数学建模竞赛（大专组）参考答案及评分标准

建模练习题第一套参考答案
一．水厂设立 如图，设（公里）2
.312540,22≈-==AD x AC ，则AC 的费用为400x ，BC 的费用为()2
22.3125600x -+，此问题的数学模型为 min S = 400x + ()222.3125600x -+ 2.310≤≤x
模型的求解： ()()
222.31252.31600400x x dx ds -+--= ， 令dx
ds = 0 ，得到驻点 x 0≈8.8 由实际意义或求二阶导数可说明驻点x 0是最小值点，最小费用为
（元）0.23676≈S ( 答略).
二．截割方案
设1米长的钢材截27厘米的x 根,15厘米的y 根.则此问题的数学模型为:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧∈≥≤++=Z
y x y x y
x t s y x ,,0,1001527..1001527max λ
模型的求解: 方法1: 在区域115.027.0,0,0≤+≥≥y x y x 内确定出与直线115.027.0:=+y x l 最近的格点；
方法2: 由15
27100x y -=穷举. 方法3: 用Lindo 数学软件.
求解结果: 3,2==y x .
最高利用率： %99100
315227max =⨯+⨯=
λ. 三．投资决策
投资生产A 、B 两产品的利润分别为
4200100010)4.02006.01000(=-⨯⨯-⨯=A R （万元）
132040010)4.0206.0300(=-⨯⨯-⨯=B R （万元）
投资回报率分别为 3.3400
1320,2.410004200====B A λλ. 故应对A 产品进行投资, 投资回报率将最大.
四．生产安排
设安排生产甲产品x 件，乙产
品y 件，相应的利润为S.则此问题
的数学模型为
Z
y x y x y x y x y x t s y
x S ∈≥≥≤+≤+≤++=,,0,02000
24240061400
32..65max
模型的求解：
方法一：图解法.可行域为：由直线
,02000
24:2400
6:1400
32:3:21===+=+=+y x y x l y x l y x l 及 组成的凸五边形区域.
直线C y x l =+65:在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l 过31l l 与的交点时，S 取最大值. 由⎩⎨⎧=+=+2000
24140032y x y x 解得：200,400==y x
320020064005max =⨯+⨯=S （千元）(答略)
方法二：用Lindo 软件或Maple 软件求解.
五.最优联网
以村（包括乡政府）为顶点，可直接联网的两村则连边，联网费用作为边上的权，得到一个赋权连通图G 如下：
由破圈法或避圈法求得G 的最优树T （上图波浪线），最优联网方案为SD 、DC 、DE 、DB 、BA 、AF 或SD 、BC 、DE 、DB 、BA 、AF
最小联网费用为千元）(6.1856.33322min =+++++=s
六、最佳存款
设存款分n 次进行，每次的存期分别为1x ,.,,2n x x 这里1≤n ≤6，∑==n
i i x 16，
存期集合为S ＝{1,2,3,5}.
存期为i x 时，对应度年利率为i r
当i x =1时，i r =0.0225；当i x =2时，i r =0.0243；
当i x =3时，i r =0.0270；当i x =5时，i r =0.0288；
设将一万元分n 次进行，每次存期分别为1x ,.,,2n x x 所得的收益为()n x x x f ,,,21 .则此问题当数学模型为
()()∏=+=n i i i n r x x x x f 1421110
,,,max s.t. ∑==n i i x 1
6. 1≤n ≤6 ，S x i ∈
易知函数()n x x x f ,,,21 的值与1x ,.,,2n x x 的顺序无关.
不妨设n x x x ≤≤≤ 21.则（1x ,.,,2n x x ）的所有取值为
（1，1，1，1，1，1），（1，1，1，1，2）,（1，1，2，2），（1，1，1，3）， （1，2，3），（1，5），（2，2，2），（3，3）
现计算()n x x x f ,,,21 的值如下：
()()25.114280225.01101,1,1,1,1,16
4≈+=f ()()()07.114620243.0210225.01102,1,1,1,14
4≈⨯++=f ()()()99.114950243.0210225.01102,2,1,12
24≈⨯++=f ()()()22.115560270.0310225.01103,1,1,13
4≈⨯++=f ()()()()41.115900270.0310243.0210225.01103,2,14≈⨯+⨯++=f
()()()4.116970288.0510225.01105,14≈⨯++=f
()()01.115300243.021102,2,23
4≈⨯+=f ()()61.116850270.031103,32
4≈⨯+=f 故最佳存款方案为：先存一年期再存一个五年期，所得的最大收益为11697.4元.。