21.3 第1课时 传播问题与一元二次方程

A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73
C.1+x2 =73
D.(1+x)2=73
3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲 肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后 128人患上甲肝，则x的值为（ D ）
A.10
B.9
C.8
D.7
4.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转 发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书 发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每 个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转 发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111 个人参与了传播活动，则n=__1_0___.
列一元 二次方 程解应 用题
传播问题
类 型 数字问题 握手问题 互赠照片 问题
数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量× (1+每次传播数量) 第二轮传播后的量=第一轮传播后 的量×(1+每次传播数量)=传播前的 量×(1+每次传播数量)2
关键要设数位上的数字，要准确地 表示出原数.
甲和乙握手与乙和甲握手在同一次 进行，所以总数要除以2.
x(x 1) 72 解得 x1＝9，x2＝－8(舍去)．∴x＝9.
答：共有9个班级参赛．
归纳 关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进 行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的 场数等于总场数列等量关系.
例3 一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的 平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 解：设这个两位数个位数字为 x ，则十位数字为(x－3)， 根据题意得
方法归纳
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
实际问题
分析数量关系 建立一元二
设未知数
次方程模型
解一元二 次方程
实际问题的解
检验
一元二次方程的根
例2 某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两 班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个 班级参赛？
解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场 比赛，共要进行x(x－1)场比赛，但每两班之间只比赛一 场，故根据题意得
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播问题与一元二次方程
学习目标
学习目标：1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关 系并会列一元二次方程. 2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系. 3.会找出实际问题（传播问题）中的相等关系并建模解 决问题. 重点：分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列 一元二次方程来解决问题. 难点：正确分析问题（传播问题）中的数量关系.
一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有
益菌？
分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌
传染源
本轮分裂成有 本轮结束有益
益菌数目
菌总数
第一轮
60
60x
60(1+x)
第二轮
60(1+x) 60(1+x)x
解：（1）设每个有益菌一次分裂出x个有益菌 60+60x+60(1+x)x=24000 x1=19，x2=-21（舍去）
∴每个有益菌一次分裂出19个有益菌. （2）三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000（个）.
7.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个
数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与
讲授新课
一 传播问题与一元二次方程
合作探究
引例：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染 源记作A，其传染示意图如下：
第2轮
第1轮 1
2 ••• A
x
注意：不要 忽视A的二次 传染
A
第1轮传染后人数 x+1
答：平均一个人传染了____1_0___个人. 注意：一元二次方程的解有可能不符合题意，所 以一定要进行检验.
想一想：如果按照这样的传染速度，三轮传染后有 多少人患流感? 分析
第一轮传染后 第二轮传染后的 第三轮传染后的
的人数
人数
人数
(1+x)1
(1+x)2
(1+x)3
第1种做法 以1人为传染源,3轮传染后的人数是： (1+x)3=(1+10)3=1331人.
第2轮传染后人数 x(x+1)+x+1
根据示意图，列表如下： 传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数
1
1+x=(1+x)1
Baidu Nhomakorabea
1+x+x(1+x)=(1+x)2
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 根据题意，得 (1+x)2=121 解方程，得x1= 10 , x2= -12 . (不合题意,舍去)
甲送乙照片与乙送甲照片是要两张 照片，故总数不要除以2.
60(1 x)2
第三轮
60(1 x)2
60(1 x)2 x
60(1 x)3
6.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本， 经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每 一次可分裂出若干个相同数目的有益菌. (1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有 益菌？
x(x 1) 15 2
解得 x1＝6，x2＝－5(舍去)．∴x＝6. 答：共有6个班级参赛．
练一练
某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次 手，所有人共握了10次手，有多少人参加聚会？ 解：设共有 x 人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次， 共握手x(x－1)次，但每人都重复了一次，故根据题意得
原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.
解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位数的 数字为(5－x)，
依题意得(10x+5－x)[10(5－x)+x]=736 解得 x1=2 ，x2=3. 当x＝2时，5－x=3； 当x＝3时，5－x=2； 答：原来的两位数是23或32.
课堂小结
步骤
与列一元一次方程解决实际问 题基本相同.不同的地方要检 验根的合理性.
小
小
分
分
支
支
x
解得，
支干
…… ……
……
小 分
小 分
支
支
x
…… 支干
x1=11，x2=－12(不合题意，舍去) 答：每个支干长出11个小分支.
x
主
干1
交流讨论
1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？ 每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染.
2.解决这类传播问题有什么经验和方法？
（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （2）可利用表格梳理数量关系； （3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
5.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班 之间共比赛了6场，则初三有几个班？
解：初三有x个班，根据题意列方程，得
1 x(x 1) 6 2
化简，得 x2-x-12=0
解方程，得 x1=4， x2=-3（舍去）
答：初三有4个班.
6.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，
经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每
第2种做法 以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次 后就是：121(1+x)=121(1+10)=1331人.
例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又 长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是 133，每个支干长出多少小分支?
解：设每个支干长出x个小分支，
则 1+x+x2=133 即x2+x-132=0
x(x 1) 10 2
解得 x1＝5，x2＝－4(舍去)．∴x＝5. 答：共有5个人参加聚会．
归纳 握手问题及球赛单循环问题要注意重复进行了 一次，所以要在总数的基础上除以2.
【变式题】某中学组织初三学生足球比赛，以班为单位， 采用主客场赛制(即每两个班之间都进行两场比赛)，计 划安排72场比赛，则共有多少个班级参赛？ 解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场 比赛，根据题意得
x2 10(x 3) x 解得 x1＝5，x2＝6．
∴x＝5时，十位数字为2，x＝6时，十位数字为3. 答：这个两位数是25或36.
归纳 解决这类问题关键要设数位上的数字，并能准 确的表达出原数.
当堂练习
1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺
卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级
一班共有x名学生，那么所列方程为（ D）
A.x2=1980
B. x(x+1)=1980
C. 1 x(x-1)=1980
D.x(x-1)=1980
2
2.有一根月季，它的主干长出若干数目的支干，每个
支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支
的总数是73，设每个支干长出x个小分支，根据题意可
列方程为（ B）