高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面解析几何》知识点训练含答案

【高中数学】《平面解析几何》考试知识点
一、选择题
1．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()2
20y px p =>上，若4AF BF +=，线段
AB 的中点到直线2
p
x =
的距离为1，则p 的值为 （ ） A ．1 B ．1或3
C ．2
D ．2或6
【答案】B 【解析】
4AF BF +=1212442422
p p
x x x x p x p ⇒+
++=⇒+=-⇒=-中 因为线段AB 的中点到直线2
p
x =
的距离为1，所以121132
p
x p p -
=∴-=⇒=中或 ，选B. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若
00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02
p
PF x =+
；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系
数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
2．如图所示，已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上
一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线
C 的离心率是( )
A ．
7
7
B ．
52
C ．
72
D 7
【答案】C 【解析】 【分析】
利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可． 【详解】
解：双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于
原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，
60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒g ，可得22221
4962
c a a a =+-⨯，
2247c a =，
所以双曲线的离心率为：72
e =． 故选：C ．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
3．已知双曲线22
21(0)2x y b b
-=>的左右焦点分别为12,F F ，其一条渐近线方程为
y x =，点0(3,)P y 在该双曲线上，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r
=( )
A ．12-
B ．2-
C ．0
D ．4
【答案】C 【解析】 由题知
，故
，
∴12(23,1)(23,1)3410PF PF ⋅=-±⋅±=-+=u u u r u u u u r ，故选择C ．
4．已知O 为平面直角坐标系的原点，2F 为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点，
E 为2O
F 的中点，过双曲线左顶点A 作两渐近线的平行线分别与y 轴交于C ，D 两点，
B 为双曲线的右顶点，若四边形ACBD 的内切圆经过点E ，则双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B 2
C 3
D 23
【答案】B
【分析】
由对称性可得四边形ACBD 为菱形，其内切圆圆心为坐标原点O ，求出圆心O 到BC 的距离d ，由四边形ACBD 的内切圆经过点E ，可得21
2
d OF =，化简得出双曲线的离心率. 【详解】
由已知可设()0A a -，
，()0B a ，，AC b
k a
=， 有直线点斜式方程可得直线AC 方程为()b
y x a a
=
+， 令0x =，可得()0C b ，
， 由直线的截距式方程可得直线BC 方程为
1x y
a b
+=，即0bx ay ab +-=， 由对称性可得四边形ACBD 为菱形，其内切圆圆心为坐标原点O ，设内切圆的半径为r ， 圆心O 到BC
的距离为ab
d r c
=
=
=， 又∵四边形ACBD 的内切圆经过点E ， ∴
2122
ab c
OF r c ===, ∴22ab c =， ∴()2
2
244a
c
a c -=，同除以4a 得，42440e e -+=，
∴()
2
22
0e -=，
∴22e =，
∴e =
(舍)，
∴e =
故选：B. 【点睛】
本题考查求双曲线离心率的问题，通过对称的性质得出相关的等量关系，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题.
5．已知双曲线22:1124
x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两
条渐近线的交点分别为,P Q ．若POQ ∆为直角三角形，则PQ =（ ） A ．2 B ．4
C ．6
D ．8
【答案】C
【分析】
由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒，解三角形即可. 【详解】
不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒.则易知30POF ∠=︒，
4OF =，∴23OP =，在POQ n 中，60POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，23OP =
∴36PQ OP ==. 故选C 【点睛】
本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ V 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.
6．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是（ ）
A ．
125 B ．6
5
C ．2
D ．55
【答案】A 【解析】
试题分析：根据抛物线的定义可知抛物线2
4y x =上的点P 到抛物线的焦点距离1PF d =,所以122d d MF d +=+,其最小值为()1,0F 到直线3490x y -+=的距离，由点到直线的距离公式可知()()
122min min
22
3912
5
34d d MF d ++=+=
=
+，故选A. 考点：抛物线定义的应用.
7．在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，则它的渐近线的方程为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】
试题分析：渐近线的方程为
，而
，因此渐近线的方程为
，选D.
考点：双曲线渐近线
8．已知椭圆22
1259
x y +=上一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M 到另一个
焦点的距离等于（ ） A ．1 B ．3 C ．6 D ．10 【答案】C 【解析】
由椭圆方程可得225210a a =∴= ，由椭圆定义可得点M 到另一焦点的距离等于6.故选C ．
9．若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是 A ．-1 B ．1
C
． D
【答案】A 【解析】
双曲线22
3mx my -=3的标准方程为22
113
x y m m
-=, ∵焦点在y 轴上,∴134m m
+=,且0m <, ∴ 1.m =- 故选A ．
10．过双曲线()22
22100x y a b a b
-=>>，的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于
A B ，两点，OAB ∆
的面积为
3
，则双曲线的离心率为（ ） A
．
2
B
．
3 C
．
2
D
．
3
【答案】D 【解析】 【分析】
令x c =，代入双曲线方程可得2b
y a
=±，由三角形的面积公式，可得,a b 的关系，由离
心率公式计算可得所求值． 【详解】
右焦点设为F ，其坐标为(),0c
令x c =，代入双曲线方程可得2b
y a
=±=±
OAB V 的面积为21223b c a ⋅⋅= 3
b a ⇒=
可得3
c e a ==== 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题．
11．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的右焦点()(),0F c c b >，O 为坐标原点，以
OF 为直径的圆交圆222x y b +=于P 、Q 两点，且PQ OF =，则椭圆C 的离心率为
（ ）
A B ．
12
C ．
2
D 【答案】D 【解析】 【分析】
设点P 为两圆在第一象限的交点，利用对称性以及条件PQ OF =可得出点P 的坐标为
,22c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，再将点P 的坐标代入圆222x y b +=的方程，可得出2
b 与2
c 的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值. 【详解】
如下图所示，设点P 为两圆在第一象限的交点，设OF 的中点为点M ，由于两圆均关于x 轴对称，则两圆的交点P 、Q 也关于x 轴对称，又PQ OF c ==，则PQ 为圆M 的一条直径，由下图可知，PM x ⊥轴，所以点P 的坐标为,22c c ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
将点P 的坐标代入圆2
2
2
x y b +=得22
222c c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，可得2222222c b a c ==-， 所以，2
2
23a c =，因此，椭圆的离心率为22
26
33
c c e a a ==== D. 【点睛】
本题考查椭圆离心率的计算，根据题意得出a 、b 、c 的等量关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.
12．已知椭圆1C ：2
2113x y +=，双曲线2C ：22
221(,0)x y a b a b
-=>，若以1C 的长轴为直
径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且椭圆1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率是（ ） A 3B ．3
C 5
D ．5
【答案】A 【解析】
由已知得13OA =OA 的方程为()00,0y kx k x =>>，∴可设()00,A x kx ，进一步
20113k x +=221313,11k
A A
B k k ⎛⎫∴++的一个三分点坐标为2213133131k k k ++，该点在椭圆上，2
2
221313111k k k ⎛⎫
⎪+⎝⎭+=+，即(
)
2
2
11391k k
+=+，解得2
2k =，从而有,2
22222b b a a
==，解得
222
3c a b e a a
+===，故选A. 【 方法点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及椭圆的离心率，属于难题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及
顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．
13．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，
12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F = ）
A ．2
213x y +=
B ．22132x y +=
C ．22196x y +=
D ．22
1129
x y +=
【答案】C 【解析】 【分析】
利用椭圆的性质，根据4AB =，12F F =c =2
2 4b a
=，求解a ，b 然后
推出椭圆方程． 【详解】
椭圆22
22 10x y a b a b +=>>（）
的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，
12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F =c =
，2
2 4b a
=，
222c a b =-，解得3a =，b =，
所以所求椭圆方程为：22
196
x y +=，故选C ．
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．
14．已知12F F 分别为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上一
点，2PF 与x 轴垂直，1230PF F ∠=︒，且焦距为 ）
A ．y =
B ．y =
C ．2y x =±
D ．3y x =±
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出c 的值，再求出点P 的坐标，可得2
2b
PF a
=，再由已知求得1PF ，然后根据双曲
线的定义可得b
a
的值，则答案可求． 【详解】
解：由题意，223c =， 解得3c =
，
∵()2,0F c ，设(),P c y ，
∴22221x y a b
-=，解得2b y a =±，
∴2
2b PF a
=，
∵1230PF F ∠=︒，
∴2
1222b PF PF a
==，
由双曲线定义可得：2
122b PF PF a a
-==，
则222a b =，即
2b
a
=． ∴双曲线的渐近线方程为2y x =±． 故选：B ．
【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度一般.求解双曲线的渐近线方程，可通过找到
,,a b c 中任意两个量的倍数关系进行求解.
15．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发
出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线
()2
2
27136
64
x y --=的左支上，若船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs （已知电磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs ，1海里 1.852km =），则点P 的坐标（单位：海里）为（ ）
A ．9011,7
7⎛⎫
±
⎪
⎪⎝⎭
B ．135322,7
7⎛⎫
±
⎪
⎪⎝⎭
C ．3217,3⎛
⎫± ⎪⎝
⎭
D ．(45,162±
【答案】B 【解析】 【分析】
根据双曲线的定义求出点P 所在的双曲线的标准方程()22
11522564
x y x -=>，将方程与
()
2
227136
64
x y --=联立，求解即可. 【详解】
设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22
221x y x a a b
-=≥，
因为船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs ，
则船P 到B 台和到A 台的距离差为185.20.3
2301.852
a PB PA ⨯===-海里，
故15a =，又=17c ，故8b =，
故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()22
11522564
x y x -=>，
联立()()()22
22
27121366411522564x y x x y x ⎧--=<⎪
⎪⎨⎪-=>⎪⎩， 解得135322,77P ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭
， 故选：B .
本题考查了双曲线的定义、圆锥曲线在生活中的应用，考查了理解转化能力，属于中档题.
16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 作互相垂直的两直线AB ，CD 与
抛物线分别相交于A ，B 以及C ，D ，若111AF BF
+=，则四边形ACBD 的面积的最小值为（ ）
A ．18
B ．30
C ．32
D ．36
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】 由抛物线性质可知：112AF BF p +=，又111AF BF
+=，∴2p =， 即24y x =
设直线AB 的斜率为k （k≠0），则直线CD 的斜率为1k -
． 直线AB 的方程为y=k （x ﹣1），
联立214y k x y x
=⎧⎨=⎩（﹣），消去y 得k 2x 2﹣（2k 2+4）x+k 2=0， 从而242A B x x k
+=+，A B x x =1 由弦长公式得|AB|=244k +
， 以1k
-换k 得|CD|=4+4k 2， 故所求面积为()
22221141AB CD 4448222k k k k ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥32（当k 2=1时取等号），即面积的最小值为32．
故选C
17．过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点F ，作渐近线b y x a =的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线离心率e 的取值范围为( )
A ．()1,2
B
．( C
．)+∞ D ．()2,+∞
【答案】C
【解析】
设过双曲线的右焦点F 与渐近线b y x a
=垂直的直线为AF ,根据垂线与双曲线左右两支都相交，得AF 的斜率要小于双曲线另一条渐近线的斜率 ,由此建立关于,a b 的不等式，解之可得22b a >，从而可得双曲线的离心率e 的取值范围 .
【详解】
过双曲线的右焦点F 作渐近线b y x a
=
垂线，设垂足为A ， Q 直线为AF 与双曲线左右两支都相交， ∴直线AF 与渐近线b y x a =-
必定有交点B ， 因此，直线b y x a =-的斜率要小于直线AF 的斜率， Q 渐近线b y x a =的斜率为b a
， ∴直线AF 的斜率a k b =-，可得b a a b
-<-， 即22,b a b a a b
>>，可得222c a >， 两边都除以2a ，得22e >，解得2e >
双曲线离心率e 的取值范围为
)
2,+∞，故选C. 【点睛】 本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.
18．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点，点P 是C 右支上一点，若120PF PF ⋅=u u u v u u u u v ，且124cos 5
PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）
A ．257
B ．4
C ．5
D ．57
【答案】C
【解析】
【分析】
在12PF F △中，求出1PF ，2PF ，然后利用双曲线的定义列式求解．
【详解】 在12PF F △中，因为12
0PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，所以1290F PF ∠=o ， 1121248cos 255c PF F F PF F c =⋅∠=⋅=，2121236sin 255
c PF F F PF F c =⋅∠=⋅=， 则由双曲线的定义可得128622555c c c a PF PF =-=
-= 所以离心率5c e a
=
=，故选C. 【点睛】 本题考查双曲线的定义和离心率，解题的关键是求出1PF ，2PF ，属于一般题．
19．已知椭圆22
198
x y +=的一个焦点为F ，直线220,220x y x y -+=--=与椭圆分别相交于点A 、B 、C 、D 四点，则AF BF CF DF +++=（ ）
A ．12
B ．6+
C ．8
D ．6
【答案】A
【解析】
【分析】
画出图像，根据对称性得到()()224AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++=，得到答案.
【详解】
画出图像，如图所示：直线220,220x y x y -+=--=平行， 根据对称性知：()()22412AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++==. 故选：A .
【点睛】
本题考查了椭圆的性质，意在考查学生对于椭圆知识的灵活运用.
20．已知点P 是椭圆22
221(0,0)x y a b xy a b
+=>>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F pF ∠的角平分线上的一点，且F 1M ⊥MP ，则|OM|的取值范围是( )
A ．(0,)c
B ．(0,)a
C ．(,)b a
D ．(,)c a
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图，延长PF 2，F 1M ，交与N 点，∵PM 是∠F 1PF 2平分线，且F 1M ⊥MP ， ∴|PN|=|PF 1|，M 为F 1F 2中点，
连接OM ，∵O 为F 1F 2中点，M 为F 1F 2中点
∴|OM|=|F 2N|=||PN|﹣|PF 2||=||PF 1|﹣|PF 2|| ∵在椭圆
中，设P 点坐标为（x 0，y 0） 则|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a ﹣ex 0，
∴||PF 1|﹣|PF 2||=|a+ex 0+a ﹣ex 0|=|2ex 0|=|ex 0|
∵P 点在椭圆
上， ∴|x 0|∈（0，a]，
又∵当|x 0|=a 时，F 1M ⊥MP 不成立，∴|x 0|∈（0，a ） ∴|OM|∈（0，c ）．
故选A ．。