人教新课标版数学高一-必修一 1.3.1单调性与最大(小)(第1课时)

数学人教A 必修1第一章1．3.1 单调性与最大(小)
第1课时
1．理解增函数和减函数的定义，明确定义中“任意”两字的重要性，以及图象的特点． 2．知道函数单调性的含义，能够利用定义证明函数的单调性．
3．能够利用定义或图象求函数的单调区间，能够利用函数的单调性解决有关问题．
1．增函数和减函数
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的________两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有
f (x 1)____f (x 2)
f (x 1)______f (x 2)
那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数．区间D 称为函数f (x )的单调递增区间
那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数．区间D 称为函数f (x )的单调递减区间 图象 特征
函数f (x )在区间D 上的图象是______的
函数f (x )在区间D 上的图象是______的
图示
(1)函数f (x )在区间D 上是增函数，x 1，x 2D ，且x 1≠x 2 (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0
f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
＞0.
(2)函数f (x )在区间D 上是减函数，x 1，x 2D ，且x 1≠x 2
(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜
f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
＜0.
【做一做1－1】 函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是减函数，x 1，x 2(a ，b )，且x 1＜x 2，则有( )．
A ．f (x 1)＜f (x 2)
B ．f (x 1)＞f (x 2)
C ．f (x 1)＝f (x 2)
D ．以上都有可能
【做一做1－2】 [0,3]是函数f (x )定义域内的一个区间，若f (1)＜f (2)，则函数f (x )在区间[0,3]上( )．
A ．是增函数
B ．是减函数
C ．不是增函数就是减函数
D ．增减性不能确定 2．单调性
(1)定义：如果函数y ＝f (x )在区间D 上是________或________，那么就说函数y ＝f (x )在区间D 上具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的________．
(2)图象特征：函数y ＝f (x )在区间D 上具有单调性，则函数y ＝f (x )在区间D 上的图象是上升的或下降的．
基本初等函数的单调区间如下表所示：
函数 条件
单调递增区间
单调递减区间
正比例函数
(y ＝kx ，k ≠0) 与一次函数
(y ＝kx ＋b ，k ≠0)
k ＞0
R
无
k ＜0
无
R
反比例函数 (y ＝k
x
，k ≠0)
k ＞0
无
(－
，0)和
(0，＋
) k ＜0
(－
，0)和
(0，＋
) 无
二次函数 (y ＝ax 2＋bx ＋c ，
a ≠0)
a ＞0
⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞ ⎝
⎛⎦⎤－∞，－b 2a
a ＜0 ⎝
⎛⎦⎤－∞，－b 2a
⎣⎡⎭
⎫－b 2a ，＋∞
【做一做2】 函数f (x )的图象如图所示，则( )．
A ．函数f (x )在[－1,2]上是增函数
B ．函数f (x )在[－1,2]上是减函数
C ．函数f (x )在[－1,4]上是减函数
D ．函数f (x )在[2,4]上是增函数
答案：1．任意 ＜ ＞ 上升 下降 【做一做1－1】 B
【做一做1－2】 D 虽然1,2∈[0,3]，1＜2，且f (1)＜f (2)，但是1和2是区间[0,3]内的两个特殊值，不是区间[0,3]内的任意值，所以f (x )在[0,3]上的增减性不能确定．
2．(1)增函数 减函数 单调区间 【做一做2】 A
对函数单调性的理解
剖析：函数单调性的定义是用数学符号来刻画函数的图象特征，它反映了函数图象的变化趋势(当自变量增大时，函数值是增大还是减小，图象是上升还是下降)；函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数(减函数)，等价于对于D 中任意的两个自变量x 1，x 2，且x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)(f (x 1)＞f (x 2))；其中“任意”二字是关键，不能用具体的两个自变量代替，否则就会产生错误．比如函数f (x )＝1
x ，取x 1＝－1＜x 2＝1，f (x 1)＝－1，f (x 2)＝1，f (x 1)＜f (x 2)，如果由此
推出f (x )＝1
x 是增函数就会产生错误，原因就在于x 1，x 2是定值，不具有任意性．函数的单
调性是函数定义域内某个区间上的性质，因此它是一个“局部”的性质，并且在考察函数的单调性时，必须先看函数的定义域．如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应用逗号隔开(即“局部”)，而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体)．例如f (x )＝1
x 的单调减区间可以写成(－，0)，(0，＋
)(或者写成(－
，0)和(0，＋
))，但不
能写成(－
，0)(0，＋
)．由于函数的单调性是反映函数图象变化趋势的，所以在某一
点处没法讨论函数的单调性，比如函数y ＝x 2的单调增区间可以写成开区间(0，＋)，也
可以写成[0，＋
)，但是如果定义域中不包含这个点，则必须使用开区间表示．
如果要证明一个函数的单调性，目前只能严格地按照定义进行，步骤如下： (1)取值：在指定区间上任意取两个自变量x 1，x 2，且x 1＜x 2； (2)变形：主要是配方、分解因式、通分等； (3)定号：判断f (x 1)－f (x 2)的符号； (4)结论：由定义给出结论．
题型一 证明函数的单调性
【例1】 求证：函数f (x )＝x ＋1
x
在(0,1)上为减函数．
分析：在(0,1)上任取x 1，x 2，且x 1＜x 2，只需证明f (x 1)＞f (x 2)即可．
反思：证明函数单调性的常用方法是定义法，利用定义法判断函数单调性的步骤为：
题型二 利用图象确定函数的单调区间 【例2】 已知函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋3， (1)用分段函数的形式表示f (x )； (2)画出f (x )的图象；
(3)根据图象写出f (x )的单调区间．
分析：(1)对x 的正负分类讨论即可；(2)利用画分段函数图象的步骤画出；(3)借助函数图象写出单调区间．
反思：(1)对于初等函数( y ＝kx ＋b ，y ＝ax 2＋bx ＋c ，
⎭⎫y ＝k
x 常借助于函数图象去探求函数的单调区间．
(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数，画出其图象，借助图象的变化趋势
分析相应函数的单调性(区间)．
题型三 函数单调性的应用
【例3】 已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，且f (x )在区间[－2,2]上是增函数，f (1－m )＜f (m )，求实数m 的取值范围．
分析：利用单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去符号f ，转化为关于m 的一元一次不等式组，解出m 的范围．
反思：(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值大小的问题时要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．
(2)①若f (x )在区间D 上是增函数，x 1，x 2是区间D 内的任意两个实数，则f (x 1)＞f (x 2) x 1
＞x 2；
f (x 1)＜f (x 2) x 1＜x 2.
②若f (x )在区间D 上是减函数，x 1，x 2是区间D 内的任意两个实数，则f (x 1)＞f (x 2) x 1
＜x 2；
f (x 1)＜f (x 2) x 1＞x 2. 题型四 易混易错题
易错点 对“单调区间是……”和“在区间……上单调……”理解错误 【例4】 函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2， (1)若函数f (x )的单调递减区间是(－，4]，则实数a 的值(或范围)是__________．
(2)若函数f (x )在区间(－，4]上单调递减，则实数a 的值(或范围)是__________．
答案：【例1】 证明：设x 1，x 2是(0,1)上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝
⎝⎛⎭⎫x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1)x 1x 2
. ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1x 2－1＜0，x 1－x 2＜0. 则f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．
∴f (x )＝x ＋1
x
在(0,1)上是减函数．
【例2】 解：(1)当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，f (x )＝－x 2
－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.
即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－(x －1)2＋4，x ≥0，
－(x ＋1)2
＋4，x <0.
(2)函数图象如图所示．
(3)函数f (x )的图象在(－，－1]和[0,1]上是上升的，在(－1,0)和(1，＋
)上是下降的，
所以f (x )的单调递增区间是(－
，－1]，[0,1]，单调递减区间是(－1,0)，(1，＋
)．
【例3】 解：因为f (x )在区间[－2,2]上单调递增，且f (1－m )＜f (m )， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
－2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，
1－m <m ，
解得1
2
＜m ≤2.
故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤
12，2.
【例4】 错解：(1)函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝1－a ，由于函数f (x )的单调递减区间是(－∞，4]，因此1－a ≥4，即a ≤－3.故应填(－
，－3]．
(2)函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝1－a ，由于函数f (x )在区间(－，4]上单调递减，
因此1－a ＝4，即a ＝－3.故应填－3.
错因分析：函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I .而函数在某一区间上单调递减，则指此区间是相应单调区间的子集．错解颠倒了这两种说法的含义，从而导致出错．
正解：(1)因为函数f (x )的单调递减区间是(－，4]，且函数f (x )图象的对称轴为直线x
＝1－a ，所以有1－a ＝4，即a ＝－3.故应填－3.
(2)因为函数f (x )在区间(－∞，4]上单调递减，且函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝1－a ，所以1－a ≥4，即a ≤－3.故应填(－
，－3]．
1已知函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈(－2，＋)时是增函数，当x ∈(－
，－2)时是
减函数，则f (1)等于( )．
A ．－3
B ．13
C ．7
D ．1 2已知函数f (x )是区间(0，＋)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与3()4
f 的大小关系为
( )．
A ．f (a 2－a ＋1)≥3()4f
B ．f (a 2－a ＋1)≤3()4
f
C ． f (a 2－a ＋1)＝3
()4
f D ．不确定
3函数f (x )＝|x －3|的单调递增区间是__________，单调递减区间是__________．
4求证：函数f (x )＝2x 2在[0，＋
)上是增函数．
5已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，求x 的取值范围．
答案：1． B 由题意知，函数的对称轴为x ＝－2， ∴
4
m
＝－2，∴m ＝－8. ∴f (1)＝2×12＋8×1＋3＝13. 2． B ∵a 2－a ＋1＝2133
0244
a ⎛⎫-+≥> ⎪⎝⎭， 且函数f (x )是区间(0，＋)上的减函数，
∴f (a 2－a ＋1)≤34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 3. [3，＋
) (－
，3]
f (x )＝3,3,
3, 3.
x x x x -≥⎧⎨
-+<⎩
其图象如图所示，则f (x )的单调递增区间是[3，＋
)，单调递减区间是(－
，3]．
4．证明：设x 1，x 2是区间[0，＋)上任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1
2
－2x 22
＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)．
∵0≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞0. ∴f (x 1)＜f (x 2)．
∴函数f (x )＝2x 2在[0，＋)上是增函数．
5．解：由题意，得121,
111,
x x -≤-≤⎧⎨
-≤-≤⎩解得1≤x ≤2.①
因为f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数， 且f (x －2)＜f (1－x )， 所以x －2＜1－x ，解得x ＜32
.② 由①②得，1≤x ＜
32
. 所以x 的取值范围为31,2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.。