y x x y ⎧=⎨-+=⎩，得()2
10x -=，即直线l 与抛物线相切且切点
为（1,2），又P 是l 上一点，
当点P 为切点（1,2）时，Q(0,1),F(1,0)，此时PQF ∆为直角三角形，且外接圆的半径为1，故圆的面积为π；
当点P 不为切点时，设点()00,1P x x +,切线斜率为k,则切线方程为
()()001y x k x x -+=-，即0010kx y kx x --++=，将切线方程与抛物线方程联立200410
y x kx y kx x ⎧=⎨
--++=⎩得2
00104ky y kx x --++=，其中()()0110k kx =--=V ，则01PQ k x =
，此时切线方程化简得
00
1
y x x x =+，此时点Q ()00,x ,可得0FQ k x =-,即PQF ∆为直角三角形，PF 中点M 00
11,22x x ++⎛⎫
⎪⎝
⎭
即为外接圆的圆心，则2
2
2
2
2
000111||222x x x r MQ +-+⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,面积为22
012x r ππ+=，当00x =时面积取到最小值为
2
π
， 综上，面积最小值为2
π， 故选：A. 【点睛】
本题考查直线与抛物线相切，考查三角形外接圆的面积问题，关键是能确定出三角形为直角三角形.
12．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（ ） A
．(0,
27
B ．(0,
]27
C
．(0,
3
D ．(0,
]3
【答案】A
【解析】在四面体A BCD -中，设,2AB CD a AC AD BD BC ======,过点A
作AE CD ⊥于E ，连接BE
，得AE BE ==
，求得A BCD V -=令()6
4
42
a f a a =-，利用导数即可求解其最大值，进而得到体积的取值范围，得出答
案. 【详解】
如图所示，设,2AB CD a AC AD BD BC ======,
过点A 作AE CD ⊥于E ，连接BE
，则AE BE ==，
又AB a =，所以21424
ABE
a S a ∆=⋅⋅-， 所以264
1114432462
A BCD
a a V a a a -=⨯⨯⋅-=-
， 令()64
42
a f a a =-，则()35163f a a a -'=，解得2
163a =，
所以体积的最大值为()
max
163
A BCD V -=
， 所以此三棱锥的体积的取值范围是1630,27⎛⎤
⎥ ⎝⎦
，故选A.
【点睛】
本题主要考查了空间几何体的结构特征和体积的计算，以及利用导数求解最值的应用，其中解答中根据几何体的结构特征和体积公式，得到体积的表达式，准确利用导数求解最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
二、填空题 13．已知二项式的展开式中的常数项为
，则
__________．
【答案】2
【解析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的值． 【详解】 二项式的展开式中的通项公式为，
令
，求得
，可得常数项为
，
，
故答案为：． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
14．观察分析下表中的数据： 多面体 面数（）
顶点数（)
棱数（)
三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6
8
12
猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.
【答案】2F V E +-=
【解析】试题分析：①三棱锥：5,6,9F V E ===,得5692F V E +-=+-=；②五棱锥：6,6,10F V E ===,得66102F V E +-=+-=；③立方体：
6,8,12F V E ===,得68122F V E +-=+-=；所以归纳猜想一般凸多面体中，
所满足的等式是：2F V E +-=，故答案为2F V E +-=
【考点】归纳推理.
15．设函数()()e
1x
f x x =-，函数()
g x mx =，若对于任意的[]12,2x ∈-，总存在
[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是_____．
【答案】1
(,)2
-∞-
【解析】由题意可知，()f x 在[]22-,
上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m 的取值范围. 【详解】
由题意可知，()f x 在[]22-,
上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值. ()e x f x x '=，当[]2,0x ∈-时，()0f x '≤，此时函数()f x 单调递减；
当(]
0,2x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增. ()()00e 011f =-=-，即函数()f x 在[]22-,
上的最小值为-1. 函数()g x mx =为直线，
当0m =时，()0g x =，显然10-<不符合题意；
当0m >时，()g x 在[]1,2上单调递增，()g x 的最小值为()1g m =，则1m <-，与
0m >矛盾；
当0m <时，()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 的最小值为()22g m =，则12m ->，即1
2
m <-
，符合题意. 故实数m 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭
. 【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题.
16．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知
sin :sin :sin ln 2:ln 4:ln A B C t =，且2CA CB mc =⋅u u u v u u u v
，有下列结论：
①28t <<； ②2
29
m -
<<；
③4t =，ln 2a =时，ABC ∆；
④当8t <<时，ABC ∆为钝角三角形.
其中正确的是__________．（填写所有正确结论的编号） 【答案】①②④ 【解析】【详解】
sin :sin :sin ln 2:ln 4:ln A B C t =Q ，∴::ln 2:ln 4:ln a b c t =Q ，
故可设ln 2a k =，ln 42ln 2b k k ==，ln c k t =，0k >.b a c b a Q -<<+，∴ln 23ln 2k c k <<，
则28t <<，当8t <<时，222
0a b c +-<，故ABC ∆为钝角三角形.
面2222222225ln 2cos 222
a b c a b c k c CA CB ab C ab ab +-+--⋅==⋅==
u u u v u u u v ， 又2CA CB mc =⋅u u u v u u u v
，∴222
222225ln 25ln 21222
k c CA CB k m c c c -⋅===-u u u v u u u v . ln 23ln 2k c k <<Q ，∴2222222255518ln 222ln 2k k k k c k <<，即22255ln 25
1822k c <<，
∴229m -<<.当4t =，ln 2a =时，ABC ∆
，故四个结论中，只
有③不正确.填①②④． 【点睛】
解三角形中运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式进边角互换及运算是常见题形，要注意三角形内角和为180o 来减少角的个数，及两边之和大于第三边，两边第差小于第三边来构造不等关系是常用处理技巧．
三、解答题
17．已知数列{}n a 、{}n b 满足：11
4
a =
，1n n a b +=，121n n n b b a +=-. （1）证明：11n b ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；
（2）设1223341n n n S a a a a a a a a +=+++⋅⋅⋅+，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立． 【答案】（1）见解析，2
3
n n b n +=
+；（2）1a ≤ 【解析】（1）由已知变形为112n n b b +=
-，再构造
111
111
n n b b +-=---，从而证明数列11n b ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
是等差数列，并求通项公式； （2）由（1）可知1
13
n n a b n =-=
+，再写出n S ，利用裂项相消法求和，4n n aS b <恒成立整理为()()()()
2
1368
2404334n n a n a n an n aS b n n n n -+--+-=-=<++++恒成立，分1a =，1a >和1a <三种情况讨论*n N ∈时恒成立求a 的取值范围.
【详解】
（1）∵()()
()11
1122n
n n n n n n n
b b b a a b b b +=
=
=-+--，
∴11112n n b b +-=
--，∴1211
1111
n n n n b b b b +-==-+---． ∴数列11n b ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
是以-4为首项，-1为公差的等差数列．
∴
()1
4131n n n b =---=---，∴12133
n n b n n +=-=++． （2）∵1
13
n n a b n =-=
+． ∴()()
12231111455634n n n S a a a a a a n n +=++⋅⋅⋅+=
++⋅⋅⋅⨯⨯++()
114444n
n n =
-=++， ∴()()()()
2
1368
244334n n a n a n an n aS b n n n n -+--+-=-=++++． 由条件可知()()2
13680a n a n -+--<恒成立即可满足条件，设
()()()21328f n a n a n =-+--，
当1a =时，()380f n n =--<恒成立， 当1a >时，由二次函数的性质知不可能成立． 当1a <时，对称轴3231102121a a a -⎛⎫
-
⋅=--< ⎪--⎝⎭
，()f n 在[)1,+∞为单调递减函数． ()()()113684150f a a a =-+--=-<，∴15
4
a <
，∴1a <时4n n aS b <恒成立． 综上知：1a ≤时，4n n aS b <恒成立． 【点睛】
本题考查证明由递推公式求通项公式，裂项相消法求和，以及数列和函数结合的综合性问题，意在考查转化与化归，讨论的思想和计算能力，属于中高档习题.
18．在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=o ，1
tan 2
ACB ∠=.已知E F ，分别是BC AC ，的中点.将CEF ∆沿EF 折起，使C 到C '的位置且二面角C EF B '--的大小是60°，连
接C B C A ''，，如图：
（1）证明：平面AFC '⊥平面ABC '
（2）求平面AFC '与平面BEC '所成二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析（2）45°
【解析】（1）设AC '的中点为G ，连接FG ，设BC '的中点为H ，连接GH ，EH ，从而BEC '∠即为二面角C EF B '--的平面角，60BEC ∠='o ，推导出EH BC '⊥，从而EF ⊥平面BEC '，则AB EH ⊥，即EH AB ⊥，进而EH ⊥平面ABC '，推导四边形EHGF 为平行四边形，从而FG EH ∥，FG ⊥平面ABC '，由此即可得证. （2）以B 为原点，在平面BEC '中过B 作BE 的垂线为x 轴，BE 为y 轴，BA 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面AFC '与平面BEC '所成二面角的大小. 【详解】
（1）∵F 是AC 的中点，∴AF C F '=. 设AC '的中点为G ，连接FG . 设BC '的中点为H ，连接GH ，EH . 易证：C E EF '⊥，BE EF ⊥，
∴BEC '∠即为二面角C EF B '--的平面角. ∴60BEC ∠='o ，而E 为BC 的中点.
易知BE EC '=，∴BEC '∆为等边三角形，∴EH BC '⊥.① ∵EF C E '⊥，EF BE ⊥，C E BE E '=I ，∴EF ⊥平面BEC '. 而EF AB ∥，∴AB ⊥平面BEC '，∴AB EH ⊥，即EH AB ⊥.② 由①②，BC AB B '=I ，∴EH ⊥平面ABC '. ∵G H ，分别为AC BC ''，的中点. ∴四边形EHGF 为平行四边形.
∴FG EH ∥，FG ⊥平面ABC '，又FG ⊂平面AFC '. ∴平面AFC '⊥平面ABC '.
（2）如图，建立空间直角坐标系，设2AB =.
则()002A ，，，()000B ，，，()201F ，，，()200E ，
，，()
130C '，
， 显然平面BEC '的法向量()001m =r
，，，
设平面AFC '的法向量为()n x y z r
，，=，
()
132AC ='-u u u u v ，，，()201AF =-u u u v ，，， ∴20
320
x z x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，∴()
1
32n =r ，，. 2cos ,2
m n m n m n ⋅==⋅r r
r r
r r ，
由图形观察可知，平面AFC '与平面BEC '所成的二面角的平面角为锐角. ∴平面AFC '与平面BEC '所成的二面角大小为45°.
【点睛】
本题主要考查立体几何中面面垂直的证明以及求解二面角大小，难度一般，通常可采用几何方法和向量方法两种进行求解.
19．在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图.
（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；
（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的
概率分别为()11
91
1,2,31010
n n P n P n --⎛⎫+
= ⎪⎝=⎭
，
其中i P 表示第i 个出场选手解密成功的概率，并且1P 定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立. ①求该团队挑战成功的概率；
②该团队以i P 从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X 的分布列与数学期望.
【答案】（1）0.026a =，0.024b =，甲在1分钟内解密成功的频率0.9；（2）①0.999361；②详见解析，() 1.109E X =.
【解析】（1）根据中位数左右两边的矩形面积之和均为0.5可求得a 、b 的值，并根据频率分布直方图求得甲在1分钟内解密成功的频率；
（2）①由（1）得出10.9P =，求出2P 、3P
的值，由此得出该团队挑战成功的概率为()()()1231111P P P ----；
②由题意可得出随机变量X 的可能取值有1、2、3，利用独立事件的概率乘法公式计算出随机变量X 在不同取值下的概率，据此可得出随机变量X 的分布列，结合期望公式可计算出X 的数学期望值. 【详解】
（1）甲解密成功所需时间的中位数为47，
()0.0150.014550.034547450.040.5a ∴⨯+⨯++⨯+-⨯=，解得0.026a =，
0.0430.032550.01100.5b ⨯+⨯++⨯=，解得0.024b =，
由频率分布直方图知，甲在1分钟内解密成功的频率是10.01100.9f =-⨯=；
（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为10.9P =， 第二个出场选手解密成功的概率为291
0.910.911010
P =⨯
+⨯=， 第三个出场选手解密成功的概率为2
3910.920.9291010
P ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪
⎝⎭， 所以该团队挑战成功的概率为
()()()123111110.10.090.0710.999361P P P P =----=-⨯⨯=； ②由①可知按()1
,2,3i P i =从小到大的顺序的概率分别1P 、2P 、3P ， 根据题意知X 的取值为1、2、3，
则()10.9P X ==，()()210.90.910.091P X ==-⨯=，
()()()310.910.910.009P X ==-⨯-=，
所以所需派出的人员数目X 的分布列为：
X
1 2 3
P
0.9
0.091
0.009
因此，()10.920.09130.009 1.109E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查利用频率分布直方图中的中位数求参数，同时也考查概率的计算、随机变量分
布列以及数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.
20．如图，设抛物线C 1:24(0)y mx m =->的准线1与x 轴交于椭圆C 2：
22
22
1(0)x y a b a b
+=>>的右焦点F 2，F 1为C 2的左焦点.椭圆的离心率为12e =，抛物线C 1与椭圆C 2交于x 轴上方一点P ，连接PF 1并延长其交C 1于点Q ，M 为C 1上一动点，且在P ，Q 之间移动.
（1）当
3
2a +
取最小值时，求C 1和C 2的方程； （2）若△PF 1F 2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ 面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程.
【答案】（1）2
4y x =-,22
143
x y +=；
（2）面积最大值为
6
16
，此时42:6633MP y x =+. 【解析】（1）由题意，c m =和12c e a =
=，得到2a m =，3b m =，根据3
2a +取最小值时1m =，即可求得抛物线和椭圆的方程；
（2）用m 表示出椭圆的方程，联立方程组得出P 点的坐标，计算出12PF F ∆的三边关于m 的式子，从而确定实数m 的值，求出PQ 得距离和M 到直线PQ 的距离，利用二次函数的性质，求得MPQ ∆面积取最大值，即可求解． 【详解】
（1）由题意，抛物线2
1:4(0)C y mx m =->的准线方程为:l x m =，
椭圆22
222:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点2(,0)F c ，所以c m =，
又由12c e a =
=，则2a m =
，b =
，所以2a b
+取最小值时1m =， 所以抛物线C 1:2
4y x =-，
又由2a =，2
3b =，所以椭圆C 2的方程为22
143
x y +=．
（2）因为c m =，1
2
c e a =
=，则2a m =
，b =， 设椭圆的标准方程为22
2
2143x y m m
+=，0011(,),(,)P x y Q x y ， 联立方程组22
2221
434x y m m
y mx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，得22316120x mx m --=， 所以023x m =-
或06x m =（舍去）
，代入抛物线方程得03
y m =
，即23m P ⎛- ⎝
⎭，于是153m PF =，21723m PF a PF =-=，12623m
F F m ==， 又12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =， 此时抛物线方程为2
12y x =-，1(3,0)F -
，(2,P -， 则直线PQ
的方很为3)y x =+，
联立2
3)
12y x y x ⎧=+⎪⎨
=-⎪⎩
，得192x =-或12x =-（舍去）
，于是9,2Q ⎛-- ⎝.
所以25||2PQ ==，
设2,((12t M t t ⎛⎫
-∈- ⎪⎝⎭到直线PQ 的距离为d
，则
2
753022d t ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭
，
当t =
max 752d ==， 所以MPQ ∆
的面积最大值为
12522416
⨯⨯=
， 此时MP
：y =+
【点睛】
本题主要考查椭圆和抛物线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21．已知函数()ln x
f x a x e
=+，其中a 为常数． （1）若直线2
y x e
=
是曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值； （2）当1a =-时，若函数()()ln x
g x f x b x
=-
+在[)1+∞，上有两个零点．求实数b 的取值范围．
【答案】(1) 1a = (2) 11,b e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭
【解析】（1）设切点()00,x y ， 由题意得0000
12,2ln a e x e
x x a x
e e ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解方程组即可得结果；
（2）函数()()ln x
g x f x b x
=-+在[)1
+∞，上有两个零点等价于，函数ln ln x x y x x e =+- 的图象与直线y b =有两个交点，设ln ()ln (0)x x
h x x x x e
=+
->，利用导数可得函数()h x 在x e =处取得极大值1
()h e e
=，结合1(1)h e =-，
()32331
3h e e e e
=+-<-，从而可得结果.
【详解】
（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()a x ae
f x e x ex +'=
+=， 曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为2
y x e
=.
由题意得0000
12,2ln a e x e
x x a x
e
e ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩ 解得1a =，0x e =.所以a 的值为1. （2）当1a =-时，()ln x f x x e =
-，则11()x e
f x e x ex
-'=-=， 由()0f x '>，得x e >，由()0f x '<，得0x e <<，则()f x 有最小值为()0f e =，
即()0f x …
， 所以ln ()ln x x
g x x b e x
=
--+，(0)x >， 由已知可得函数ln ln x x
y x x e
=+- 的图象与直线y b =有两个交点， 设ln ()ln (0)x x
h x x x x e
=+->， 则211ln 1()x h x x x e -'=+-2
2
ln ex e e x x ex
+--=， 令2
()ln x ex e e x x ϕ=+--，2
2()2e ex e x x e x x x
ϕ--'=--=，
由220ex e x --<，可知()0x ϕ'<，所以()x ϕ在(0,)+∞上为减函数， 由()0e ϕ=，得0x e <<时，()0x ϕ>，当x e >时，()0x ϕ<， 即当0x e <<时，()0h x '>，当x e >时，()0h x '<， 则函数()h x 在(0,)e 上为增函数，在(,)e +∞上为减函数， 所以，函数()h x 在x e =处取得极大值1
()h e e
=， 又1(1)h e
=-，(
)3
22
331341h e
e e e e
=+
-<-<-<-， 所以，当函数()g x 在[1,)+∞上有两个零点时，b 的取值范围是1
1b e
e
-<„， 即11,b e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的零点，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()
()
00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()
11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()
11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点
()()00,,A x f x 利用()()()10010
f x f x k f x x x -'=
=-求解.
22．在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为2,
1x t y t =--⎧⎨
=+⎩
（t 为参数）
，曲线
1:C y =以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴立极坐标系，曲线2C 的极坐标
方程为4πρα⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
. （Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP ⋅u u u v u u u v
的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为()2,1-，求QM QN -的值.
【答案】（Ⅰ
）1]； （Ⅱ
.
【解析】（Ⅰ）利用参数方程表示出目标式BA BP ⋅u u u v u u u v
，结合三角函数知识求解； （Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线2C ，结合参数的几何意义可求. 【详解】
（Ⅰ）由题意可知：直线l 的普通方程为10,(1,0),
(0,1)x y A B ++=∴--.
1C 的方程可化为221(0)x y y +=≥，设点P 的坐标为(cos ,sin ),0θθθπ≤≤，
cos sin 111]4BA BP πθθθ⎛
⎫∴⋅=-++=-+∈ ⎪⎝
⎭u u u v u u u v .
（Ⅱ）曲线2C 的直角坐标方程为：22
(2)(2)8x y ++-=.
直线l
的标准参数方程为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（m 为参数），代入2C
得：270m -=
设,M N 两点对应的参数分别为12,m m
121270m m m m +==-< ,故12,m m 异号
12QM QN m m ∴-=+=‖‖【点睛】
本题主要考查极坐标和直角坐标之间的转化及参数方程的应用，利用参数的几何意义能简化计算过程，达到事半功倍的效果.
23．已知函数()223f x x x m =+++, m R ∈． (1)当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集；
（2）若(),0x ∀∈-∞，都有()2
f x x x
≥+
恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1） 12,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
；（2）322m ≥--
【解析】（1）当2m =- 时，f （x ）＝|2x|+|2x+3|-2＝41,031,02345,2x x x x x ⎧
⎪+≥⎪
⎪-<<⎨
⎪
⎪
--≤-⎪⎩
，分段解不等式即可．
（2）f （x ）＝|2x|+|2x+3|+m ＝33,02
3
43,2m x x m x ⎧
+-<<⎪⎪⎨
⎪--+≤-⎪⎩ ．当302x -<<时，得23m x x +≥+
，当32x ≤-时，得2
53m x x
≥++，利用恒成立求最值，可得m 的取值范围． 【详解】
（1）当m ＝﹣2时，f （x ）＝|2x|+|2x+3|-2＝41,031,02345,2x x x x x ⎧
⎪+≥⎪
⎪
-<<⎨⎪
⎪
--≤-⎪⎩
当，解得
； 当
恒成立
当解得﹣2，
此不等式的解集为
（2）当x ∈（﹣∞，0）时f （x ）＝|2x|+|2x+3|+m ＝33,02
343,2m x x m x ⎧
+-<<⎪⎪⎨⎪--+≤-⎪⎩
．
当302x -
<<时，得2
3m x x
+≥+恒成立，由
当且仅当即
时等号成立．∴
，
∴ 当32x ≤-
时，得243x m x x --+≥+．∴253m x x ≥++恒成立，令2
53y x x
=++，，
∵
2222837
5559932y x =-
≥-=-=⎛⎫
⎪⎝⎭
'- ，∴在上是增函数．
∴当时，取到最大值为35
6
-
∴.
又3517
332266
-
=--<--Q 所以322m ≥--【点睛】
本题考查含绝对值不等式的解法，考查利用恒成立求参数的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。