新版高中数学人教A版必修5课件:第二章数列 2.3.1

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2
题型一 题型二 题型三 题型四
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Z 知识梳理 HISHISHULI
Z 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
D 典例透析 IANLITOUXI
(2)设数列{an}的前n项和为Sn, 点
������,
������������ ������
(均������∈在N函*)数y=3x-2的图象
上,求数列{an}的通项公式.
(2)求此数列的前n项和Sn的最大值.
分析(1)求不等式组
������������ ������������

+1
0, <
0
的正整数解即可;
(2)既可以从项的正负考虑,也可以利用等差数列的前n项和公式
是关于n的二次函数,考虑对应二次函数的最值.
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又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d, 解得d=-171.
反思a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基 本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中可知三求二,即等差数列的通项公 式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n
项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方
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解(1)由a1=50,d=-0.6,
知an=50-0.6(n-1)=-0.6n+50.6.

������������ ������������

+1
0, <
0,

-0.6������ + 50.6 ≥ 0, -0.6(������ + 1) + 50.6 < 0,
=3·3n-1-3n-1=2·3n-1.
此时若n=1,则an=2·3n-1=2×31-1=2≠a1,
故 an=
1, ������ = 1, 2·3������-1, ������ ≥ 2.
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1)
×
-
1 2
= −4.
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(2)由
Sn=
������(������1+������������) 2
=
������(-512+1) 2
=
−1
022,
解得n=4.
5 6
+
(15

1)������
=

3 2
,

������
=

16.
(2)由已知,得
S8=
8(������1+������8) 2
=
8(4+������8) 2
=
172,
解得a8=39.
又 a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.
������������ = ������1 + (������-1)������,
=
������������1
+
������(������-1) 2
������.
【做一做2-1】 在等差数列{an}中,a1=1,d=1,则Sn等于( ).
A.n
B.n(n+1)
C.n(n-1)
D.
������(������+1) 2
解析:Sn=na1+
������(������-1) 2
������
段表示为 an=
������1,������ = 1, ������������ -������������-1,������ ≥ 2.
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【变式训练1】 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3·2n+1,则
当A≠0时(此时d≠0),Sn=An2+Bn是关于n的二次函数. 从上面的分析,我们可以看出:
(1)若一个数列{an}是等差数列,则其前n项和公式Sn=f(n)是关于n 的二次函数或一次函数或常数函数,且其常数项为0,即
Sn=An2+Bn(A,B为常数).
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+
������1
-
������ 2
������.
若令
������ 2
=
������,
������1

������ 2
=
������,
则上式可以写成Sn=An2+Bn,
即Sn是关于项数n的函数. 当A=0,B=0时(此时a1=0,d=0),Sn=0是关于n的常数函数; 当A=0,B≠0时(此时a1≠0,d=0),Sn=Bn是关于n的一次函数(正比例 函数);
=
������2.
答案:n2
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等差数列前n项和公式与函数的关系
剖析等差数列的前
n
项和公式
Sn=na1+
������(������-1) 2
������
可以写为Sn=
������ 2
������2
(2)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d. 分析合理地使用等差数列前n项和公式,并注意其变形及方程思
想的应用.
解(1)Sn=n·32
+
������(������-1) 2
-
1 2
整理,得 n2-7n-60=0,
= −15,
解得 n=12 或 n=-5(舍去),

a12=
3 2
+
(12
(1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n-2. 分析利用Sn-Sn-1=an(n≥2)求解.
解(1)当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1;
当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7n+5, 则an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-(2n2-7n+5) =2n2-3n-2n2+7n-5=4n-5.
解依题意得,
������������ ������
=
3������

2,
即Sn=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;
当n=1时,a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5适合上式,所以an=6n-
5(n∈N*).
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2.3 等差数列的前n项和
-1-
第1课时 等差数列的前n项和
-2-
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1.掌握数列前n项和的概念. 2.理解等差数列前n项和公式的推导过程. 3.掌握等差数列前n项和公式及其应用.
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(2)若一个数列的前n项和的表达式为Sn=An2+Bn+C(A,B,C为常
数),则当C≠0时,数列{an}不是等差数列.
(3)当d≠0时,点(1,S1),(2,S2),(3,S3),…,(n,Sn),…在抛物线
y=
������ 2
������1 + 2(������-1) = 11,
(3)由
������������
=
������������1
+
������(������-1) 2
������,

������������1
+
������(������-1) 2
×
2
=
35,
解方程组得
������ = 5, ������1 = 3
能是其中几项的和.
【做一做1】 数列9,-2,-10,3的前3项和S3=
.
答案:-3
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2.等差数列{an}的前n项和
设等差数列{an}的公差是
d,则
Sn=
������(������1+������������) 2
法.在具体求解过程中,应注意已知与未知的联系及整体思想的运
用.
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【变式训练2】 在等差数列{an}中,
(1)a1=
5 6
,
������������
=

3 2
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反思已知数列{an}的前n项和公式Sn,求通项公式an的步骤: (1)当n=1时,a1=S1. (2)当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1. (3)如果a1也满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1,那么数列{an}的通项公式为
an=Sn-Sn-1; 如果a1不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1,那么数列{an}的通项公式要分
������-
503 6
2
+
5032 120
,
由二次函数的性质知,当 n=84 时,Sn 取最大值 S84=2 108.4.
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反思求等差数列的前n项和Sn的最值有两种方法:
此时若n=1,则an=4n-5=4×1-5=-1=a1,
故an=4n-5.
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(2)当n=1时,a1=S1=31-2=1; 当n≥2时,Sn-1=3n-1-2, 则an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=3n-3n-1

������ = 7, ������1 = -1.
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等差数列前n项和的最值问题
【例3】 数列{an}是等差数列,a1=50,d=-0.6. (1)该数列前多少项都是非负数?
������2
+
������1
-
������ 2
������的图象上.
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已知Sn求a 【例1】 已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求{an}的通项 公式.
,
������������
=
−5,
求������和������;
(2)a1=4,S8=172,求a8和d;
(3)已知d=2,an=11,Sn=35,求a1和n.
解(1)由题意,得
Sn=
������(������1+������������) 2
=
������
56-32 2
= −5, 解得n=15.
∴a15=
an=
.
解析:当n=1时,a1=S1=7;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3·2n+1-3·2n-1-1=3·2n-3·2n-1=3·2n-1(2-
1)=3·2n-1.
当n=1时,不满足上式.
∴an=
7,������ = 1, 3·2������-1,������ ≥ 2.
答案:
7,������ = 1, 3·2������-1,������
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1.数列的前n项和
对于数列{an},一般地,我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n 项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+…+an.
名师点拨数列的前n项和必须从第1项开始,逐项相加到第n项,不
=
������
+
������(������-1) 2
=
������(������2+1).
答案:D
【做一做2-2】 在等差数列{an}中,已知an=2n-1,则其前n项和
Sn=
.
解析:易知a1=1,故
Sn=
������(������1+������������) 2
=
������(1+250 3
<
������

2353.
又m∈N*,则m=84,
即该数列前84项都是非负数.
(2)方法一:由(1)得a84>0,a85<0,

Sn
的最大值是
S84=50×84+
84×83 2
×
(−0.6)
=
2
108.4.
方法二:
Sn=50n+ ������(���2���-1)·(-0.6)=-0.3n2+50.3n= -0.3
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等差数列前n项和的有关计算
【例2】 根据下列条件,求相应的等差数列{an}的有关未知数:
(1)a1=
3 2
,
������
=

1 2
,
������������
=
−15,
求������及������12;
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