23_第4讲 圆周运动中的临界问题
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答案 AC 小球过最高点时的临界速度满足mg=mv2 ,得v= gR ,此时
r
绳中张力为零,小球过最高点时绳子对小球的作用力不可能与球所受重 力方向相反,故答案为A、C。
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考点一 水平面圆周运动的临界问题 考点二 竖直面圆周运动的临界问题
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考点一 水平面圆周运动的临界问题
gr 时,FN=0 v2
gr 时,FN+mg=m r ,FN指向圆心并随v
的增大而增大
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2-1 如图所示,质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周 运动。圆环半径为R,小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环,则其通过
最高点时 ( C )
A.小球对圆环的压力大小等于mg B.小球受到的向心力等于0 C.小球的线速度大小等于 gR D.小球的向心加速度大小等于2g
(1)过最高点时,v≥ gr ,FN+mg=m v2 ,绳、轨 r
道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点,v< gr ,在到达最高点前小 球已经脱离了圆轨道
(1)当v=0时,FN=mg,FN为支持力,沿半径背离圆 心
(2)当0<v<
gr
时,-FN+mg=m
v2 r
,FN背向圆心,
随v的增大而减小
(3)当v= (4)当v>
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第4讲 圆周运动中的临界问题
同理,当车速高于vc,且不超出某一最高限度,车辆可能只是有向外侧滑
动的趋势,不一定能够滑动,当超过最大静摩擦力时,才会向外侧滑动,故
选项C正确;当路面结冰时,只是最大静摩擦力变小,vc值不变,D错误。
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2.如图所示,已知mA=2mB=3mC,它们距转轴距离的关系是rA=rC=12 rB,三物
半径为R,小球半径为r,则下列说法正确的是 ( B )
A.小球通过最高点时的最小速度vmin= g(R r) B.小球通过最高点时的最小速度vmin=0 C.小球在水平线ab以下的管道中运动时,内侧管壁对小球可能有作用力 D.小球在水平线ab以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力
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第4讲 圆周运动中的 临界问题
知识梳恰好”、“正好”等字眼,通常表明题述 的过程中存在着临界点。 2.若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语,通 常表明题述的过程中存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界点。 3.若题目有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼,通常表 明题述的过程中存在着极值,这些极值点也往往是临界点。
FT
sin
θ-FN
cos
θ=
mv12 l sin θ
FT cos θ+FN sin θ-mg=0
解得:FT=1.03mg
甲
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乙 (2)因为v2>v0,所以小球与锥面脱离,设绳与竖直方向的夹角为α,此时小 球受力如图乙所示。根据牛顿第二定律有: FT sin α= mv22 ①
答案 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
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解析 要使m静止,m'也应与平面相对静止,而m'与平面相对静止时有两 个临界状态: 当ω为所求范围最小值时,m'有向着圆心运动的趋势,水平面对m'的静摩 擦力的方向背离圆心,大小等于最大静摩擦力2 N。 此时,对m'运用牛顿第二定律 有T-fmax=m'ω12 r,且T=mg 解得ω1=2.9 rad/s。 当ω为所求范围最大值时,m'有背离圆心运动的趋势,水平面对m'的静摩 擦力的方向指向圆心,大小还等于最大静摩擦力2 N。 再对m'运用牛顿第二定律, 有T+fmax=m'ω22 r,且T=mg 解得ω2=6.5 rad/s 所以,题中所求ω的范围是:2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s。
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A.b一定比a先开始滑动
B.a、b所受的摩擦力始终相等
kg
C.ω= 2l 是b开始滑动的临界角速度
2kg
D.当ω= 3l 时,a所受摩擦力的大小为kmg
答案 AC 设木块滑动的临界角速度为ω,则有kmg=mω2r,所以 ω=
kg r
,又ra=l,rb=2l,所以ωa>ωb,A、C项正确;摩擦力充当向心力,在角速度
1.做圆周运动的物体,当合外力消失时,它就以这一时刻的线速度沿切线 方向飞出去; 2.当合外力突然减小为某一个值时,物体将会在切线方向与圆周之间做 离心运动。 【情景素材·教师备用】
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1-1 (多选)如图,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平 圆盘上,a与转轴OO'的距离为l,b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大 静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g。若圆盘从静止开 始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的 是( )
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答案 AC 汽车在公路转弯处做圆周运动,需要外力提供向心力,当汽
车行驶的速率为vc时,汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势,即没有
指向公路两侧的摩擦力,此时的向心力由地面的支持力和重力的合力提
供,故路面外侧高内侧低,选项A正确;当车速低于vc时,车所需向心力
mv r
2
减小,车可能只是具有向内侧滑动的趋势,不一定能够滑动,选项B错误;
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1-3 如图所示,在光滑的圆锥体顶端用长为l的绳悬挂一质量为m的小 球。圆锥体固定在水平面上不动,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间 的夹角为30°。小球以速率v绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运动。 (1)当v1= gl / 6 时,求绳对小球的拉力; (2)当v2= 3gl / 2 时,求绳对小球的拉力。
3.(多选)如图所示,用细绳拴着质量为m的小球,在竖直面内做圆周运动,
圆周半径为R,则下列说法正确的是 (AC )
A.小球过最高点时,绳子张力可以为零 B.小球过最高点时的最小速度为零 C.小球刚好过最高点时的速度是 Rg D.小球过最高点时,绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
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l sin α
FT cos α-mg=0 ② 解得:FT=2mg
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考点二 竖直面圆周运动的临界问题
竖直圆周运动中的“绳”、“杆”模型
无支撑模型
有支撑模型
常见 类型
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过最高 点的临 界条件
讨论 分析
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
由mg=m v临2
r
得v临= gr
由小球恰能做圆周运动即可得v临=0
体与转盘表面的动摩擦因数相同,当转盘的转速逐渐增大时 ( B )
A.物体A先滑动 C.物体C先滑动
B.物体B先滑动 D.B与C同时开始滑动
答案 B A、B、C三个物体做圆周运动的角速度ω相同,静摩擦力提 供向心力,由牛顿第二定律可得μmg=mω2r,当角速度ω增大时,半径r越大, 越易滑动。
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答案 B 小球沿管道上升到最高点时的速度可以为零,故A错误,B正 确;小球在水平线ab以下的管道中运动时,由外侧管壁对小球的作用力 FN与小球的重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力,即:FN-Fmg =m v2 ,因此,外侧管壁一定对球有作用力,而内侧管壁无作用力,C错
Rr
误;小球在水平线ab以上的管道中运动时,小球受管壁的作用力与小球 速度大小有关,当经过最高点的速度大于 gR ,外侧管壁对球有作用力, 当经过最高点的速度小于等于 gR 时,外侧管壁对球无作用力,D错误。
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答案 C 小球在最高点时刚好不脱离圆环,则圆环刚好对小球没有作
用力,小球只受重力,重力(竖直向下)提供向心力,根据牛顿第二定律得
小球的向心加速度大小为a= mg =g,再根据圆周运动规律知a= v2 ,解得v=
m
R
gR 。
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2-2 如图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,内侧壁
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1.(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图,某公路急转弯 处是一圆弧,当汽车行驶的速率为vc时,汽车恰好没有向公路内外两侧滑
动的趋势。则在该弯道处 (AC )
A.路面外侧高内侧低 B.车速只要低于vc,车辆便会向内侧滑动 C.车速虽然高于vc,但只要不超出某一最高限度,车辆便不会向外侧滑动 D.当路面结冰时,与未结冰时相比,vc的值变小
相等时,b受的摩擦力大,B项错误;ω=
2kg 3l
时,a受的摩擦力fa=mω2r=m
2
2kg 3l
l= 2 kmg,D项错误。
3
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1-2 如图所示,细绳一端系着质量m'=0.6 kg的物体,静止在水平面上,另 一端通过光滑的小孔吊着质量m=0.3 kg 的物体,m'的重心与圆孔的距离 为0.2 m,并知m'和水平面间的最大静摩擦力为2 N。现使此平面绕中心 轴线转动,问角速度ω在什么范围,m会处于静止状态。(取g=10 m/s2)
答案 (1)1.03mg (2)2mg
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解析 如图所示,小球在锥面上运动,若支持力FN=0,小球只受重力mg和 绳的拉力FT作用,合力沿水平面指向轴线。根据牛顿第二定律有:
mg tan θ=mv02 =m v02
r l sin θ
解得:v0= 3gl / 6 (1)因为v1<v0,所以小球与锥面接触并产生弹力FN,此时小球受力如图甲 所示。 根据牛顿第二定律有:
r
绳中张力为零,小球过最高点时绳子对小球的作用力不可能与球所受重 力方向相反,故答案为A、C。
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考点一 水平面圆周运动的临界问题 考点二 竖直面圆周运动的临界问题
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考点一 水平面圆周运动的临界问题
gr 时,FN=0 v2
gr 时,FN+mg=m r ,FN指向圆心并随v
的增大而增大
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2-1 如图所示,质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周 运动。圆环半径为R,小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环,则其通过
最高点时 ( C )
A.小球对圆环的压力大小等于mg B.小球受到的向心力等于0 C.小球的线速度大小等于 gR D.小球的向心加速度大小等于2g
(1)过最高点时,v≥ gr ,FN+mg=m v2 ,绳、轨 r
道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点,v< gr ,在到达最高点前小 球已经脱离了圆轨道
(1)当v=0时,FN=mg,FN为支持力,沿半径背离圆 心
(2)当0<v<
gr
时,-FN+mg=m
v2 r
,FN背向圆心,
随v的增大而减小
(3)当v= (4)当v>
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第4讲 圆周运动中的临界问题
同理,当车速高于vc,且不超出某一最高限度,车辆可能只是有向外侧滑
动的趋势,不一定能够滑动,当超过最大静摩擦力时,才会向外侧滑动,故
选项C正确;当路面结冰时,只是最大静摩擦力变小,vc值不变,D错误。
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2.如图所示,已知mA=2mB=3mC,它们距转轴距离的关系是rA=rC=12 rB,三物
半径为R,小球半径为r,则下列说法正确的是 ( B )
A.小球通过最高点时的最小速度vmin= g(R r) B.小球通过最高点时的最小速度vmin=0 C.小球在水平线ab以下的管道中运动时,内侧管壁对小球可能有作用力 D.小球在水平线ab以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力
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第4讲 圆周运动中的 临界问题
知识梳恰好”、“正好”等字眼,通常表明题述 的过程中存在着临界点。 2.若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语,通 常表明题述的过程中存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界点。 3.若题目有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼,通常表 明题述的过程中存在着极值,这些极值点也往往是临界点。
FT
sin
θ-FN
cos
θ=
mv12 l sin θ
FT cos θ+FN sin θ-mg=0
解得:FT=1.03mg
甲
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乙 (2)因为v2>v0,所以小球与锥面脱离,设绳与竖直方向的夹角为α,此时小 球受力如图乙所示。根据牛顿第二定律有: FT sin α= mv22 ①
答案 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
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解析 要使m静止,m'也应与平面相对静止,而m'与平面相对静止时有两 个临界状态: 当ω为所求范围最小值时,m'有向着圆心运动的趋势,水平面对m'的静摩 擦力的方向背离圆心,大小等于最大静摩擦力2 N。 此时,对m'运用牛顿第二定律 有T-fmax=m'ω12 r,且T=mg 解得ω1=2.9 rad/s。 当ω为所求范围最大值时,m'有背离圆心运动的趋势,水平面对m'的静摩 擦力的方向指向圆心,大小还等于最大静摩擦力2 N。 再对m'运用牛顿第二定律, 有T+fmax=m'ω22 r,且T=mg 解得ω2=6.5 rad/s 所以,题中所求ω的范围是:2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s。
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A.b一定比a先开始滑动
B.a、b所受的摩擦力始终相等
kg
C.ω= 2l 是b开始滑动的临界角速度
2kg
D.当ω= 3l 时,a所受摩擦力的大小为kmg
答案 AC 设木块滑动的临界角速度为ω,则有kmg=mω2r,所以 ω=
kg r
,又ra=l,rb=2l,所以ωa>ωb,A、C项正确;摩擦力充当向心力,在角速度
1.做圆周运动的物体,当合外力消失时,它就以这一时刻的线速度沿切线 方向飞出去; 2.当合外力突然减小为某一个值时,物体将会在切线方向与圆周之间做 离心运动。 【情景素材·教师备用】
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1-1 (多选)如图,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平 圆盘上,a与转轴OO'的距离为l,b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大 静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g。若圆盘从静止开 始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的 是( )
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答案 AC 汽车在公路转弯处做圆周运动,需要外力提供向心力,当汽
车行驶的速率为vc时,汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势,即没有
指向公路两侧的摩擦力,此时的向心力由地面的支持力和重力的合力提
供,故路面外侧高内侧低,选项A正确;当车速低于vc时,车所需向心力
mv r
2
减小,车可能只是具有向内侧滑动的趋势,不一定能够滑动,选项B错误;
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1-3 如图所示,在光滑的圆锥体顶端用长为l的绳悬挂一质量为m的小 球。圆锥体固定在水平面上不动,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间 的夹角为30°。小球以速率v绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运动。 (1)当v1= gl / 6 时,求绳对小球的拉力; (2)当v2= 3gl / 2 时,求绳对小球的拉力。
3.(多选)如图所示,用细绳拴着质量为m的小球,在竖直面内做圆周运动,
圆周半径为R,则下列说法正确的是 (AC )
A.小球过最高点时,绳子张力可以为零 B.小球过最高点时的最小速度为零 C.小球刚好过最高点时的速度是 Rg D.小球过最高点时,绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
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l sin α
FT cos α-mg=0 ② 解得:FT=2mg
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考点二 竖直面圆周运动的临界问题
竖直圆周运动中的“绳”、“杆”模型
无支撑模型
有支撑模型
常见 类型
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过最高 点的临 界条件
讨论 分析
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
由mg=m v临2
r
得v临= gr
由小球恰能做圆周运动即可得v临=0
体与转盘表面的动摩擦因数相同,当转盘的转速逐渐增大时 ( B )
A.物体A先滑动 C.物体C先滑动
B.物体B先滑动 D.B与C同时开始滑动
答案 B A、B、C三个物体做圆周运动的角速度ω相同,静摩擦力提 供向心力,由牛顿第二定律可得μmg=mω2r,当角速度ω增大时,半径r越大, 越易滑动。
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答案 B 小球沿管道上升到最高点时的速度可以为零,故A错误,B正 确;小球在水平线ab以下的管道中运动时,由外侧管壁对小球的作用力 FN与小球的重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力,即:FN-Fmg =m v2 ,因此,外侧管壁一定对球有作用力,而内侧管壁无作用力,C错
Rr
误;小球在水平线ab以上的管道中运动时,小球受管壁的作用力与小球 速度大小有关,当经过最高点的速度大于 gR ,外侧管壁对球有作用力, 当经过最高点的速度小于等于 gR 时,外侧管壁对球无作用力,D错误。
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答案 C 小球在最高点时刚好不脱离圆环,则圆环刚好对小球没有作
用力,小球只受重力,重力(竖直向下)提供向心力,根据牛顿第二定律得
小球的向心加速度大小为a= mg =g,再根据圆周运动规律知a= v2 ,解得v=
m
R
gR 。
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2-2 如图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,内侧壁
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1.(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图,某公路急转弯 处是一圆弧,当汽车行驶的速率为vc时,汽车恰好没有向公路内外两侧滑
动的趋势。则在该弯道处 (AC )
A.路面外侧高内侧低 B.车速只要低于vc,车辆便会向内侧滑动 C.车速虽然高于vc,但只要不超出某一最高限度,车辆便不会向外侧滑动 D.当路面结冰时,与未结冰时相比,vc的值变小
相等时,b受的摩擦力大,B项错误;ω=
2kg 3l
时,a受的摩擦力fa=mω2r=m
2
2kg 3l
l= 2 kmg,D项错误。
3
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1-2 如图所示,细绳一端系着质量m'=0.6 kg的物体,静止在水平面上,另 一端通过光滑的小孔吊着质量m=0.3 kg 的物体,m'的重心与圆孔的距离 为0.2 m,并知m'和水平面间的最大静摩擦力为2 N。现使此平面绕中心 轴线转动,问角速度ω在什么范围,m会处于静止状态。(取g=10 m/s2)
答案 (1)1.03mg (2)2mg
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解析 如图所示,小球在锥面上运动,若支持力FN=0,小球只受重力mg和 绳的拉力FT作用,合力沿水平面指向轴线。根据牛顿第二定律有:
mg tan θ=mv02 =m v02
r l sin θ
解得:v0= 3gl / 6 (1)因为v1<v0,所以小球与锥面接触并产生弹力FN,此时小球受力如图甲 所示。 根据牛顿第二定律有: