广东省肇庆市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

高一级段考数学试卷
一､单选题（8小题，每题5分）
1. 设（其中为虚数单位），若为纯虚数，则实数（ ）
1232i,1i z z m =+=+i 12z z m =A.
B. C. D.
23
23
-
32
-
32
【答案】D 【解析】
【分析】根据复数乘法的运算法则，结合纯虚数的定义进行求解即可. 【详解】， ()()()1232i 1i 33i 2i 23232i z z m m m m m =++=++-=-++因为为纯虚数，
12z z 所以有，
3203
3202m m m -=⎧⇒=⎨+≠⎩
故选：D
2. 设、是两个不共线向量，若向量与向量共线，则的值等于（ ）
1e 2e 1235a e e =+ 123b me e =-
m A.
B. C. D. 53
-95
-
35
-
59
-
【答案】B 【解析】
【分析】依题意可得、可以作为平面内的一组基底，则，根据平面向量基本定理得到方程1e 2e b a λ=
组，解得即可.
【详解】因为、是两个不共线向量，所以、可以作为平面内的一组基底，
1e 2e 1e 2e
又向量与向量共线，所以，
1235a e e =+ 123b me e =- b a λ=
即，所以，解得. ()1212335me e e e λ-=+ 335m λλ=⎧⎨-=⎩95
35m λ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
故选：B
3. 已知圆台的上、下底面的半径分别为，，若，高
R r 22R r ==h =（ ） A.
B.
C.
D.
9π11π6π3π
【答案】C 【解析】
【分析】构造三角形求出母线长，再代入 可得结果. 12=()S r r l π+圆台侧
【详解】如图所示，过A 作AC 垂直于于点C ，则 ，
2O B 1BC =AC =
∴在直角△ACB 中， ||2l AB ===∴ =()(21)26S R r l πππ+=⨯+⨯=圆台侧故选：C.
4. 已知向量，满足，若，则实数的值为（ ） a b
||2||1a b a b ==⊥ ，，()()a b a b λ+⊥- λ
A. B. C.
D.
249
2
【答案】C 【解析】
【分析】由向量垂直列出方程，结合向量的数量积运算性质求解.
【详解】∵，∴
a b ⊥ 0a b ⋅=
∵，∴ ()()a b a b λ+⊥- 22
()()0a b a b a b λλ+⋅-=-= ∵，∴，即. ||2||1a b == ，40λ-=4λ=故选：C.
5. 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，ABC A A B C a b c cos cos 2cos c B b C a A +=2a =
，的周长是（ ） ABC A ABC A A. 4 B. 6
C. 8
D. 18
【答案】B 【解析】
【分析】由正弦定理和和角公式得到，得到，由三角形面积公式得到，再利用余
1cos 2
A =π
3A =4bc =弦定理求出，得到答案.
4b c +=
【详解】，由正弦定理得，， cos cos 2cos c B b C a A +=sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=又， ()sin cos sin cos sin sin C B B C B C A +=+=所以，
sin 2sin cos A A A =因为，所以，故， ()0,πA ∈sin 0A ≠1cos 2
A =因为，所以， ()0,πA ∈π3
A =
由三角形面积公式可得
，故， 1sin 2bc A ==4bc =由余弦定理得，
()()2
2
2222
2841cos 2282
b c bc a b c b c a A bc bc +--+--+-====解得或（舍去）， 4b c +=4-故三角形周长为. 426+=故选：B
6. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则形状为（ ） ABC A A B C a b c cos 0c b A -<ABC A A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C 【解析】
【分析】使用正弦定理和两角和的正弦公式花间即可求解. 【详解】，
cos 0c b A -<所以由正弦定理可得 2sin 2sin cos 0R C R B A -<所以， sin sin cos 0C B A -<所以，
sin()sin cos 0A B B A +-<所以， sin cos cos sin sin cos 0A B A B B A +-<所以， sin cos 0A B <在三角形中， sin 0A >所以， cos 0B <所以为钝角， B 故选：C .
7. 如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥4P
爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（ ）
P
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】
【分析】作出圆锥侧面展开图，根据最短路程和母线长，利用余弦定理可求得侧面展开图扇形的圆心角，结合扇形弧长公式和勾股定理可求得圆锥底面半径和高，代入圆锥体积公式即可. 【详解】设圆锥的顶点为，以母线为轴可作出圆锥侧面展开图如下图所示，
O OP
小虫爬行的最短路程为，又，
PP '∴=4OP OP '==，， 2221616481cos 2322
OP OP PP POP OP OP ''+-+-'∴∠===-
'⋅2π3POP '∴∠=
设圆锥底面半径为，高为，则，解得：， r h 2π2π43r =⨯43r =h ∴==
圆锥体积.
∴21116ππ339V r h ==⨯=故选：A.
8. 已知四棱锥的底面，P ABCD -ABCD 2,,AD AB AB PD PA PD ==⊥=则四棱锥的外接球的体积为（ ） P ABCD -
A. B.
C.
D.
36π256
π3
【答案】B 【解析】
【分析】作出辅助线，求出平面外接圆半径，再利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出球的体PAD 积.
【详解】如图，在矩形中，连接对角线，记，则点为矩形的ABCD ,AC BD AC BD F ⋂=F ABCD 外接圆圆心，
取的中点，连接，记的外接圆圆心为，易知
AD E ,PE EF PAD A G ，且共线. 1
//,1,2
EF AB EF AB PE AD =
=⊥,,P E G 因为，平面，所以平面， ,,AB PD AB AD AD PD D ⊥⊥⋂=,AD PD ⊂PAD AB ⊥PAD 所以平面，平面，，，平面，
EF
⊥PAD PE ⊂PAD EF PE ⊥EF AD E = ,EF AD ⊂ABCD
所以平面，所以，所以，易得
PE ⊥ABCD PE =PA PD ==
=，
120APD ∠=
所以由正弦定理得的外接圆半径为
，即.
PAD A 2sin AD
APD
∠=GP =过作平面，且，连接，由平面， G GO ⊥PAD 1GO EF ==FO GO ⊥PAD 可知，则四边形为矩形，所以，则平面. GO EF //EFOG //FO PG FO ⊥ABCD 根据球的性质，可得点为四棱锥的外接球的球心. O P ABCD -
因为，所以四棱锥的外接球的体积为
. 3PO =
==P ABCD -3
4π336π3
⨯=
故选：B
二､多选题（4小题，全对5分，部分对2分，有错和不选0分）
9. 蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形，下列说法正确的是（ ）
ABCDEF
A.
AC AE BF -=
B.
23
AC AE AD += C.
2||AD AB AB ⋅= D. 在上的投影向量为 AD
AB AB
【答案】CD 【解析】
【分析】对于A ，可得与为相反向量；对于B ，证明即得解；对于C ，求出
EC BF
232AH AD
=
即得解；对于D ，证明即得解. π3DAB ∠=
π
2
ABD ∠=【详解】对于A ，，由图可得与为相反向量，故A 错误；
AC AE AC EA EC -=+= EC BF
对于B ，由图易得，直线平分，且为正三角形，
AE AC =
AD EAC ∠ACE △
根据平行四边形法则有与共线且同方向， 2AC AE AH += AD
易知均为直角三角形，， ,EDH AEH A A 6
,ππ
6DEH EAH ∠=
∠=故，
,EH DH AH DH ==
则，而，故，
4AD DH = 26AH DH =
232AH AD
= 故，故B 错误；
32
AC AE AD +=
对于C ，， 2π,3
BCD ABC AB BC DC ∠=∠===
，则，又，
π
6BDC DBC ∴∠=∠=π2ABD ∠=AD BC A ， ，，故C 正确；
π3DAB ∴∠=2AD AB = 22π
1cos 232
AD AB AD AB AB AB ⋅==⨯=
对于D ，由C 知，则在上的投影向量为，故D 正确. π2
ABD ∠=AD AB AB
故选：CD.
10. 设是两个不同的平面，是三条不同的直线，下列命题正确的是（ ） ,αβ,,a b c A. 若，则 ,a b a c ⊥⊥//b c B. 若，则 ,a b αα⊥⊥//a b C. 若，则 ,a a αβ⊥⊥//αβD. 若，，则 //a b //a α//b α【答案】BC 【解析】
【分析】由线面、线线的位置关系，结合平面的基本性质判断各项的正误. 【详解】A ：，则可能异面、相交或平行，错误； ,a b a c ⊥⊥,b c B ：，由垂直于同一平面的两条直线平行知：，正确； ,a b αα⊥⊥//a b C ：若不平行，则必相交，令，
,αβ,αβd αβ⋂=假设垂足分别是，在上找一点，连接， ,a a αβ⊥⊥,A B d C ,AC BC 故，，则，故， AC α⊂BC β⊂,a AC a BC ⊥⊥90CAB CBA ∠=∠=︒在△中内角和大于，显然矛盾，故，正确；
ABC 180︒//αβ
D ：，，则或，错误. //a b //a α//b αb α⊂故选：BC
11. 一艘轮船航行到A 处时看灯塔B 在A 的北偏东方向上，距离为
C 在A 的北偏西75 30°
方向上，距离为海里，该轮船从A 处沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东60 方向上，下面结论正确的有（
） A.
B.
AD =CD =C. 或 D. 灯塔C 在D 的南偏西方向上
60CDA ∠= 120CDA ∠= 60 【答案】ABD 【解析】
【分析】画出示意图，由题意确定相应角大小、边长度，利用正余弦定理求、，进而判断各项AD CD 的正误.
【详解】由题设，，，则，
75,60,30
DAB ADB DAC ∠=
︒∠=︒∠=
︒AB AC ==45B =︒
所以
，则海里，A 正确；
sin sin AD AB B ADB =∠
∠sin sin AB B AD ADB
∠===
∠所以
B 正确；
CD ===由，则，故，灯塔C 在D 的南偏西方向上，C 错误，D 正222AC CD AD +=AC CD ⊥60CDA ∠= 60 确；
故选：ABD
12. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在阳马P －ABCD
中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，，
PA =
PB =，则下列结论正确的有（ ）
PC =
A. 四面体P －ACD 是鳖臑
B. 阳马P －ABCD 的体积为 23
C. 阳马P －ABCD 的外接球表面积为
D. D 到平面PAC 的距离为
3π23
【答案】BD 【解析】
【分析】根据鳖臑定义判断A ，根据锥体体积公式判断B ，通过补形确定阳马P －ABCD 的外接球的直径，结合球的体积公式判断C ，利用等体积法求D 到平面PAC 的距离判断D. 【详解】设，，， DA x =DC y =DP z =由侧棱PD ⊥底面ABCD ，，
，
PA =
PB =PC =可得，解得
2222
222256
x z y z x y z ⎧+=⎪+=⎨⎪++=⎩
121x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩即，，． 1DA =2DC =1DP =
对于A ，由，可得△PAC 不是直角三角形，故
A 错误；
AC =PA =PC =对于B ，，故B 正确； 12
12133
P ABCD V -=
⨯⨯⨯=对于C ，将阳马补形为长为2，宽为1，高为1的长方体， P ABCD －
可知其外接球直径为， PB 故阳马的外接球半径， P ABCD －r
=表面积，故C 错误；
24π6πS r ==
对于D ，设D 到平面的距离为h ，
PAC
由，
AC =PA =PC =
可得的面积为， PAC △1
3
2
2=由等体积法，
P ACD D PAC V V --=可得， 1113
1213232
h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯解得，故D 正确．
2
3
h =故选：BD.
三､填空题（4小题，每题5分）
13. 如图所示，在正方体中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则异面直线与EF 所1111ABCD A B C D -1B C 成的角的大小为_________.
【答案】## 60︒π3
【解析】
【分析】连接，根据正方体的性质可得：（或其补角）即为所求，进而求解即可. 111,B D D C 11D B C ∠【详解】如图，连接，则，
111,B D D C 11B D EF ∥
故（或其补角）即为所求，
11D B C ∠又，所以， 1111B D D C B C ==1160D B C ∠=︒故答案为：.
60︒14. 若，则_______．
()()i 112z +-=|1|z +=
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，可得，再根据复数模的计算即可得答案. 2i z =+【详解】由可得， ()()i 112z +-=22(1i)112i i 12
z -=+=+=-+故，则
2i z =+|1||3
i |z +=+==
15. 如图，为测量山高，选择和另一座的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角
MN A C A M ，点的仰角以及；从点测得，已知山高
60MAN ∠= C 45CAB ∠= 75
MAC ∠= C 60MCA ∠= ，则山高__________.
1000m BC =MN =m
【答案】 1500【解析】
【分析】由题意，可先求出的值，从而由正弦定理可求的值，在直角三角形中可求得
AC AM AMN
．
MN 【详解】如图所示：
在直角三角形中，
， ABC sin BC CAB AC AC ∠=
⇒==在中，因为，， MAC △75MAC ∠=︒60MCA ∠=︒所以，
180756045AMC ∠=︒-︒-︒=︒
由正弦定理可知：，
sin sin MA AC MA ACM CMA =⇒=⇒=∠∠在直角三角形中，，
AMN sin 1500MN MAN MN AM ∠=⇒==故答案为：
150016. 如图，在中，
.延长到点，使得，则ABC A π3AC ACB ∠==
BA D
π
2,6
AD CDA ∠==ABC
A 的面积为__________.
【解析】
【分析】根据正弦定理和面积公式求解即可
. 【详解】解：因为在中，，， ADC △π3AC ACB ∠=
=
π2,6
AD CDA ∠==所以，由正弦定理得
，
sin sin AD AC ACD CDA ∠∠=sin ACD ∠=π4ACD ∠=所以，， 5ππ,124
CAB ABC ∠∠=
=在中，由正弦定理可
得
ABC A sin sin AB AC
ACB CBA
∠∠=
AB =因为 ππππππsin sin sin cos cos sin 464646CAB ⎛
⎫
∠=+=+=
⎪⎝⎭
所以，. 1sin 2ABC
S AB AC CAB ∠=⨯⨯⨯=
A 四､解答题（6大题，第17题10分，其余的12分）
17. 已知的夹角为，
||4,||2,,a b a b ==
2π3
（1）求
的值； 3a b +
（2）当为何值时，.
k ()()
2a b ka b +⊥-
【答案】（1）
（2） 1
2【解析】
【分析】（1）利用向量的数量积公式及向量的模公式即可求解； （2）根据（1）的结论及向量垂直的条件即可求解. 【小问1详解】
因为的夹角为，
||4,||2,,a b a b ==
2π3
所以. 2π1cos
42432a b a b ⎛⎫
⋅==⨯⨯-=-
⎪⎝⎭
所以
.
3a b +== 【小问2详解】
由（1）知，，，
4a b ⋅=-
||4,||2a b ==
因为，
()()
2a b ka b +⊥-
所以，即，
()()
20a b ka b +⋅-= 22022a b k k a b b a ⋅+⋅--= 所以，解得. 081864k k --+=1
2
k =
所以当时，.
1
2
k =()()
2a b ka b +⊥-
18. 已知a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且． cos a c
C C b
+=（1）求B ；
（2）若，求△ABC 面积的最大值．
2b =【答案】（1）
π
3
B =（
2【解析】
【分析】（1）应用正弦边角关系、三角形内角性质及和角正弦公式得，进而求B 的
cos 1B B +=大小；
（2）应用余弦定理及基本不等式求得，注意等号成立条件，再应用三角形面积公式求面积最值.
4ac ≤
【小问1详解】
由
结合正弦定理可得， cos a c C C b +=+sin sin cos sin A C
C C B
+=
则， sin sin sin cos sin A C B C B C +=而， sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+
所以，而，故，
cos sin sin sin B C C B C +=
sin 0C >cos 1B B +=
，则， πcos 2sin()16B B B -=-=π1
sin()62
B -=由，所以即.
ππ5π666B -<-<ππ66
B -=π3B =【小问2详解】
由，则，仅当时等号成立， 2222cos b a c ac B =+-224a c ac ac +-=≥2a c ==
所以ABC . 1sin 2ABC S ac B =
=≤A 19. 如图，在平面凸四边形中（凸四边形指没有角度数大于180°的四边形），，，
ABCD 2AB =5BC =．
6CD =
（1）若，，求； 120B =︒1
cos 6
D =
AD （2）已知，求四边形的面积为S 的最大值． 3AD =ABCD 【答案】（1）
3AD =
（2）【解析】
【分析】（1）在中，由余弦定理得出，在中由余弦定理得出；
ABC A AC ACD A AD （2）在和中，由余弦定理得出，进而由三角形面积公式以及余弦函ABC A ADC △9cos 5cos 4D B -=数的性质得出S 的最大值． 【小问1详解】
连接，在中，由余弦定理，得
AC ABC A
，所以
22212cos120425225392AC AB BC AB BC ︒=⎛⎫
+⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
-AC =
由余弦定理，得，
2222cos 39AC AD CD AD CD D =+-⋅=即，所以； 2
1
3626396
AD AD +-⨯⨯
=3AD =【小问2详解】
在和中，，
ABC A ADC △2222cos 2920cos AC AB BC AB BC B B +⋅--==，
222c 4536cos 2os D AC AD CD AD CD D =-=+-⋅所以， 9cos 5cos 4D B -=又， 11
36sin 25sin 9sin 5sin 22
ADC ABC S S S D B D B =+=
⨯⨯+⨯⨯=+A A 所以， ()()()2
2
2169sin 5sin 9cos 5cos 10690cos 10690196S D B D B B D +=++-=-+≤+=
所以当时，S 取最大值为.
B D π+=20. 阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．如图，四棱锥P －ABCD 就是阳马结构，PD ⊥平面ABCD ，且，，
． 1PD =2AB AD ==1PE DF
EC FB
==
（1）证明：平面；
//EF PAD （2）若，求三棱锥的体积． 2GC BG =
G DEF -【答案】（1）证明见详解
（2）
1
9
【解析】
【分析】（1）取中点为,证明，，进而根据线面平行以及面面平行的判定定CD H //EH PD //FH AD 理证明平面平面，然后根据面面平行的性质定理，即可证得线面平行； //EFH PAD （2）由已知可推出，进而推得.根据等体积法可推得，然后根23GB BC =
23DFG S =A 1
2
P DFG G DEF V V --=据体积公式求解，即可得出答案.
【小问1详解】
如图，取中点为,连接. CD H ,HE HF 因为
，所以分别为的中点. 1PE DF
EC FB
==,E F ,PC BD 又为的中点，所以，. H CD //EH PD //FH BC 又，所以.
//AD BC //FH AD 因为平面，平面， EH ⊄PAD PD ⊂PAD 所以平面. //EH PAD 同理可得，平面. //FH PAD 因为平面，平面，，
EH ⊂EFH FH
⊂EFH EH FH H = 所以，平面平面.
//EFH PAD 因为平面，所以平面. EF ⊂EFH //EF PAD 【小问2详解】
因为，所以.
2GC BG = 2
3
GB BC =因为
112
223
DFG DBG BCD S S S ==⨯A A A ， 1121122222232233
ABCD S =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=A 所以.
12E DFG P DFG G DEF V V V ---==111121
1232339
DFG PD S =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=A 21. 如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，平面平面ABCD ，，P ABCD -PAD ⊥60BAD ∠=︒，.O ，E 分别是AD ，BC 中点.
2=AD AB PA PD =
（1）证明：平面POE ；
BD ⊥
（2），，求点E 到平面PCD 的距离. 2AB =PA =【答案】（1）证明见解析
（2 【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得，由余弦定理和勾股定理可得，结合线面垂PO BD ⊥BD OE ⊥直的判定定理即可证明；
（2）连接OC ，根据线面平行的判定定理可得平面PDC ，则点E 到平面PCD 的距离等于点O 到OE ∥
平面PCD 的距离.由余弦定理、同角的三角函数关系和三角形的面积公式可得，利用等体积
PCD S =△法计算即可求解. 【小问1详解】
∵，O 是AD 的中点，∴.
PA PD =PO AD ⊥
∵平面平面ABCD ，平面平面，平面PAD ， PAD ⊥PAD ⋂ABCD AD =PO ⊂∴平面ABCD .
PO ⊥∵平面ABCD ，∴. BD ⊂PO BD ⊥设，则，，
AB a =2AD a =60BAD ∠=︒在中，由余弦定理得， ABD △22222cos 3BD AB AD AB AD BAD a ∠=+-⋅=∴，∴.
222AB BD AD +=AB BD ⊥∵E 是BC 中点，四边形ABCD 是平行四边形， ∴，∴.
OE AB ∥BD OE ⊥∵PO ，OE 是平面POE 内的两条相交直线，∴平面POE .
BD ⊥【小问2详解】 连接OC .
∵O ，E 分别是AD ，BC 中点，底面ABCD 是平行四边形，∴.
OE DC ∥
∵平面PDC ，平面PDC ，∴平面PDC . OE ⊄DC ⊂OE ∥∴点E 到平面PCD 的距离等于点O 到平面PCD 的距离.
∵，∴， PA PD ==24==AD AB 2PO OD DC ===∴， 2222cos12012OC OD DC OD DC =+-⋅︒=
∴.
4PC =
=在中，由余弦定理得，
PCD A 2223
cos 24
PC CD PD PCD PC CD ∠+-==⋅
∴，∴的面积.
sin PCD ∠=
PCD A 1sin 2PCD S PC CD PCD ∠=⋅=△设O 到平面PCD 的距离为d ，因三棱锥O —PCD 与三棱锥C —POD 是同一三棱锥， 所以，即， O PCD C POD V V --=11
sin 6033
PCD POD S d S AB ︒⋅=⋅A A
12222=
⨯⨯⨯
解得.所以点E 到平面PCD d =22.
在
中
，
角
的
对边分别为
，
已知
ABC A ,,A B C ,,a b c ．
sin sin cos sin cos sin sin a A a C B b C A b B c A ++=+（1）求角的大小；
B （2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；
2a =ABC A ABC A （3）若，且外接圆半径为2，圆心为为上的一动点，试求的取值范围． 2b ac =,O P O A PA PB ⋅
【答案】（1）
π
3
B =
（2） (3++（3） []2,6-【解析】
【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解；
（2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解；
A （3）易得三角形为等边三角形，取中点，可得，由ABC A
B M 222
3PA PB PM MA PM ⋅=-=- P
为上的一动点，可得，进而可求的取值范围. O A []1,3PM ∈PA PB ⋅
【小问1详解】 依题意， 由正弦定理，
， sin sin sin a b c
A B C
==由 sin sin cos sin cos sin sin a A a C B b C A b B c A ++=+可得，
22cos cos a ac B bc A b ac ++=+由余弦定理，
2
2
2
2
2
2
2cos ,2cos ac B a c b bc A b c a =+-=+-则，则，
222a c b ac +=+2221
cos 22
a c
b B a
c +-==因为，所以； 0πB <<π
3
B =【小问2详解】
由为锐角三角形，，可得， ABC A π
3B =
ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
由正弦定理，则，
sin sin sin a b c
A B C ==22πsin sin 3c
A A
==⎛⎫- ⎪
⎝
⎭则，
2π2sin 31sin A b c A ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭==
=
=+则的周长为
ABC A 2
2cos cos 12
333sin 2sin cos 22A A a b c A A A +++=+=+=由，则，因为
ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
ππ,2124A ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭2π2tan π
12tan π61tan 12
=
=-，解得
或（舍去），
2ππtan tan
101212+-=
πtan 212
=π
tan 212
=--所以，则周长范围是；
()
tan
22
A
∈(3++【小问3详解】 由正弦定理
，则， 2sin b
R B
=b =212ac b ==
由，可得，则， 222a c b ac +=+2224a c +=a c ==则三角形为等边三角形，取中点，如图所示：
ABC AB M
则
()()
PA PB PM MA PM MB ⋅=+⋅+
()
2PM MA MB MA MB PM +=+⋅+⋅ ，
222
3PM MA PM =--= 由，则，则．
2,1OP OM ==[]1,3PM ∈[]2,6PA PB ⋅∈-
【点睛】方法点睛：（1）利用正余弦定理可进行边角互换用以化简条件；（2）涉及三角形周长与面积的最值问题，可将问题转化为基本不等式或三角函数来求最值；（3）外接圆动点范围问题，可转化为动点到某个定点的距离问题，结合几何图形性质分析得出范围.。