安徽省合肥市第六中学2019届高三下学期第二次周练文科数学试题

合肥六中2019届高三下学期文科数学第二次周测试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若A 、B 、C 为三个集合，A B B C ⋃=⋂，则一定有（ ） A ．A C ⊆ B ．C A ⊆ C ．A C ≠ D ．A ≠∅
2.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3.抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是（ ） A ．
19 B ．16 C ．118 D ．112
4.为了计算函数()237x
f x x =+-的一个零点，刘老师用计算器得到自变量x 和函数值()f x 的部分对应值（精确度为0.1），如下表所示：
则方程的近似解（精确到0.1）可取为（ ） A ．1.32 B ．1.39 C. 1.4 D ．1.3
5.将向量(1,1)OA =绕原点O 逆时针方向旋转60得到向量OB ，则OB =（ ）
A ．11(
22 B ．11(22+- C.11(22-- D ．11(,22
-- 6.函数sin(2)3
y x π
=-
与2cos(2)3
y x π
=+
的图像关于直线x a =对称，则a 可能是（ ） A ．
1124π B ．8
π C. 12π D ．24π
7.设116x =，218x =，320x =，422x =，524x =，将这五个数据依次输入下面程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是（ ）
A ．8S =，即5个数据的方差为8
B ．8S =，即5个数据的标准差为8 C. 40S =，即5个数据的方差为40 D ．40S =，即5个数据的标准差为40 8.某几何体的三视图如下图所示，则其体积为（ ）
正视图 侧视图
俯视图
A ．3
B ．4 C.5 D ．6
9.已知离心率为e 的双曲线和离心率为
2
的椭圆有相同的焦点1F ，2F ，P 是两曲线的一个公共点，若123
F PF π
=
∠，则e 等于（ ）
A ．52．3
10.设B 、C 是定点，且均不在平面α上，且1
sin 2
ABC =
∠，则点A 的轨迹为（ ） A ．圆或椭圆 B ．抛物线或双曲线 C.椭圆或双曲线 D ．以上均有可能 11.若不等式2
2
2xy ax y ≤+对任意[1,2]x ∈及[2,3]y ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．35
19
a -≤≤-
B ．31a -≤≤- C.1a ≥- D ．3a ≥-
12.已知定义域为R 的函数()f x 满足1
()(6)2
f x f x =
-，当[0,6]x ∈时，()f x z 的
方程()(6)f x m x =+在区间[6,)-+∞内恰有三个不等实根，则实数m 的值为（ ）
A
．
D ．以上均不正确 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量a ，b 满足(4,3)a =-，a b +与a b -垂直，则||b 的值是 ．
14.已知实数,x y 满足约束条件，40
2020
x y x y y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩
，则12()4y
x ⋅的最大值是 ．
15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且满足：121n n S a +=-，则345a a a ++= ． 16.已知ABC ∆
中，6AB =，4BC =，D 为BC 的中点，则当AD 最小时，ABC ∆的面积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）
17.
已知函数2()cos 2cos f x x x x m =++在区间[0,]3
π
上的最大值为2.
（1）求实数m 的值；
（2）在ABC ∆中，若()1f A =，sin 3sin B C =
，ABC S ∆=
ABC ∆的外接圆与内切圆的面积分别为1S 、2S
. 18. 菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x （单位：千克）清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药
y （单位：微克）的统计表：
（2）若用解析式2
y cx d ∧
=+作为蔬菜农药残量y ∧
与用水量x 的回归方程，令2x ω=，计算平均值ω和y ，完成以上表格（填在答题卡中），求出y ∧
与x 的回归方程.（,c d 精确到0.1）
（3）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？（精确到0.1
2.236≈）
附：线性回归方程^
^
^
y b x a =+中系数计算公式分别为：^
1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
-∑∑，^
^
a y
b x =-
19. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，过直线1AD 作平面α，使得直线1AC
平面α
.
（1）画出平面α与正方体1111ABCD A BC D -各个面的交线（不必说出画法和理由）
； （2）在（1）的条件下，在对角线1AC 上是否存在点
P ，使得DP ⊥平面α？若存在，求出CP 的长；若不存在，请说明理由.
20. 椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，12
F PF ∆
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左顶点为1A ，过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，连结1A A ，1A B 并延长交直线
4x =分别于,P Q 两点，问22PF QF ⋅是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 21. 设函数2
1()ln 2
f x x m x =
-，2()(1)g x x m x =-+，0m >. （1）求函数()f x 的极值；
（2）当1m ≥时，讨论函数()f x 与()g x 图像的交点个数.
四、选做题：请考生在22、23两题中任选一题作答，共10分.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1C ：221x y +=原来的2倍后，得到曲线2C ；在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程是
(2cos sin )6ρθθ-=.
（1）写出曲线2C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离d 最大，并求出此最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()|1||1|f x x x =-++. （1）解不等式()4f x ≤；
（2）当()4f x ≤时，|3|||6x x a x +++<+，求实数a 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: AABCA 6-10: DACCD 11、12：CC
二、填空题
三、解答题
17.解：（1
）2()cos 2cos f x x x x m =++2sin(2)16
x m π
=+
++，
∵[0,
]3
x π
∈，∴52[,]666x π
ππ
+
∈， ∵函数sin y t =在区间[
,]62ππ
上是增函数，在区间5[,]26ππ
上是减函数， ∴当26
2
x π
π
+
=
，即6
x π
=
时，函数()f x 在区间[0,
]3
π
上取到最大值，
此时，max ()()326
f x f m π
==+=得1m =-.
（2）∵()1f A =，∴2sin(2)16
A π
+
=，∴1sin(2)6
2A π
+
=
，解得0A =（舍去）或3
A π
=， 由sin 3sin B C =得3b c =
①，由ABC S ∆=
1sin 23bc π=，即3bc =②. 由①和②解得3b =，1c =
，由余弦定理得a =
故外接圆半径2sin a R A =
=
，内切圆半径2S r C ==
R r ==. 18.解：（1）负相关 （2）11ω=，38y =
22222
(10)(7)(2)514c =
-+-+-++ 2.008 2.0374=-=-≈-
38 2.01160.0d y c ω=-=+⨯=
∴2
2.060.0 2.060.0y x ω∧
=-+=-+
（3）当20y ∧
<时，2
2.060.020x -+<， 4.5x >≈
∴为了放心食用该蔬菜，估计需要用4.5千克的清水清洗一千克蔬菜. 19.解：（1）如图，平面1AD E ，即为所求作平面α.
（2）点P 为线段1AC 的三等分点（靠近点
C ）
，CP =
.
20.【解析】（1）已知椭圆的离心率为
1
2
，不妨设c t =，2a t =，
即b =，其中0t >.
又12F PF ∆
P
为短轴端点，因此
1
22
t ⋅=，解得1t =， 故椭圆的方程为22
143
x y +=. （2）设直线AB 的方程为1x ty =+，11(,)A x y ，22(,)B x y .
联立221
143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22
(34)690t y ty ++-=，则
122634t y y t -+=
+，122
9
34y y t
-=+. 直线1AA 的方程为11[(2)](2)y y x x =
----，直线1BA 的方程为2
2[(2)](2)
y y x x =----，
则116(4,
)2y P x +，226(4,)2y Q x +，则1216(3,)2y F P x =+，1
226(3,)2
y F Q x =+， 则122212669(
)()22y y F P F Q x x ⋅=+++12
2121236903()9
y y t y y t y y =+=+++， 故22F P F Q ⋅为定值0.
21.【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()f x '=
当0x <<()0f x '<，函数()f x 单调递减，当x >()0f x '>，函数()f x 单调递增
所以极小值为2ln 2
m m m
f -=，无极大值
（2）令2
1()()()(1)ln 2
F x f x g x x m x m x =-=-
++-，0x >， 问题等价于求函数()F x 的零点个数
(1)()
()x x m F x x
--'=-
，
当1m =时，()0F x '≤，函数()F x 为减函数， 注意到3
(1)02
F =
>，(4)ln 40F =-<，∴()F x 有唯一零点. 当1m >时，01x <<或x m >时，()0F x '<，1x m <<时，()0F x '>， 所以函数()F x 在(0,1)和(,)m +∞单调递减，在(1,)m 单调递增， 注意到1
(1)02
F m =+
>，(22)ln(22)0F m m m +=-+<， ∴()F x 有唯一零点.
综上，函数()F x 有唯一零点，即两函数图像总有一个交点
22.解：（1）由题意知，曲线2C 方程为22
134x y +=，
参数方程为2sin x y ϕ
ϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩
（ϕ为参数）.
直线l 的直角坐标方程为260x y --=.
（2）设,2sin )P ϕϕ，则点P 到直线l 的距离为
d =
=，
所以当sin(60)1ϕ-=-时，d 取最大值150ϕ=，点P 坐标是3
(,1)2
-
.
23.解：（1）不等式()4f x ≤的解集是以下3个不等式组解集的并集：
1114x x x ≥⎧⎨-++≤⎩或11114x x x -≤<⎧⎨-+++≤⎩或1
114
x x x <-⎧⎨
-+--≤⎩. 解得不等式()4f x ≥的解集为{|22}x x -≤≤.
（2）在22x -≤≤时，不等式|3|||6x x a x +++<+等价于||3x a +<， 等价于33a x a --<<-+.
从而[2,2](3,3)a a -⊆---+，所以32
32a a --<-⎧⎨
-+>⎩
，
得实数a 的取值范围是{|11}a a -<<.。