培优 易错 难题锐角三角函数辅导专题训练及详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=81

4

．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒

5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM （P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cosA的值；

（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=9

5

S△QCN时，求t的值；

（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

【答案】（1）coaA=4

5

；（2）当t=

3

5

时，满足S△PQM=

9

5

S△QCN；（3）当t=2733

-s或

2733

+s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

【解析】

分析：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；

（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=9

5

S△QCN构建方程即可解决问题；

（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可；

详解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．

∵S△ABC=1

2

•AC•BE=

81

4

，

∴BE=92， 在Rt △ABE 中，AE=

22=6AB BE -， ∴coaA=647.55

AE AB ==． （2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ．

∵PA=5t ，PH=3t ，AH=4t ，HQ=AC-AH-CQ=9-9t ，

∴PQ 2=PH 2+HQ 2=9t 2+（9-9t ）2，

∵S △PQM =

95S △QCN ， ∴3•PQ 2=935⨯•CQ 2， ∴9t 2+（9-9t ）2=

95

×（5t ）2， 整理得：5t 2-18t+9=0， 解得t=3（舍弃）或

35． ∴当t=35时，满足S △PQM =95

S △QCN ． （3）①如图3中，当点M 落在QN 上时，作PH ⊥AC 于H ．

易知：PM ∥AC ，

∴∠MPQ=∠PQH=60°，

∴3，

∴39-9t ），

∴t=2733

26

-．

②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．

同法可得PH=3QH，

∴3t=3（9t-9），

∴t=27+33

26

，

综上所述，当t=2733

26

-s或27+33s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN 的边上．

点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．

（1）求证：△ABC∽△BCD；

（2）求x的值；

（3）求cos36°-cos72°的值．

【答案】(1)证明见解析；（2）

15

2

-+

；（3）

58

16

．

【解析】

试题分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线

求出∠DBC 的度数，得到∠DBC=∠A ，再由∠C 为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC 与三角形BCD 相似；

（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC ，根据AD+DC 表示出AC ，由（1）两三角形相似得比例求出x 的值即可；

（3）过B 作BE 垂直于AC ，交AC 于点E ，在直角三角形ABE 和直角三角形BCE 中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．

试题解析：（1）∵等腰△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵BD 平分∠ABC ，

∴∠ABD=∠CBD=36°，

∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C ，

∴△ABC ∽△BCD ；

（2）∵∠A=∠ABD=36°，

∴AD=BD ，

∵BD=BC ，

∴AD=BD=CD=1，

设CD=x ，则有AB=AC=x+1，

∵△ABC ∽△BCD ， ∴AB BC BD CD =，即111x x

+=， 整理得：x 2+x-1=0， 解得：x 1=

15-+，x 2=15--（负值，舍去）， 则x=15-+； （3）过B 作BE ⊥AC ，交AC 于点E ，

∵BD=CD ，

∴E 为CD 中点，即15-+

在Rt△ABE中，cosA=cos36°

=

15

151

4

15

1

2

AE

AB

-+

++

==

-+

+

，

在Rt△BCE中，cosC=cos72°=

15

15

4

14

EC

BC

-+

-+

==，

则cos36°-cos72°=

51

+

=-

15

-+

=

1

2

．

【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．

3．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积．

【答案】故大坝的截面的周长是（345）米，面积是1470平方米．

【解析】

试题分析：先根据两个坡比求出AE和BF的长，然后利用勾股定理求出AD和BC，再由大坝的截面的周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC，梯形的面积公式可得出答案．

试题解析：∵迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，DE=30m，

∴AE=18米，

在RT△ADE中，22

DE AE

+34

∵背水坡坡比为1：2，

∴BF=60米，

在RT△BCF中，22

CF BF

+5

∴周长345（345）米，

面积=（10+18+10+60）×30÷2=1470（平方米）．

故大坝的截面的周长是（345）米，面积是1470平方米．

4．2018年12月10日，郑州市城乡规划局网站挂出《郑州都市区主城区停车场专项规划》，将停车纳入城市综合交通体系，计划到2030年，在主城区新建停车泊位33.04万个，2019年初，某小区拟修建地下停车库，如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度为13DE ＝3米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志屏的高度（标志牌上写有：限高米），