第四章刚体的转动

第四章刚体的转动

第四章刚体的转动

⼀、基本要求

1．理解刚体定轴转动的描述⽅法。

2．掌握转动定律，能熟练应⽤转动定律解题。

3．掌握质点⾓动量和⾓动量守恒定律，并能⽤它们分析、解决质点在平⾯内运动时的基本⼒学问题。

4．掌握刚体⾓动量和⾓动量守恒定律，并能求解⼀些简单问题。 5．理解刚体定轴转动时的动能定理。⼆、本章要点1．刚体定轴转动的描述

刚体作定轴转动时，其上各点均作圆周运动，且圆⼼都在转轴上。所以，刚体上各点的⾓位移、⾓速度、⾓加速度都是⼀样的，因此⽤⾓量描述刚体的定轴转动⽐较适宜。

dt d θω= 22dt

d dt d θωβ==

2．刚体定轴转动定律

βI M

=∑外

3．质点的⾓动量定理和⾓动量守恒定律

质点的⾓动量定理

dt L

d M i

i

∑= ⾓动量守恒定律：

若作⽤在质点上的合⼒矩始终为零，则质点的⾓动量保持不变。即当

∑=0i

M 时，=L

恒量。

4．定轴转动的质点系的⾓动量定理和⾓动量守恒定律

dt

dL M =

∑外若对⼀质点系，在其变化过程中始终有∑外M =0，则=L 恒量。这个结论叫做质点系

对轴的⾓动量守恒定律。

5．刚体作定轴转动时的动能定理

k

E A ?=∑外)2

1(2

ωI ?= 三、例题

4-1 如图，两个完全相同的定滑轮分别⽤绳绕⼏圈以后，在Ａ轮绳端系⼀质量为m 的

物体，在Ｂ轮上以恒⼒mg F =拉绳，则两轮

转动的⾓加速度A β B β。（填＜，=，＞）

解：滑轮⾓加速度β由绳拉⼒⼒矩产⽣。对A ，因m 有加速度，所以mg T <；对mg F B =，，所以A 受的⼒矩⼩B A ββ<。4-2 ⼀飞轮的转动惯量为Ｉ，在t=0时⾓速度为0ω，此后轮经历制动过程，阻⼒矩

的⼤⼩与⾓速度的平⽅成正⽐，⽐例系数k ＞0。当⾓速度减为3/0ω时，飞轮的⾓加速度。

解：由转动定律βI M =，且2

ωk M -=，所以

I

k 2

ωβ-=

当=ω30ω时，qI

k 2

ωβ-=。

4-3 滑轮圆盘半径为Ｒ，质量为Ｍ，长绳的⼀端绕在定滑轮圆周上，⼀端挂质量m 的

物体。若物体匀速下降，则滑轮与轴间的摩擦⼒矩为。

解：物体的受⼒分析如图所⽰。列⽅程

=-=-00

f M TR T m

g 解得摩擦⼒矩⼤⼩为

mgR M f =

4-4 ⼀质量m 、半径为Ｒ的薄圆盘，可绕通过其⼀直径的轴转动，转动惯量24

1

mR I =

。该盘从静⽌开始在恒⼒矩Ｍ的作⽤下转动，t 秒后位于圆盘边缘上与轴垂直距离为Ｒ的点的切向加速度⼤⼩为，法向加速度⼤⼩为。

解：由转动定律βI M =得

2

4mR M I M ==

β切向加速度为

mR

M

R a t 4=

=β由t βω=及R a n 2ω=得，法向加速度

3

22

216R

m t M a n =

4-5 长为Ｌ、质量为m 的细杆可绕通过其⼀端的⽔平轴Ｏ在竖

直平⾯内⽆摩擦旋转，初始时刻杆处于⽔平位置，静⽌释放之后，当杆与竖直⽅向成30°时，⾓加速度为，⾓速度为。

解：根据转动定律βI M =，得

βθ231

cos 2mL L mg

= 得

L

g

L g 432cos 3==

θβ⼜

g d d dt d d d dt d 2cos 3θθωωθθωωβ==?==

分离变量，积分

=3

2cos 3π

ω

θθ

ωωd L g d 得

L

g

233=

ω 4-6 飞轮质量m=60kg ，半径Ｒ=0.2m ，绕其

⽔平中⼼轴Ｏ转动，转速为900转/分。现利⽤⼀制动⽤的闸杆(质量忽略)，在其⼀端加⼀竖直⽅向的制动⼒F(恒⼒)。使飞轮减速，已知闸杆的尺⼨如图所⽰，闸⽡与飞轮之间的摩擦系数µ=0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算。

(1)设F=100⽜顿，问飞轮经多长时间停⽌转动?在这

时间内，飞轮转了⼏转?

(2)要使飞轮在2秒内转速减为⼀半需加多⼤的Ｆ？

解：（1）杆和飞轮受⼒分析如图。对杆，⼒矩平衡，有

)(b a F Na += F a

b

a N +=

对滑轮，利⽤转动定律βI M =。因为FR a

b

a NR M +-=-=µ

d ω

β=

，所以 dt

d mR FR a b a ω

µ

221=+- ??+-=0

2

002ωωµd F mR b a a dt t

=+=

02ωµF mR b a a t 022n F

m R

b a a πµ+

式中s r r n /15min /9000==是初始转速。代⼊数字得s t 65.5=

⼜θ

ω

ωθθωβd d d d dt d ==

，由转动定律得

θ

ωωµd d mR FR a b a 221=+-

+-

=0

2ωθ

ωωµθd F

mR

b a a d

20

211

)(4ωµθF

l l mRl +=

代⼊数字解得2.266=θ，所以转数

4.422==