2015-2016学年广东省深圳市宝安区高一(上)期末数学试卷附解析

2015-2016学年广东省深圳市宝安区高一（上）期末数学
试卷
副标题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设集合P={1，2，3，4}，Q={x|-2≤x≤2，x∈R}则P∩Q等于（）
A. 0，1，
B.
C. D.
2.sin20°cos10°+cos20°sin10°=（）
A. B. C. D.
3.若指数函数y=（2a-1）x在R上为单调递减函数，则a的取值范围是（）
A. B. C. D.
4.函数f（x）=的定义域为（）
A. B. C. D.
5.已知函数f（x）=，且f（x0）=1，则x0=（）
A. 0
B. 4
C. 0或4
D. 1或3
6.已知∈，且，则tanα=（）
A. B. C. D.
7.已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）
A. B. C. D.
8.设向量，、，，下列结论中，正确的是（）
A. B. C. D.
9.函数的图象大致是（）
A. B.
C. D.
10.将函数y=sin（x-）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）
A. B. C. D.
11.设函数f（x）=cos（ωx+ϕ）对任意的x∈R，都有f（-x）=f（+x），若函数g（x）
=3sin（ωx+ϕ）-2，则g（）的值是（）
A. 1
B. 或3
C.
D.
12.已知函数f（x）=|log4x|，正实数m、n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在
区间[m5，n]上的最大值为5，则m、n的值分别为（）
A. 、2
B. 、4
C. 、2
D. 、4
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知=2，则tanα的值为______．
14.已知sin x+cos x=，则sin2x=______．
15.在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，=3．若•=-3，则的长
为______．
16.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2
（x+1），给出下列结论：
①f（3）=1；②函数f（x）在[-6，-2]上是增函数；③函数f（x）的图象关于直线
x=1对称；④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，16]上的所有根之和为12．
则其中正确的命题为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知||=4，||=3，，的夹角θ为60°，求：
（1）（+2）•（2-）的值；
（2）|2-|的值．
18.已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），函数f（x）=•．
（1）求函数f（x）（x∈R）的单调增区间；
（2）若f（α-）=2，α∈[，π]，求sin（2α+）的值．
19.已知函数f（x）=mx-，且f（4）=3．
（1）求m的值；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并应用单调性的定义给予证明．20.
（）若该港口的水深（）和时刻（）的关系可用函数（）（其中A＞0，ω＞0，b∈R）来近似描述，求A，ω，b的值；
（2）若一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有
2.5m的安全间隙（船底与海底的距离），试用（1）中的函数关系判断该船何时能
进入港口？
21.函数f（x）=x2和g（x）=log3（x+1）的部分图象如图所示，设两函数的图象交于
点O（0，0），A（x0，y0）．
（Ⅰ）请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数？
（Ⅱ）求证x0∈（，1）；
（Ⅱ）请通过直观感知，求出使f（x）＞g（x）+a对任何1＜x＜8恒成立时，实数a的取值范围．
22.已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．
（1）求函数f（x）的解析式及其值域；
（2）设x0是方程f（x）=4-x的解，且x0∈（n，n+1），n∈Z，求n的值；
（3）若存在x≥1，使得（a+x）f（x）＜1成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：根据题意，P={1，2，3，4}，Q={x|-2≤x≤2，x∈R}，
P、Q的公共元素为1、2，
P∩Q={1，2}，
故选：D．
根据题意，由交集的定义，分析集合P、Q的公共元素，即可得答案．本题考查集合交集的运算，关键是理解集合交集的含义．
2.【答案】A
【解析】
解：sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°=，
故选：A．
由条件利用本题主要考查两角和差的正弦公式，求得所给式子的值．本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．
3.【答案】C
【解析】
解：因为y=（2a-1）x在R上为单调递减函数，
所以0＜2a-1＜1，解得＜a＜1，
则a的取值范围是（，1），
故选：C．
由指数函数的单调性和条件列出不等式，求出a的取值范围．
本题考查指数函数的单调性的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】
解：要使原函数有意义，则，解得：-1＜x≤1，且x≠0．
∴函数f（x）=的定义域为（-1，0）（0，1]．
故选：B．
由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．
5.【答案】C
【解析】
解：当x≤1时，由得x0=0；
当x＞1时，由f（x0）=log3（x0-1）=1得x0-1=3，
则x0=4，且两者都成立；
故选：C．
由f（x0）=1，得到x0的两个方程解之即可．
本题考查了已知分段函数的函数值求自变量；考查了讨论的思想；注意分段函数的一个函数值可能对应多个自变量．
6.【答案】A
【解析】
解：由，得cosα=，
由，∴sin=，
∴tan．
故选：A．
由已知利用诱导公式求得cosα，再由同角三角函数的基本关系式求得答案．本题考查利用诱导公式化简求值，关键是熟记三角函数的象限符号，是基础题．
7.【答案】B
【解析】
解：由对数和指数的性质可知，
∵a=log20.3＜0
b=20.1＞20=1
c=0.21.3 ＜0.20=1
∴a＜c＜b
故选：B．
看清对数的底数，底数大于1，对数是一个增函数，0.3的对数小于1的对数，得到a小于0，根据指数函数的性质，得到b大于1，而c小于1，根据三个数字与0，1之间的关系，得到它们的大小关系．
本题考查对数的性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来．
8.【答案】D
【解析】
解：∵-1×3≠2×1∴不成立
∵
∴不成立
∵，
又∵-1×（-1）≠2×（-2），
∴不成立
∵-1×（-2）+2×（-1）=0，
∴
故选：D．
利用向量共线的充要条件是：坐标交叉相乘相等；向量垂直的充要条件是：数量积为0判断出选项．
本题考查向量共线的充要条件、考查向量垂直的充要条件．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查函数图象的识别和判断，充分利用函数的性质是解决图象的基本方法．利用函数的奇偶性，和导数判断函数的极值情况，即可判断函数的
图象．
【解答】
解：∵函数，
∴f（-x）=-f（x），为奇函数，图象关于原点对称，∴排除A．
f'（x）=，由f'（x）==0，得cosx=，
∴函数的极值点由无穷多个，排除B，D，
故选C．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角函数的图象的变换．要特别注意图象平移的法则．
根据三角函数的图象的平移法则，依据原函数横坐标伸长到原来的2倍可得到新的函数的解析式，进而通过左加右减的法则，依据图象向左平移个单位得到
y=sin[（x+）-]，整理后答案可得．
【解答】
解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
可得函数y=sin（x-），再将所得的图象向左平移个单位，
得函数y=sin[（x+）-]，即y=sin（x-），
故选C．
11.【答案】C
【解析】
解：∵对任意的x∈R，都有f（-x）=f（+x），
∴x=是函数f（x）的对称轴，
可得，
故，
故选：C．
根据f（-x）=f（+x），得x=是函数f（x）的对称轴，结合正弦函数与余弦函
数的关系进行求解即可．
本题主要考查三角函数值的计算，根据正弦函数和余弦函数的关系是解决本题的关键．
12.【答案】B
【解析】
解：∵函数f（x）=|log4x|，正实数m、n满足m＜1＜n，且f（m）=f（n），
∴log4m＜0，log4n＞0，且-log4m=log4n，∴=n，mn=1．
由于f（x）在区间[m5，n]上的最大值为5，即f（x）在区间[m5，]上的最大值为5，
∴-log4 m5=5，∴log4m=-1，∴m=，n=4，
故选：B．
由题意可得-log4m=log4n，mn=1．由于f（x）在区间[m5，m]上的最大值为5，可得-log4 m5=5，由此求得m的值，从而求得n的值．
本题主要考查对数函数的性质、绝对值的性质，属于中档题．
13.【答案】1
【解析】
解：由已知，将左边分子分母分别除以cosα，得，解得tanα=1；
故答案为：1．
利用三角函数的基本关系式，将等式的左边分子分母分别除以cosα，然后解方程即可．
本题考查了三角函数的基本关系式中商数关系的运用，属于基础题．
14.【答案】-
【解析】
解：已知等式两边平方得：（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1+sin2x=，
则sin2x=-．
故答案为：-
已知等式两边平方，利用二倍角的正弦函数公式化简即可求出sin2x的值．
此题考查了二倍角的正弦，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
15.【答案】2
【解析】
解：如图所示，
∵，==
，
∴-3=•=，
化为，
设．
∵AD=1，∠BAD=60°．
∴，
化为3a2-a-10=0，解得a=2．
故答案为：2．
利用向量的三角形法则和数量积运算即可得出．
本题考查了向量的三角形法则和数量积运算，属于基础题．
16.【答案】①④
【解析】
解：取x=1，得f（1-4）=-f（1）=-log2（1+1）=-1，所以f（3）=-f（1）=1，故①的结论正确；
∵f（x-4）=-f（x），则f（x+4）=-f（x），即f（x-4）=f（x+4）
定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），则f（x-4）=f（-x），
∴f（x-2）=f（-x-2），
∴函数f（x）关于直线x=-2对称，故③的结论不正确；
又∵奇函数f（x），x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1）为增函数，
∴x∈[-2，2]时，函数为单调增函数，
∵函数f（x）关于直线x=-2对称，
∴函数f（x）在[-6，-2]上是减函数，故②的结论不正确；
若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4个根，其中两根的和为-6×2=-12，另两根的和为2×2=4，所以所有根之和为-8．故④正确
故答案为：①④．
对于①，利用赋值法，取x=1，得f（3）=-f（1）=1即可判断；
对于③由f（x-4）=f（-x）得f（x-2）=f（-x-2），即f（x）关于直线x=-2对称，
对于②结合奇函数在对称区间上单调性相同，可得f（x）在[-2，2]上为增函数，利用函数f（x）关于直线x=-2对称，可得函数f（x）在[-6，-2]上是减函数；
对于④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4个根，其中两根的和为-6×2=-12，另两根的和为2×2=4，故可得结论．
本题考查函数的性质，考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、对称性
等基础知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
17.【答案】解：（1）∵||=4，||=3，，的夹角θ为60°，
∴，，，
∴（+2）•（2-）=；
（2）=4×16-4×6+9=49，
∴|2-|=7．
【解析】
（1）直接展开多项式乘多项式，然后代入向量的模及数量积得答案；
（2）由，展开后整理得答案．
本题考查平面向量的数量积运算，考查的应用，是中档题．
18.【答案】解：（1）∵ =（2cos2x，），=（1，sin2x），
∴f（x）=•=2cos2x+==，
由，得，∈．
∴函数f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z；
（2）f（α-）=2sin（2α+）+1=2sin（2α-）+1=2，
∴cos2α=，
∵α∈[，π]，∴2α∈[π，2π]，
则sin2α=，
∴sin（2α+）=sin2αcos+cos2αsin=．
【解析】
（1）由已知向量的坐标结合数量积公式得到f（x），再由倍角公式及两角和的正弦化简得答案；
（2）由f（α-）=2列式求得cos2α，进一步求得sin2α，展开两角和的正弦求得sin（2α+）的值．
本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数的倍角公式的应用，是中档题．
19.【答案】解：（1）∵f（4）=3，∴4m-=3，∴m=1…（2分）
（2）因为f（x）=x-，定义域为{x|x≠0}，关于原点成对称区间，又f（-x）=-x-=-（x-）
=-f（x），所以f（x）是奇函数．…（6分）
（3）f（x）在（0，+∞）上单调递增．
证明：设x1＞x2＞0，则f（x1）-f（x2）=x1--（x2-）=（x1-x2）（1+）．
因为x1＞x2＞0，所以x1-x2＞0，1+＞0，所以f（x1）＞f（x2），
因此f（x）在（0，+∞）上为单调递增的．…（12分）
【解析】
（1）把x=4代入f（x）解出即可得出．
（2）判断f（-x）与±f（x）的关系即可得出；
（3）f（x）在（0，+∞）上单调递增．设x1＞x2＞0，证明f（x1）-f（x2）＞0即可．
本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：（1）由已知数据，易知y=f（t）的周期T=12，振幅A=3，b=5，所以ω==
（2）由（1）知y=3sin（t）+5（0≤t≤24）；
由该船进出港时，水深应不小于4+2.5=6.5（m），
∴当y≥6.5时，货船就可以进港，即3sin（t）+5≥6.5，
∴sin（t）≥0.5，
∵0≤t≤24，∴0≤t≤4π
∴≤t≤，或≤t≤，
所以1≤t≤5或13≤t≤17．
故该船可在当日凌晨1：00～5：00和13：00～17：00进入港口．
【解析】
（1）利用已知数据，确定合适的周期、振幅等，即可得出函数解析式；
（2）寻求变量之间的关系，建立不等式，从而可求该船何时能进入港口．
解具有周期变化现象的实际问题关键是能抽象出三角函数模型，解决的步骤是：审题，建模，求解，还原
21.【答案】解：（Ⅰ）C1是g（x）=log3（x+1）的图象，
C2对应f（x）=x2；
（Ⅱ）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=x2-log3（x+1），
∵F（）=-log3（+1）=log32-＜0，
F（1）=1-log32＞0，
故存在x0∈（，1），使F（x0）=0，
即x0是函数f（x）=x2和g（x）=log3（x+1）的图象的交点；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F（1）=1-log32＞0，
且由图象可知，
a＜1-log32．
【解析】
（Ⅰ）由图象特征可知，C1是g（x）=log3（x+1）的图象，C2对应f（x）=x2；（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x）=x2-log3（x+1），利用函数的零点判定定理证明；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F（1）=1-log32＞0，且由图象可知，a＜1-log32．
本题考查了幂函数与对数函数的区别及函数图象的应用，属于中档题．
22.【答案】解：（1）若x＜0，则-x＞0，
则当-x＞0时，f（-x）=2-x．
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=2-x=-f（x），
则f（x）=-2-x，x＜0，
当x=0时，f（0）=0，
则
，＞，
，，
，＜．
…3分
值域为（-∞，-1）{0}（1，+∞）．…5分
（2）令
，＞，，，
，＜．
显然x=0不是方程f（x）=4-x的解．
当x＜0时，g（x）=-2-x+x-4＜0，
∴方程f（x）=4-x无负数解．…7分
当x＞0时，g（x）=2x+x-4单调递增，所以函数g（x）至多有一个零点；…8分
又g（1）=-1＜0，g（2）=2＞0，由零点存在性原理知g（x）在区间（1，2）上至少有一个零点．…9分
故g（x）的惟一零点，即方程f（x）=4-x的惟一解x0∈（1，2）．
所以，由题意，n=1．…10分
（3）设h（x）=2-x-x，则h（x）在[1，+∞）上递减．
∴．…13分
当x≥1时，f（x）=2x，不等式（a+x）f（x）＜1，即a＜2-x-x．
∴当＜时，存在x≥1，使得a＜2-x-x成立，
即关于x的不等式（a+x）f（x）＜1有不小于1的解．…16分．
【解析】
（1）根据函数奇偶性的对称性即可求函数f（x）的解析式及其值域；
（2）根据函数和方程之间的关系进行求解即可；
（3）构造函数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．
本题主要考查函数奇偶性的应用，函数与方程以及利用函数的单调性求函数的值域问题，综合考查函数的性质．。