概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案
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概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案
1．设二维随机变量),(Y X 只能取下列数组中的值：)0,0(，)1,1(-，3
1
,1(-及)0,2(，
且取这几组值的概率依次为61，31，121和12
5
，求二维随机变量),(Y X 的联合
分布律．
解：由二维离散型随机变量分布律的定义知，),(Y X 的联合分布律为
2．某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名．现从8名委员中随机地指定3名担任学生会主席．设X ，Y 分别为主席来自理科、工科的人数，
求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．
解：(1)由题意，X 的可能取值为0，1，2，Y 的可能取值为0，1，2，3，则
561
)0,0(383
3====C C Y X P ，
569
)1,0(3
81
323====C C C Y X P ，569
)2,0(382313====C C C Y X P ，
561
)3,0(3833====C C Y X P ，
283
)0,1(3
82312====C C C Y X P ，28
9
)1,1(3
8131312====C C C C Y X P ，283
)2,1(382312====C C C Y X P ，
0)3,1(===Y X P ，
56
3
)0,2(3
81322====C C C Y X P ，56
3
)1,2(3
81322====C C C Y X P ，0)2,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ．
),(Y X 的联合分布律为：
(2)X 的边缘分布律为
X 012P
14528
1528
3Y 的边缘分布律为Y 0123P
28
528
1528
1556
13．设随机变量),(Y X 的概率密度为
⎩
⎨
⎧<<<<--=其他．,0,
42,20),6(),(y x y x k y x f 求：(1)常数k ；(2))3,1(<<Y X P ；(3))5.1(<Y P ；(4))4(≤+Y X P ．解：方法1：(1)
⎰
⎰
⎰
⎰--==+∞∞-+∞∞-4
2
2
d d )6(d d ),(1y
x y x k y x y x f ⎰--=4
22
02d |)2
16(y yx x x k k y y k 8d )210(42=-=⎰，
∴8
1
=k ．
(2)⎰⎰∞-∞-=<<31d d ),()3,1(y x y x f Y X P ⎰⎰--=32102d d )2
1
6(y
x yx x x ⎰--=32102d |)216(81y yx x x 8
3|)21211(81322=-=y y ．(3)),5.1()5.1(+∞<<=<Y X P X P ⎰⎰+∞∞-∞---=5.1d d )6(8
1
y
x y x ⎰⎰--=425.10d d )6(81y x y x y yx x x d )2
16(81422⎰--=
32
27|)43863(81422=-=y y ．(4)⎰⎰
≤+=
≤+4
d d ),()4(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=
2
042d )6(d 8
1x y y x x ⎰+-⋅=202d )812(2181x x x 3
2|)31412(1612
032=+-=x x x ．方法2：(1)同方法1．(2)20<<x ，42<<y 时，
⎰
⎰∞-∞
-=y
x
v u v u f y x F d d ),(),(⎰
⎰--=y x
v u v u 20d d )6(81
⎰--=y x
v uv u u 202d |)216(81⎰--=y v xv x x 22d )216(81y xv v x xv 222|)21216(81--=)102
1216(81222x xy y x xy +---=，其他，0),,(=y x F ，
∴
⎪⎩⎪
⎨⎧<<<<+---=其他．
,0,42,20),102
1216(81
),(222y x x x xy y x xy y x F 8
3
)3,1()3,1(=
=<<F Y X P ．(3))
42,5.1(),5.1()5.1(<<<=+∞<<=<Y X P Y X P X P )2,5.1()4,5.1(<<-<<=Y X P Y X P 32
27)2,5.1()4,5.1(=
-=F F ．(4)同方法1．
4．设随机变量),(Y X 的概率密度为
⎩⎨
⎧>>=--其他．
,0,
0,0,e ),(2y x A y x f y x 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)
⎰
⎰
⎰
⎰+∞
+∞
--+∞∞-+∞
∞-==0
2d d e d d ),(1y
x A y x y x f y x ⎰⎰+∞
+∞
--=002d e d e y x A y x
2
|)e 21(|)e (020
A A y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=A ．