2018高考数学考点突破数列：等差数列及其前n项和 含解

等差数列及其前n 项和
【考点梳理】
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d(n ∈N *，d 为常数)．
(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b
2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )
2.
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．
(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 【考点突破】
考点一、等差数列的基本运算
【例1】 (1)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )
A.17
2 B.192 C ．10
D ．12
(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11
D ．15
答案](1)B (2)B 解析] (1)∵公差为1，
∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2
×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.
∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝1
2， ∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝19
2.
(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意⎩⎪⎨
⎪⎧
S 11＝11a 1＋11×(11－1)2d ＝22，
a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得
⎩⎨⎧
a 1＝－33，
d ＝7，
∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10. 【类题通法】
1.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用．
2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．
【对点训练】
1. (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 2
2＝1，则数列{a n }的公差是( )
A.12 B ．1 C ．2
D ．3
(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________. 答案] (1)C (2)－72
解析] (1)∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又
S 33－S 2
2＝1， 得
a 1＋a 32－a 1＋a 2
2＝1，即a 3－a 2＝2，
∴数列{a n }的公差为2.
(2)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由已知，得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9
＝9a 1＋9d ×8
2＝－9，解得⎩⎨⎧
a 1＝3，
d ＝－1.
∴S 16＝16×3＋16×15
2×(－1)＝－72.
考点二、等差数列的判定与证明
【例2】 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1
a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{
b n }满足
b n ＝1
a n －1
(n ∈N *)．
(1)求证：数列{b n }是等差数列． (2)求数列{a n }中的通项公式a n .
解析] (1)证明：因为a n ＝2－1
a n －1(n ≥2，n ∈N *)，
b n ＝1a n －1
.
所以n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1
＝
1⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1
a n －1－1＝1. 又
b 1＝1a 1－1
＝－52，
所以数列{b n }是以－5
2为首项，1为公差的等差数列. (2)由(1)知，b n ＝n －7
2， 则a n ＝1＋1
b n
＝1＋
22n －7
. 【类题通法】
1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．
2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．
【对点训练】
2．(1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列 D ．公差为9的等差数列
(2)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1
a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为
( )
A ．a n ＝1
n B ．a n ＝
2n ＋1
C ．a n ＝2
n ＋2
D ．a n ＝3
n
答案] (1)C (2)A
解析] (1)∵a 2n －1＋2a 2n －(a 2n －3＋2a 2n －2) ＝(a 2n －1－a 2n －3)＋2(a 2n －a 2n －2) ＝2＋2×2＝6，
∴{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列． (2) 由已知式
2
a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1
a 1
＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n
＝n ，即a n ＝1
n .
考点三、等差数列的性质与最值
【例3】 (1)如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a 52＝( )
⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 41
a 42 a 43a 51 a 52 a 53a 61
a 62
a 63 A ．2 B ．8 C ．7
D ．4
(2)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 取得最大值．
答案] (1)C (2) n ＝7
解析] (1)法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a 41＋a 42＋a 43＝3a 42，同理第二行也有a 51＋a 52＋a 53＝3a 52，第三行也有a 61＋a 62＋a 63＝3a 62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a 42＋a 52＋a 62＝3a 52，所以a 41＋a 42＋a 43＋a 51＋a 52＋a 53＋a 61＋a 62＋a 63＝3a 42＋3a 52＋3a 62＝3×3a 52＝63，所以a 52＝7，故选C.
法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有63÷9＝7，即a 52＝7，故选C.
(2)法一：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×10
2d ， 即d ＝－2
13a 1.
从而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，
因为a 1>0，所以－a 1
13<0. 故当n ＝7时，S n 最大. 法二：由法一可知，d ＝－2
13a 1. 要使S n 最大，则有⎩⎨⎧
a n ≥0，
a n ＋1≤0，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－213a 1≤0，
解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大. 法三：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0， 即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，
故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0， 所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大. 【类题通法】 1.等差数列的性质
(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a n
m －n ＝d (m ≠n )，其几何
意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．
(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .
2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧ a m ≥0，
a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；
②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧
a m ≤0，
a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .
【对点训练】
3．(1)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( )
A ．18
B ．99
C ．198
D ．297
(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝10，S 10＝30，则S 15＝( ) A ．60 B ．70 C ．90
D ．40
答案] (1)B (2)A
解析] (1)因为a 3＋a 9＝27－a 6,2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝11
2(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.
(2)因为数列{a n }为等差数列，所以S 5，S 10－S 5，S 15－S 10也成等差数列，设S 15＝x ，则10,20，x －30成等差数列，所以2×20＝10＋(x －30)，所以x ＝60，即S 15＝60.。