高中数学人教A版必修二 模块综合测评 Word版含答案

模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线l的斜率为－2，则m的值为() A．6 B．1
C．2 D．4
【解析】由题意知k AB＝
m＋4
－2－3
＝－2，∴m＝6.
【答案】 A
2．在x轴、y轴上的截距分别是－2、3的直线方程是() A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0
C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0
【解析】由直线的截距式得，所求直线的方程为
x
－2
＋y
3
＝1，即3x－2y＋6
＝0.
【答案】 C
3．已知正方体外接球的体积是32
3π，那么正方体的棱长等于()
A．2 2 B.22 3
C.42
3 D.
43
3
【解析】设正方体的棱长为a，球的半径为R，则4
3πR
3＝323π，∴R＝2.又∵3
a＝2R＝4，∴a＝43 3.
【答案】 D
4．关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：
①点P 到坐标原点的距离为13； ②OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2，1，32；
③与点P 关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)； ④与点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)； ⑤与点P 关于坐标平面xOy 对称的点的坐标为(1,2，－3)． 其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
【解析】 点P 到坐标原点的距离为
12＋22＋32＝14，故①错；②正确；
与点P 关于x 轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；与点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确，故选A.
【答案】 A
5．如图1，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为( )
图1
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
【解析】 因为MN ⊥DC ，MN ⊥MC ， 所以MN ⊥平面DCM . 所以MN ⊥DM .
因为MN ∥AD 1，所以AD 1⊥DM . 【答案】 D
6．(2015·福建高考)某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积等于( )
图2
A．8＋2 2 B．11＋2 2
C．14＋2 2 D．15
【解析】由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．
直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)
＝8＋22，两底面的面积和为2×1
2×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8
＋22＋3＝11＋2 2.
【答案】 B
7．已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是()
A．(－2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－2,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【解析】因为方程x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0表示一个圆，所以4＋4－4k＞0，所以k＜2.由题意知点P(1，－1)在圆外，所以12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k＞0，解得k＞－2，所以－2＜k＜2.
【答案】 C
8．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C
的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()
A．30°B．45°
C．60°D．90°
【解析】如图，取BC的中点E，连接DE、AE、AD.依题设知AE⊥平面BB1C1C.
故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为2，则AE＝3
2×2＝3，DE＝1.
∵tan∠ADE＝AE
DE
＝3
1
＝3，
∴∠ADE＝60°，故选C.
【答案】 C
9．(2015·开封高一检测)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法中正确的是()
①若直线m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；
②若直线m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；
③已知平面α、β互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；
④若直线m、n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.
A．②B．②③
C．①③D．②④
【解析】对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面；
对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；
对于③，还有可能n∥β；对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC.而m与n所成的角为60°，故④错．因此选A.
【答案】 A
10．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()
A.5
3 B.
21
3
C.25
3 D.
4
3
【解析】
在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，
点E为外心，同时也是重心．所以|AE|＝2
3|AD|＝23
3
，从而|OE|＝|OA|2＋|AE|2＝
1＋4
3
＝21
3
，故选B.
【答案】 B
11．(2016·重庆高一检测)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一点，P A 是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，若P A长度的最小值为2，则k的值是()
【导学号：09960153】
A．3 B.21 2
C．2 2 D．2
【解析】圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心是(0,1)，半径是r＝1，
∵P A 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，P A 长度的最小值为2，∴圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的最小距离为5，
由点到直线的距离公式可得
|1＋4|k 2
＋1
＝5，
∵k ＞0，∴k ＝2，故选D. 【答案】 D
12．(2016·德州高一检测)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D -ABC 的体积为( )
A.2
12a 3 B.a 312 C.2
4a 3
D.a 36
【解析】 取AC 的中点O ，如图，
则BO ＝DO ＝2
2a ，
又BD ＝a ，所以BO ⊥DO ，又DO ⊥AC ， 所以DO ⊥平面ACB ， V D -ABC
＝1
3S △ABC ·DO ＝13×12×a 2×22a ＝212a 3. 【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知两条平行直线的方程分别是2x ＋3y ＋1＝0，mx ＋6y －5＝0，则实数m ＝________.
【解析】 由于两直线平行，所以2m ＝36≠1
－5，∴m ＝4.
【答案】 4
14．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________．
【解析】 设圆柱形水桶的底面半径为R ，高为h ，桶直立时，水的高度为x . 横放时水桶底面在水内的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫1
4πR 2－12R 2，水的体积为
V 水＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
4πR 2－12R 2h .
直立时水的体积不变，则有V 水＝πR 2x ， ∴x ∶h ＝(π－2)∶4π. 【答案】 (π－2)∶4π
15．已知一个等腰三角形的顶点A (3,20)，一底角顶点B (3,5)，另一顶点C 的轨迹方程是________．
【解析】 设点C 的坐标为(x ，y )， 则由|AB |＝|AC |得 (x －3)2＋(y －20)2 ＝
(3－3)2＋(20－5)2，
化简得(x －3)2＋(y －20)2＝225.
因此顶点C 的轨迹方程为(x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)． 【答案】 (x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)
16．(2015·湖南高考)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.
【解析】 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝
532
＋(－4)
2
＝1.
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠OBD＝30°，
∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.
【答案】 2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．
【解】若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，此时l1，l2之间距离为5，符合题意；
若l1，l2的斜率均存在，设直线的斜率为k，由斜截式方程得直线l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，
由点斜式可得直线l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取点
A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝|1＋5k|
1＋k2
＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k
＝12
5.
∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.
综上知，满足条件的直线方程为
l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.
18．(本小题满分12分)已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.
(1)求证：两圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程．
【导学号：09960154】【解】(1)证明：圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0化为标准方程分别为圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5与圆C2：x2＋(y－1)2＝5，则圆心坐标分别为C1(2，－1)与C2(0,1)，半径都为5，故圆心距为(2－0)2＋(－1－1)2＝22，又0<22<25，故两圆相交．
(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程，即(x2＋y2－4x ＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，得x－y－1＝0.
19．(本小题满分12分)如图3，在三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M 为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．
图3
(1)求证：DM∥平面APC；
(2)求证：平面ABC⊥平面APC.
【证明】(1)∵M为AB的中点，D为PB的中点，
∴MD∥AP.
又∵DM⊄平面APC，AP⊂平面APC，
∴DM∥平面APC.
(2)∵△PMB为正三角形，D为PB中点，
∴MD⊥PB.又∵MD∥AP，∴AP⊥PB.
又∵AP⊥PC，PC∩PB＝P，∴AP⊥平面PBC.
∵BC⊂平面PBC，∴AP⊥BC.
又∵AC⊥BC，且AC∩AP＝A，∴BC⊥平面APC.
又∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC .
20．(本小题满分12分)已知△ABC 的顶点A (0,1)，AB 边上的中线CD 所在的直线方程为2x －2y －1＝0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为y ＝0.
(1)求△ABC 的顶点B 、C 的坐标；
(2)若圆M 经过A 、B 且与直线x －y ＋3＝0相切于点P (－3,0)，求圆M 的方程． 【解】 (1)AC 边上的高BH 所在直线的方程为y ＝0，所以AC 边所在直线的方程为x ＝0，
又CD 边所在直线的方程为2x －2y －1＝0， 所以C ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，－12，
设B (b,0)，
则AB 的中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，12，
代入方程2x －2y －1＝0， 解得b ＝2， 所以B (2,0)．
(2)由A (0,1)，B (2,0)可得，圆M 的弦AB 的中垂线方程为4x －2y －3＝0，① 由与x －y ＋3＝0相切，切点为(－3,0)可得，圆心所在直线方程为y ＋x ＋3＝0，②
①②联立可得，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，－52，
半径|MA |＝
14＋494＝502，
所以所求圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋522＝25
2.
21．(本小题满分12分)如图4，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．
图4
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱锥E-ABC的体积．
【解】(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，
BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.
又因为AB⊥BC，
所以AB⊥平面B1BCC1，
又AB⊂平面ABE，
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别是A1C1，BC的中点，
所以FG∥AC，且FG＝1
2AC.
因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以FG∥EC1，且FG＝EC1，
所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG. 又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，
所以C 1F ∥平面ABE .
(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，
所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.
所以三棱锥E -ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.
22．(本小题满分12分)已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．
(1)求圆M 的方程；
(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PC 、PD 是圆M 的两条切线，C 、D 为切点，求四边形PCMD 面积的最小值.
【导学号：09960155】
【解】 (1)法一 线段AB 的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为x －y ＝0.
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＝0，x ＋y －2＝0.
所以圆M 的圆心坐标为(1,1)，
半径r ＝(1－1)2＋(－1－1)2＝2. 故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.
法二 设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，(r ＞0)，
根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，
a ＋
b －2＝0.
解得a ＝b ＝1，r ＝2. 故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.
(2)由题知，四边形PCMD 的面积为
S ＝S △PMC ＋S △PMD ＝12|CM |·|PC |＋12|DM |·|PD |.
又|CM |＝|DM |＝2，|PC |＝|PD |，
所以S ＝2|PC |，
而|PC |＝
|PM |2－|CM |2 ＝|PM |2－4，
即S ＝2
|PM |2－4. 因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，
即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以 |PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|
32＋42＝3，
所以四边形PCMD 面积的最小值为
S ＝2|PM |2－4＝232－4＝2 5.。